20 mars 2010

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Un polyèdre au creux de la main

Cédric Couliou

Ingénieur en informatique industrielle. Toujours passionné par la recherche et la beauté de l'univers des maths. (page web)

En quelques clics, construisez le patron de votre polyèdre non-convexe préféré !

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Un grand dodécaèdre au creux de la main
Un grand dodécaèdre

Je voudrais dans cet article vous présenter rapidement GSolaar, un logiciel que vous pourrez télécharger gratuitement et qui vous permettra de jouer avec les polyèdres non-convexes, comme celui qu’on voit sur l’image ci-dessus.

Les polyèdres ont une longue histoire et probablement que les plus connus d’entre eux vous sont bien familiers : ce sont les fameux solides de Platon, ces cinq polyèdres réguliers qui fascinaient tant les Anciens...

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Il y a une différence très importante entre le polyèdre que je tiens dans le creux de ma main sur la première image et les polyèdres réguliers ci-dessus : ces derniers sont convexes. Vous voyez la différence ? Non ? Mais si... rappelez-vous l’article de Serge Cantat sur le triangle de Reuleaux. On y apprenait ce qu’est la convexité pour une figure dans le plan. Et là, c’est pareil... mais dans l’espace. Bon, j’espère que c’est à peu près clair maintenant la différence entre un polyèdre qui est convexe et un autre qui ne l’est pas.

À vrai dire, avec le logiciel GSolaar, on peut faire pas mal de choses avec les polyèdres non-convexes. Son origine ? C’est un programme écrit sous la direction de Philippe Martin de l’Université de Nantes que j’ai ensuite essayé de rendre le plus convivial possible. Ah oui, ce curieux nom de GSolaar, ça provient de « Graphisme et SOLides ARêtes-Ailées ».

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Interface graphique de GSolaar
GSolaar : une interface pour explorer et traiter les polyèdres

Qu’est-ce qu’on peut faire exactement avec ce logiciel ? Eh bien on peut construire un polyèdre et ensuite en imprimer son patron sur un papier cartonné : il ne reste plus alors qu’à sortir ces ciseaux et sa colle pour fabriquer ledit polyèdre !

Une autre chose qu’on peut faire aussi, c’est de s’amuser avec 80 polyèdres dits uniformes qui sont déjà implémentés dans ce petit logiciel : ça ce fut possible grâce à un programme nommé Kaleido développé par le professeur Zvi Har’El.

Bon écoutez, le mieux c’est que vous suiviez mon conseil ! Téléchargez GSolaar et amusez-vous avec. Vous aurez vite fait de comprendre tout ce qu’on peut faire avec...

Quelques mots de plus pour les curieux...

La notion de solide est implémentée dans le logiciel sous une forme dite « arêtes-ailées », ce qui permet d’éliminer un grand nombre de polyèdres qu’il serait difficile voire impossible à construire. L’algorithmique de traitement des polyèdres non-convexes se déroule en plusieurs étapes :

  • le découpage qui consiste à découper chaque face par le plan d’autres faces
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Exemple de découpage (vue en coupe transversale)
Découpage du prisme pentagrammique
  • la segmentation qui vise à découper les arêtes qui s’intersectent
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Exemple de segmentation
Segmentation d’une face pentagrammique
  • le décroisement dont le but est d’ordonner les sommets d’une face qui serait un polygone croisé en triant les sommets selon leur angle d’apparition
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Exemple de décroisement
Décroisement d’une face pentagrammique
  • l’évidage qui consiste à éliminer tous les résidus de faces découpées non visibles à l’extérieur du solide
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Exemple d’évidage (vue en coupe transversale)
Évidage du prisme pentagrammique
  • et enfin, la fusion
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Un premier exemple de fusion
Recollage de six faces pour n’en former plus qu’une
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Un deuxième exemple
Fusion du grand icositétraèdre hexacronique

Une fois le traitement du polyèdre effectué, le logiciel est enfin capable de générer un patron comparable au patron d’un vêtement. Il suffit pour cela de projeter les faces sur un plan, de les disposer comme il faut et de les ajouter comme les lettres d’un mot. Tout simplement ;-) !

Pour terminer, voici deux versions du patron du prisme pentagrammique, l’une avant traitement et l’autre après traitement... et on devine bien alors que fabriquer des polyèdres non-convexes n’est pas si simple...

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Avant le traitement...
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Après le traitement
P.S. :

Je tiens à remercier Aurélien Alvarez pour son aide amicale dans la rédaction de cet article.

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Pour citer cet article : Cédric Couliou, « Un polyèdre au creux de la main »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Un-polyedre-au-creux-de-la-main-639.html

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