Un premier visage de Camille Jordan se dessine ci-dessus à l’âge de 17 ans auquel notre héros intègre l’École polytechnique (1855). Cet article est principalement consacré à la première décennie de travaux de ce mathématicien, c’est-à-dire à la période séparant la soutenance en 1860 par Jordan de sa première thèse d’algèbre et la parution en 1870 du célèbre Traité des substitutions [1] et des équations algébriques.

Comme nous allons le voir, le visage de Jordan nous présente différentes facettes qu’il nous faudra scruter avec attention afin de restituer l’originalité des approches développées par le mathématicien. Nous brossons ici un portrait général du jeune Jordan et dépeignons des facettes plus spécifiques dans d’autres articles qui seront prochainement disponibles sur ce site. Certaines des questions que nous évoquons simplement dans cet article en prenant pour héros un mathématicien sont notamment approfondies ailleurs en prenant pour héros un texte mathématique - le Traité des substitutions - (Le premier théorème de Camille Jordan : l’origine du groupe linéaire) ou une forme de représentation (Évariste Galois et la représentation analytique des substitutions).

La carrière de Camille Jordan en quelques mots

Né le 5 janvier 1838 à la Croix Rousse, Jordan est issu d’une famille de notables lyonnais. Son père, Esprit Alexandre, est polytechnicien et ingénieur des ponts et chaussées. Sa mère, Joséphine, est la fille d’un ingénieur en chef des mines et la soeur du peintre symboliste Pierre Puvis de Chavannes (1824-98).

D’un point de vue institutionnel, Jordan poursuit une carrière classique de savant du XIXème siècle : après des études en classes préparatoires, il intègre l’École polytechnique puis débute ses travaux mathématiques en parallèle de ses fonctions d’ingénieur des mines.

À partir de la fin des années 1870, Jordan se voit confier les principales clés des institutions mathématiques en France : nommé Professeur d’Analyse à l’École polytechnique en 1876, élu à l’Académie des sciences en 1881, puis nommé Professeur au Collège de France en 1883.

Jordan est également célèbre pour son Cours d’Analyse de l’École polytechnique dont le premier volume paraît en 1882.

Archives de l’École polytechnique.

On peut l’apercevoir ci-dessus, croqué dans la force de l’âge par un élève de l’École polytechnique : traçant à la craie des successions d’intégrales ; reproduisant une faute d’impression de son Cours d’Analyse : « je crois que j’ai fait une petite faute de calcul » ; prenant le temps de la réflexion en vidant un verre d’eau sucrée : « nous allons faire un petit changement de variable » ; déambulant sur l’estrade ; puis, chiffon à la main : « nous reprendrons cette question la prochaine fois ». Jordan était visiblement apprécié des élèves polytechniciens qui ont baptisé de son nom le verre d’eau sucrée du professeur.

Testard, É. (ed). L’Argot de L’X, Paris : Albert-Lévy et G. Pinet, 1894, p. 178.

De 1885 à sa mort en 1922, Jordan était également directeur du Journal de mathématiques pures et appliquées, l’un des principaux journaux de recherche mathématique de l’époque. [3]

Un isolement paradoxal

À première vue, notre héros semble donc parfaitement en prise avec l’organisation institutionnelle des sciences mathématiques de son temps. Pourtant, Jordan a souvent été considéré comme « travaillant dans une solitude presque totale »,(réf [7]) isolé sur la scène mathématique française et même « presque allemand ». [4]

Brosser un portrait de Camille Jordan pose donc le problème de la restitution des dimensions collectives dans lesquelles saisir la création mathématique individuelle. Jordan était-il réellement isolé ? Dans le cas contraire, dans quels cadres collectifs ses travaux se situaient-ils ?

Afin d’aborder ce problème, il est nécessaire d’être attentif aux évolutions des organisations collectives des savoirs mathématiques en théories ou disciplines. Comme nous allons le voir, la présentation de Jordan comme savant isolé participe d’un portrait qui a souvent forcé le trait sur le développement de la « théorie des groupes », de la « théorie de Galois » et plus généralement de l’« algèbre abstraite ». Or aucune de ces catégories n’est stable historiquement ; il faut donc en restituer les significations variées dans différents temps et espaces.

Nous allons voir en particulier dans cet article le rôle de modèle joué dans les travaux de Jordan par une forme de représentation très concrète : la représentation analytique. Il ne s’agit pas là d’une simple notation : cette représentation par des fonctions polynomiales véhicule des pratiques mathématiques spécifiques. Elle permet notamment de décomposer des permutations sur des ensembles finis sur le modèle de la décomposition des polynômes en facteurs linéaires.

Jordan attribuait à cette pratique de réduction l’« essence » même de son approche car celle-ci lui dévoilait des « liens cachés » entre différents domaines comme l’algèbre, l’analyse, la théorie des nombres, la géométrie ou la mécanique.

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Un « grand algébriste » en relation directe avec les « idées de Galois »

Un premier portrait du jeune Camille Jordan s’esquisse en clair-obscur, dans l’ombre de la grande figure d’un autre jeune mathématicien : Évariste Galois. Les nombreuses nécrologies publiées après le décès de Jordan en 1922 insistent en effet toutes sur la relation entre le Traité et les travaux de Galois.

