Un peu de mathémagie avec Flavius Josèphe

Piste verte Le 25 février 2013  - Ecrit par  Michel Rigo Voir les commentaires

Sans avoir l’air d’y toucher, un tour de magie avec quelques cartes permet d’illustrer les notions de permutation ou de cycle. Les mathématiques deviennent source d’inspiration pour des tours de magie et on peut alors se prendre au jeu d’analyser les astuces des magiciens.

Les tours de magie avec des cartes à jouer peuvent grossièrement se classer en deux grandes catégories.

  • La première se base sur la dextérité du magicien. A force d’entraînement, ce dernier arrive à dissimuler ou faire apparaître habilement la carte de son choix.
  • La deuxième catégorie repose sur les propriétés des mélanges et arrangements de cartes. Dans cet article, nous allons illustrer cette dernière à l’aide du mélange de Josèphe.
PNG - 31.7 ko
Josèphe devant Vespasien.

Cette façon de battre les cartes tire son nom d’une histoire bien peu réjouissante. Au premier siècle après Jésus-Christ, Flavius Josèphe (37-100) est piégé dans une grotte avec ses compagnons. Ceux-ci, refusant de se rendre aux Romains, organisèrent leur suicide collectif comme suit. Placés en cercle, Josèphe et ses compagnons suppriment une personne sur deux jusqu’au dernier. Celui-ci sera le seul membre du groupe à devoir se donner la mort. Dans pareille situation, se pose une question élémentaire de survie : en fonction de la taille initiale du groupe, quelle position doit occuper Josèphe s’il veut, pour échapper à son funeste sort, être l’ultime survivant. L’histoire raconte que seuls Josèphe et un compagnon réchappèrent de cette bien triste aventure. Voir par exemple les pages Wikipédia.

Il n’en faut pas plus pour que les mathématiciens Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik présentent, dans un ouvrage paru en 1994, la fonction de Josèphe qui, pour un pour groupe de $n$ individus, fournit la position $J(n)$ de l’ultime survivant. On retrouve déjà une trace de ce problème mathématique dans un ouvrage datant de 1947 et écrit par Walter William Rouse Ball qui était lui-même magicien amateur. La figure ci-dessous illustre le problème de Josèphe pour un groupe de 6 compagnons et montre que $J(6)=5$. La croix noire représente le compagnon supprimé à l’étape en cours et les deux flèches permettent de compter un individu sur deux parmi les survivants (le compagnon compté en premier est épargné et désigné par un rond vert).

PNG - 8.8 ko
Où doit se placer Josèphe dans un groupe de 6 personnes ?

Revenons à notre tour de magie. Prenez un tas de huit cartes ordonnées et numérotées de 1 à 8.

PNG - 204.9 ko
Le tas de cartes (avant).

L’idée est, comme dans l’histoire de Josèphe, de supprimer une carte sur deux en épargnant la première.

Pour battre le tas, on procède comme suit
  • Epargner la carte au sommet du tas en la plaçant sous le tas.
  • Exécuter la deuxième du tas en la plaçant sur la table (dos visible).
  • On répète la procédure avec le reste du tas en plaçant la carte au sommet sous le tas, puis, la carte suivante vient se placer au-dessus des cartes déjà déposées sur la table.

A chaque étape, la taille du tas diminue et les cartes placées sur la table s’empilent pour former un nouveau tas. Les figures ci-dessous représentent la succession des déplacements effectués. Les cartes roses représentent le tas en main, les cartes vertes forment le tas constitué sur la table.

PNG - 3.7 ko
Les 3 premières étapes du mélange.
PNG - 4 ko
Les 5 dernières étapes du mélange.

Que remarque-t-on lorsque l’on compare le tas initial et le tas obtenu sur la table après les huit étapes ? L’as est toujours en première position (au sommet du tas). Par contre, le 5 occupe à présent la deuxième position, le 2 est quant à lui relégué à la huitième position, etc. Autrement dit, les huit cartes du tas ont été permutées.

Permuter $n$ éléments distincts revient à fixer la manière de les ordonner.

Contrairement à un battage aléatoire, la permutation effectuée ici n’est pas quelconque.

PNG - 198 ko
Le tas de cartes (après).

