Un petit théorème de distanciation physique

Pista azul El 21 junio 2020  - Escrito por  Andrés Navas Ver los comentarios
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Si quatre amis se réunissent autour d’un café tout en gardant une distance au moins égale à $\mathcal{d}$, alors deux d’entre eux seront nécessairement à une distance supérieure ou égale à $\mathcal{d} \sqrt{2}$.

Dans de nombreux pays du monde, les autorités ont appelé à la normalisation des activités. Sans vouloir rentrer dans la discussion de savoir si cela est approprié face aux progrès toujours soutenus de la pandémie de coronavirus, je voudrais m’inspirer d’un message qui m’a paru très singulier:

Les amis peuvent se rencontrer, par exemple, en groupes de quatre pour boire un café, mais ils doivent toujours garder une distance d’au moins $2 \, m $ les uns des autres [1].

Pour l’instant, nous supposerons que les personnes sont toutes sur un même plan. Ainsi, nous ne considérerons pas le cas où certaines d’entre elles sont au deuxième étage d’un local et les autres au premier. Évidemment, une possibilité est que les quatre amis se positionnent chacun sur un sommet d’un carré imaginaire de $2 \, m $ de côté. Si tel est le cas, alors quatre paires d’amis seront à $ 2 \, m $ de distance, et deux paires à $2\sqrt{2} \, m \sim 2,83 \, m$.

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Une autre possibilité est que deux soient positionnés sur les extrémités d’un segment de longueur $ 2 \, m $, et les deux autres sur les sommets des deux triangles équilatéraux qui ont ce segment comme l’un de ses côtés. Dans ce cas, bien que cinq paires d’amis soient à distance $ 2 \, m $, il y a une paire d’amis à distance $2 \sqrt{3} \, m \sim 3,46 \, m$, qui est encore plus grande que la distance $2\sqrt{2} \, m$ de la configuration en carré ci-dessus.

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Une question se pose naturellement :

Existe-t-il un moyen pour les amis de se rapprocher un peu plus tout en respectant la règle selon laquelle leur distance soit au moins $2 \, m$ ?

Eh bien, un petit résultat de géométrie élémentaire montre que ceci est impossible.

Théorème: Si quatre points du plan sont séparés d’une distance au moins égale à $\mathcal{d}$ les uns des autres, alors il y a nécessairement deux points à une distance supérieure ou égale à $\mathcal{d} \sqrt{2}$. Si, de plus, cette dernière distance n’est dépassée par aucune paire de points, alors les points sont les sommets d’un carré de côté $\mathcal{d}$.

Dans notre contexte, nous considérons le cas où $\mathcal{d} = 2$ (mètres). Cependant, ceci n’est qu’une question d’échelle. Nous supposerons donc que $\mathcal{d} = 1$.

J’invite le lecteur à réfléchir d’où vient la validité du théorème avant de déplier la preuve ci-dessous. Pour donner une piste, j’insisterai sur le fait que nous supposons que les quatre points sont situés sur le même plan. Si cela n’était pas imposé, nous pourrions localiser les points aux sommets d’un tétraèdre régulier de côté $1$: la distance entre deux quelconques d’entre eux serait alors égale à $1$...

Problème: Montrez qu’il est impossible de placer cinq points dans l’espace tridimensionnel de telle sorte que la distance entre deux quelconques de ces points soit égale à 1.

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Preuve du théorème

Pour la démonstration, nous utiliserons le lemme élémentaire suivant de géométrie du plan: si nous fixons les longueurs des deux côtés d’un triangle et nous faisons varier l’angle entre eux, alors la longueur du troisième côté augmentera à mesure que cet angle grandira [2].

Prenons maintenant quatre points du plan à distance au moins $1$ les uns des autres.

Si trois de ces points son alignés, alors sur la droite qui les contient reposent deux points à distance supérieure ou égale à $2$, qui est bien plus grande que $\sqrt{2}$.

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S’il n’y a pas de triplets de points alignés, alors les quatre points sont les sommets d’un quadrilatère (non dégénéré) [3].

Si le quadrilatère n’est pas convexe, alors au sommet «pointant vers l’intérieur» on voit apparaître trois angles. Puisque ceux-ci totalisent $360^\circ$, l’un d’entre eux est nécessairement supérieur à $90^\circ$. Par le lemme ci-dessus, le côté opposé à cet angle est strictement plus long que l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont égaux aux distances entre ce sommet et deux des trois autres sommets. Puisque ces distances mesurent au moins $1$, cette hypoténuse a une longueur d’au moins $\sqrt {2}$.

