En quelques clics, construisez le patron de votre polyèdre non-convexe préféré !
Je voudrais dans cet article vous présenter rapidement GSolaar, un logiciel que vous pourrez télécharger gratuitement et qui vous permettra de jouer avec les polyèdres non-convexes, comme celui qu’on voit sur l’image ci-dessus.
Les polyèdres ont une longue histoire et probablement que les plus connus d’entre eux vous sont bien familiers : ce sont les fameux solides de Platon, ces cinq polyèdres réguliers qui fascinaient tant les Anciens...
Il y a une différence très importante entre le polyèdre que je tiens dans le creux de ma main sur la première image et les polyèdres réguliers ci-dessus : ces derniers sont convexes. Vous voyez la différence ? Non ? Mais si... rappelez-vous l’article de Serge Cantat sur le triangle de Reuleaux. On y apprenait ce qu’est la convexité pour une figure dans le plan. Et là, c’est pareil... mais dans l’espace. Bon, j’espère que c’est à peu près clair maintenant la différence entre un polyèdre qui est convexe et un autre qui ne l’est pas.
À vrai dire, avec le logiciel GSolaar, on peut faire pas mal de choses avec les polyèdres non-convexes. Son origine ? C’est un programme écrit sous la direction de Philippe Martin de l’Université de Nantes que j’ai ensuite essayé de rendre le plus convivial possible. Ah oui, ce curieux nom de GSolaar, ça provient de « Graphisme et SOLides ARêtes-Ailées ».
Qu’est-ce qu’on peut faire exactement avec ce logiciel ? Eh bien on peut construire un polyèdre et ensuite en imprimer son patron sur un papier cartonné : il ne reste plus alors qu’à sortir ces ciseaux et sa colle pour fabriquer ledit polyèdre !
Une autre chose qu’on peut faire aussi, c’est de s’amuser avec 80 polyèdres dits uniformes qui sont déjà implémentés dans ce petit logiciel : ça ce fut possible grâce à un programme nommé Kaleido développé par le professeur Zvi Har’El.
Bon écoutez, le mieux c’est que vous suiviez mon conseil ! Téléchargez GSolaar et amusez-vous avec. Vous aurez vite fait de comprendre tout ce qu’on peut faire avec...
La notion de solide est implémentée dans le logiciel sous une forme dite « arêtes-ailées », ce qui permet d’éliminer un grand nombre de polyèdres qu’il serait difficile voire impossible à construire. L’algorithmique de traitement des polyèdres non-convexes se déroule en plusieurs étapes :
Une fois le traitement du polyèdre effectué, le logiciel est enfin capable de générer un patron comparable au patron d’un vêtement. Il suffit pour cela de projeter les faces sur un plan, de les disposer comme il faut et de les ajouter comme les lettres d’un mot. Tout simplement ;-) !
Pour terminer, voici deux versions du patron du prisme pentagrammique, l’une avant traitement et l’autre après traitement... et on devine bien alors que fabriquer des polyèdres non-convexes n’est pas si simple...
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Je tiens à remercier Aurélien Alvarez pour son aide amicale dans la rédaction de cet article.