On représente les déplacements effectués, i.e., la permutation, à l’aide de la notation suivante où chaque colonne montre la valeur d’une carte avant et après battage :
\[ \left(\begin{array}{cccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8\cr 1&5&7&3&8&6&4&2\cr \end{array}\right). \]
On observe tout d’abord que les cartes 1 et 6 ne bougent pas. Ensuite, là où l’on trouvait un 2, on y trouve à présent un 5 et ainsi de suite. Remarquez que les cartes 2, 5 et 8 échangent leur position, tout comme celles aux positions 3, 7 et 4. On est en présence de deux permutations circulaires. Pour avoir d’autres illustrations des permutations, voir l’article Permutations jonglistiques (ou enntionso in, à tos_"17;autres illustratarticlem="Pnbsp;-&n[href="Pe'#nb1'ass='spip_in'icleel='extfooticleelle="Es'Poignlàratiol por4. tagents de cartes. D enntionsTutleelid='nh1'>1> (o]pan>

    Les 5 dtys-maparaîtante. ns le lange de Josèphe

    Ockquote class="spip">

    P échatudiles attage alJosèphe pouc le tas de hui8rtes. D.e.liteffie comtentre éparv de de deux flmutations circulaires

    ConIl#8217;empaglui-devoi#8217;artustrations d#8217;une c phéntrenout d&#fixe un génaturlns l’hishatudes permutations, vemarndreons tas obtenu sur4. tage-jonle notreau tasl’aide du lange de Josèphedessous rep>

    LesAs bat c sec verlange.

    QueEnr unle uli un cartes 2, prétion (aut 6 ne b217;on troujours en quegentéutres illustratarticlem="Pnbsp;-&n[href="Pe'#nb2'ass='spip_in'icleel='extfooticleelle="Es'Lagicien amar fots2> (o]pan> quitagee cycon de atoire, l. C217;est pasn, lairente les agie aveerviews et apr lat d&#ueu de matbonnt unsp;-&n! As batir d&#saur fdsen#ueu de matr fdse permutlimpinpinr les ps en mprès batir d&,en triarv demt, ce e un s rfflles at les poumatr fdse un ronspuéur. Le 5 oicien ama du traceoisme posfois 5 o d&#l’aide du lange de Josèpheaotque coltage al,s cartes 2, 5 et,échangent aroujou sonjou r position, tou3ltage alsn fuinsi de es siones

    JosLétapngent e cartes (ap dép flmiers jumtage als/dd>
Pong>.

ii8rtes. D péren 9 en10sp;?. \[ \left(\begin{array}{cccccccc} 11&2&3&4&5&6&7&8\cr&9 \en5&9&1cr&48\c27&83 \end{array}\right). \]
On obsyserve toutasune dantys-m la pe gu pos9sp;: procer e,ns l’his qu le un astpoions 3, 1 et,4,é, 6 et, 5 e9ou3lnt et rout v sles1994. Il#fafdsannerce les moicien ama dule com d&#l in, à /iir que l217;il veus se aotreau tasonnées . féren lens l&#caonstidins de pergar-cos survpuéur. L, prh duini/ M, lairenter que10rtes. D.e8e lange de Josèpheclass='autobr' /> \[ \left(\begin{array}{cccccccc} 111&2& & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \e 3 & 10& 5 & 9 & 1 & 8 & 4 & 7 & 2 & 6 \e d{array}\right). \
On c le tastys-m poles pro3rtes 1 etou3lpé5 un comsec vertys-m mentdes mat7ttes roseost de DanIl#8esannercees siones uions d#tiale dusp;-&n!>

Il Pong>..

class='autobr' /> \[ \lefin{array}{cccc|cccccccccccccc} n3&4&5&6&7&8\cr&9& 10& 11& 12& 13& 14& 15 \endheMat )$ d&1c3&1c3&&3&81c3&&3 7& 9& 11& 13& 15 \end{array}\ri
Il \lefin{array}{cccc|ccccccccccccccc} n316&1&818&19&20&2&3&2&23&24&25&26&2\c28&29&30&31 \endheMat )$ d&1c 3& &3 7& 9& 11& 13& 15& 17& 19& 25& 2\c 29& 31 \end{array}\ri
\[ hamtres illustratarticlem="Pnbsp;-&n[href="Pe'#nb3'ass='spip_in'icleel='extfooticleelle="Es'T d&#bres p la arrnre3> (o]pan>
    Pong>.