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Enfin, si le quadrilatère est convexe et a un angle supérieur à $90^\circ$, alors le même argument montre qu’un segment (diagonal) de longueur strictement supérieure à $\sqrt {2} $ s’oppose a cet angle. En revanche, si tous les angles sont inférieurs ou égaux $90^\circ$, alors ils doivent être tous de $90^\circ$. Dans ce cas, les diagonales du quadrilatère ont une longueur au moins égale à $\sqrt {2} $, avec une inégalité stricte si l’un des côtés du quadrilatère mesure plus de $1$.

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Nous avons donc prouvé qu’il y a toujours une paire de points à distance au moins $\sqrt {2} $. De plus, le seul cas où cette longueur n’est pas dépassée est celui où les points sont les sommets d’un quadrilatère (convexe) dont les angles sont tous égaux à $90^\circ$, et tous les côtés mesurent $1$. Ce quadrilatère n’est rien d’autre qu’un carré (de côté $1$).

Très joli, mais... ça sert à quoi ?

Malgré le fait d’être élémentaire, le théorème ci-dessus n’est pas du tout banal. Il nous indique que si l’on veut «projeter» le squelette (ou, simplement, les sommets) d’un tétraèdre régulier sur le plan, alors il y aura toujours une «distorsion» [4]. Sans rentrer dans la définition précise de ce concept, on peut dire sans crainte qu’il est aujourd’hui l’un des plus importants et utiles en géométrie et dans d’autres domaines. Il est utilisé, par exemple, dans la compression de grandes quantités de données pour le stockage, ou dans la représentation graphique des réseaux sociaux. Ceci ne doit pas nous surprendre; après tout, un tétraèdre régulier peut être considéré comme la représentation d’un réseau de Facebook de quatre individus (les quatre sommets), tous amis les uns des autres. Eh bien, ce réseau ne peut pas être représenté de manière fiable sur le plan : une fois illustré, il y aura toujours des amis qui sembleront «un peu moins amis» qu’ils ne le sont vraiment.

Un autre exemple, et un problème

La figure ci-dessous illustre un autre réseau social de quatre membres: ils sont tous amis entre eux, sauf $A$ avec $ C $ et $ B $ avec $ D $. Entre ceux-ci, la distance sociale est égale à $ 2 $ (ils ont des amis en commun, mais ils ne sont pas amis entre eux). Cependant, si nous projetons ce réseau sur le plan, au moins l’une des paires de persones non amies semblera plus proche qu’elle ne l’est réellement. En effet, c’est une conséquence de l’énoncé suivant:

Problème: Montrez que si quatre points $A,B,C,D$ du plan sont tels que les distances $\mathcal{dist} (A,B)$, $\mathcal{dist} (B,C)$, $\mathcal{dist} (C,D)$ et $\mathcal{dist} (D,A)$ son toutes inférieures ou égales à $1$, alors au moins l’une des distances $\mathcal{dist} (A,C)$ ou $\mathcal{dist} (B,D)$ est inférieure ou égale à $\sqrt{2}$.

Indice: Cette-fois ci, cherchez des angles inférieurs ou égaux à $90^º$.

Remarque: Contrairement au cas du tetraèdre, ce réseaux ne peut pas être projeté sur l’espace tridimensional de manière fidèle (pourquoi?).

Enfin, on peut découvrir beaucoup de choses intéressantes sur ce sujet dans ce livre passionnant. Pour ma part, je vais continuer à le lire tout en profitant de mes réserves de café pendant ces jours de quarantaine un peu distordus.

Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement María José Moreno et Nicolé Geyssel qui ont produit les images de cet article, ainsi qu’Anahí Gajardo pour son beau cadeau (la cafetière octogonale) et ses remarques. Je remercie également Patrick Popescu-Pampu et le relecteur Xavier B. pour ses corrections.

Article édité par Philippe Colliard

Notas

[1Cela a été explicitement souligné il y a quelques jours par la sous-secrétaire du ministère chilien de la santé: voir ici.

[2Ceci découle directement de la loi du cosinus, mais peut être établi à l’aide d’une simple inégalité triangulaire (exercice).

[3Ceci n’est pas complètement évident, mais pas trop difficile à justifier.

[4Cette notion peut être rendue quantitative; pour le cas considéré, notre petit théorème montre qu’elle est égale à $\sqrt{2} $.

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Para citar este artículo:

Andrés Navas — «Un petit théorème de distanciation physique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - La photographie d’entrée de cet article a été prise par Ignacio Navas.

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