Un petit bijou ?

Ça ne fait pas un pli

30 janvier 2016  - Ecrit par  Pierre Gallais Voir les commentaires

Il suffit parfois de peu de chose pour nous émouvoir. Ce disque de papier froncé en a eu le pouvoir.

Portant mon attention depuis quelque temps déjà aux surfaces développables, aux lignes de courbure, au drapé, c’est en brassant autant les connaissances mathématiques que la pratique manuelle que je progresse. Je ne suis pas doué ni attiré par les pliages, origami... [1] Par contre, le drapé exerce sur moi un pouvoir magique de fascination. Et principalement son traitement en peinture chez les maîtres anciens.

Une bonne présentation des plis, fronces se trouve dans ce billet, mais vous pouvez également vous plonger dans les explications relatives aux origamis courbes dans les sites suivants : 1, puis 2 et voir la réalisation d’une artiste japonaise.

Une surface développable est de courbure nulle. On peut la réaliser avec une feuille de papier. Elle peut toutefois présenter des points ou lignes de singularité. C’est le cas dans cet exemple. La feuille se plie (se casse ?) en brisant la continuité des plans tangents le long de cette courbe. Une question que je me pose actuellement est : selon quelles lignes peut-on briser cette continuité ; ces lignes sur la surface sont-elles planes ; en a-t-on établi la classification, la caractérisation ? La réponse est sans doute déjà fournie quelque part. La réponse présente un certain intérêt car si on connaît la courbe, il suffit de tracer sa figure correspondante sur la feuille plane et par un écrasement avec un outil (une aiguille à tricoter à la pointe arrondie, par exemple) faciliter la cassure lorsque l’on aborde la mise en forme de notre surface. C’est ainsi empiriquement, que j’ai défini la courbe pour mon exemple. Ce qui est assez remarquable (excusez ma naïveté) est que selon cette même courbe nous pouvons obtenir toute une gamme de surfaces en rapprochant plus ou moins les « bords ». Quelle évolution subit la courbe d’origine ? Quelle courbe les droites de la surface développable enveloppent -elles ? Quelle influence a le matériau (bien qu’on entre dans le domaine de la physique - mécanique) ? Autant de questions qui peuvent intéresser un mathématicien et sur lesquelles je n’ai ni le courage, ni peut-être les capacités de me plonger.

En cette circonstance ce fut l’occasion de m’émerveiller devant les courbes que présentait ce disque une fois « plié ». Je n’en finissais pas de le regarder sous tous les angles. Un film n’aurait pas dégagé cette émotion. Il faut s’arrêter en permanence. Intellectuellement, on sait parfaitement que la figure (l’image) évolue, qu’apparemment il n’y a pas de surprises. Mais de fixer le regard en s’arrêtant sur chaque stade ne finit pas de dégager les subtilités. Comme un bon vin ou un bon met qui ne délivrerait pas toutes les saveurs au premier contact mais en douceur. [2]

Je n’insisterai pas plus mais souhaitais partager un peu de ces plaisirs que l’on rencontre alors que nous ne maîtrisons pas tout.

Dans le cas du cône à la pointe retournée, il suffit de considérer que nous sommes en présence de deux cônes identiques qui s’intersectent suivant une ellipse dans un plan.

On peut déterminer cette ellipse et la représenter en coordonnées polaires sur la feuille plane.

Pour conclure, je présente l’amorce d’un drapé que j’ai tenté de représenter suivant les lignes de courbures.

Post-scriptum :

Merci à Etienne Ghys pour m’avoir signalé les sites 1 et 2 et voir la réalisation d’une artiste japonaise.

Notes

[1Je n’ai jamais réussi à faire la moindre cocotte en papier.

[2En observant ces images, que j’ai eu du mal à sélectionner, je me dis qu’il n’est pas évident qu’elles emportent votre enthousiasme. La présence et la relation directe avec l’objet ne saurait se réduire en quelques images... la nuance, le temps, le matériau, le graphisme, etc !

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Pour citer cet article :

Pierre Gallais — «Un petit bijou ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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