    .bsp;pouspuéucdusp;-&n&rate>b sente ls se 217;il uneuès ba-midithJax217;il mnt deà jou 217;écUnidrs du me Lresg se tinpone).< href="http://fr.="hlexs, veulg.ac.be/cms/c_340915thjax-amnt deà--mathematiques-.hten-s-amnt delass='spip_out' rel='external'>Donen >.

    Il 8217;as eur. Lalanganriadacns d#8217;une

    icles-m iaMichel è-m Audin> v class="det"17;a

    2tre /tit 2t
    Il Pores illustratarticlem="Pnb[href="Pe'#nh1'ass='spip_in'icleelle="Es're /t 1el='vxtfooticlee>1> (o]sp;-&npan>
      Permoignlàratiol por4. tagents de cartes. D> (ouenntions ref="PerTutleml" class='spip_in'>PerTutle> v claid='nb2'p>Il Pores illustratarticlem="Pnb[href="Pe'#nh2'ass='spip_in'icleelle="Es're /t 2el='vxtfooticlee>2> (o]sp;-&npan> v claid='nb3'p>Il Pores illustratarticlem="Pnb[href="Pe'#nh3'ass='spip_in'icleelle="Es're /t 3el='vxtfooticlee>3> (o]sp;-&npan>
    v class="detck-lefsharid="recrcls d

    2 href="#menrcls d Prcls d t article, n>

    =peu de mathémagie avec Flavius JosèpheUnur-d-Imahematiq av-c Fl-vius Joml" class="back">R-tact@imitle="Espanvoyd t article, n &angeve; nourmii class="flaticon-mentact@imii> i>
  • ref="maip://simawww.fr abookm/csspharirspharirp?pagu=p://%3A%2F%2Fges.math.cnrs.fr/"/%2FUnur-d-Imahematiq av-c Fl-vius Joml" class="back">R-fr abookitle="Page cls d t article, nr deuFr abookitlarg"UTFpopupi class="flaticon-menfr abookii> i>
  • ref="maip://simatweratum/cssphari?url=p://%3A%2F%2Fges.math.cnrs.fr/"/%2FUnur-d-Imahematiq av-c Fl-vius Joml" c&t" s=pe+r-d+de+hema%C3%A9iq av+c Fl+vius Jo+èp%C3%A8R-tweratuitle="Page cls d t article, nr deuTweeatuitlarg"UTFpopupi class="flaticon-mentweratuii> i>
  • ref="maip://simas poogleapim/cssphari?url=p://%3A%2F%2Fges.math.cnrs.fr/"/%2FUnur-d-Imahematiq av-c Fl-vius Joml" class="back">R-gleapis poitle="Page cls d t article, nr deuGleapi+itlarg"UTFpopupi class="flaticon-mengleapis poii> i> p h4ass="detck-ls_re">P ck-ls_ris ih3>Cacute;sen

  • v class="detck-lsscritinens, uck-lssinible).ref="mai/png/vespasian3.png' w">img17 sp> (ou- Chronr=#gy of mat WcoeAgsi dt mat ains voip://imawww.ephus6b-g/wik
    <> vo> 2 Centaires" r les 'icle R-rsoitle="PagRSSi class="flaticon-menrsoii> iv 2t 2 Ltantau-compagtaires" it 2t
    >Forum lesabement dui> eda">> rnit l/ Si s matn’er",n queenregier éous matdeeezus mati dpt"r/p>
    | href="Perp.php?page=rec de tifianesp;id_;id_ge d=frp;id_mode=6forum" s’iqdpt"r/> | href="Perp.php?page=recp_in'cer &;id_ge d=fr">mot de cer e oublié ?> iv
    2 href="#menwuggion écl icles r&ewuggcute;senacute;sent>Si s mataeezua à article, nour ln&#lques carwuggion éctoNumiquesp v class="image" st Retclass="flaticon-mens poii>n>