Plus généralement, les travaux de Jordan ont souvent été placés dans le cadre d’une évolution de l’algèbre envisagée comme passant d’une théorie des équations à une discipline centrée sur des structures abstraites comme les groupes. Successeur de Jordan au Collège de France, Henri Lebesgue a publié une

Mais cette relation directe entre les idées de Galois et le Traité de Jordan suscite une tension entre les dimensions individuelles et collectives des travaux de ce dernier.

D’une part, Jordan a été célébré comme l’un des principaux fondateurs de la théorie des groupes, c’est-à-dire d’une théorie qui allait jouer un rôle structurant pour les organisations collectives des mathématiques au XXème siècle. Lors de l’édition des œuvres de Jordan en 1961, Jean Dieudonné présentait ainsi notre héros comme un second père de la théorie des groupes :

Mais d’autre part, et pour la même raison, Jordan a été présenté comme isolé et incompris en son temps.

Il faut cependant être attentif à la dimension publique des commentaires sur la relation Jordan-Galois. De fait, ce n’est qu’au tournant des XIXème et XXème siècles que de telles appréciations apparaissent, c’est-à-dire à l’époque où la figure de Galois a été érigée en icône mathématique comme l’a étudié Caroline Ehrhardt [7] C’est en particulier à l’occasion du centenaire de l’École normale supérieure et de la réédition des Œuvres de Galois que Sophus Lie et Émile Picard ont attribué à Jordan un rôle majeur pour la mise en lumière des idées de Galois. [8]

Ces discours doivent être analysés en regard des rôles d’autorité endossés par des mathématiciens comme Picard. Ils impliquent souvent des hiérarchisations entre praticiens des mathématiques, notamment entre chercheurs et enseignants ou enseignants et ingénieurs. Les principales catégories mobilisées (« algèbre », « analyse », « théorie des équations », « théorie des groupes », « France », « Allemagne ») sont ainsi loin d’être neutres. Elles participent au contraire de l’établissement de frontières entre mathématiques pures et appliquées, entre mathématiques élémentaires et supérieures, entre calculs concrets et idées abstraites, entre point de vue unificateur et réducteur, etc. Aux alentours de la Première Guerre mondiale, ces lignes épousent souvent celles des frontières nationales. Galois était alors souvent présenté comme un symbole de l’universalité de la « pensée française ». Un tel entrelacement de valeurs mathématiques et patriotiques se manifeste particulièrement

Un portrait kaléidoscopique du Traité dans les textes mathématiques entre 1870 et 1914

À la différence des discours publics, les textes mathématiques publiés sur la période 1870-1914 font très rarement référence au Traité des substitutions en relation avec les travaux de Galois sur les équations algébriques. De fait, l’approche spécifique de Jordan sur la théorie des équations n’a en réalité pas été reprise, au contraire d’autres approches, comme celle de Joseph-Alfred Serret dans la troisième édition de son Cours d’algèbre supérieure de 1866 ou l’approche de Leopold Kronecker, radicalement opposée à celle de Jordan.

De nombreux historiens ont interprété cette situation sous l’angle d’une faible réception du Traité par les mathématiciens contemporains.
Mais le Traité est un ouvrage long et complexe. Il faut en envisager des réceptions multiples ainsi que des lectures fragmentées.

L’impression d’isolement de Jordan provient principalement d’approches rétrospectives ayant recherché les traces des travaux de ce dernier en théorie des groupes ou théorie de Galois. Or, non seulement ces catégories revêtent des significations changeantes mais nous avons vu également que ces catégories sont loin d’être neutres et étaient au contraire employées par des autorités pour discourir publiquement des dimensions collectives des mathématiques.

Comme nous le proposons en annexe 1, dissocier la réception du Traité de la question du développement de la théorie des groupes ou de la théorie de Galois permet de brosser un panorama général de la réception des travaux de Jordan. À la différence du portrait public de Jordan dans l’ombre de la figure de Galois, les textes mathématiques nous présentent un kaléidoscope de reflets mobiles et fragmentés qui nous donnent l’occasion d’éclairer les premiers travaux de Jordan sous un nouveau jour.

Cet éclairage permet notamment de montrer que la relation de Jordan à Galois n’est que peu liée à la théorie générale des équations mais bien davantage à des procédés d’indexations pour lesquels ce dernier a introduit ce que l’on appelait au XIXème siècle les imaginaires de Galois.

Nous allons porter notre attention dans cette partie sur ces procédés d’indexations ainsi que sur le rôle de modèle qu’ils ont joué pour les pratiques algébriques de Jordan. Ces dernières ont eu un héritage important dans des domaines variés comme l’arithmétique, l’analyse ou la géométrie. Dans les travaux d’Henri Poincaré ou de son élève Léon Autonne, elles prennent la forme de méthodes spécifiques de réductions de Tableaux en sous-Tableaux afin de décomposer un problème général en une chaîne de sous-problèmes. Quelques exemples en sont données ci-dessous. Au début du XXème siècle, ces méthodes ont été théorisées dans le cadre de la théorie des matrices par des mathématiciens français comme Albert Châtelet ou Jean-Armand de Séguier et des mathématiciens américains comme Leonhard Dickson. Plus tard, dans les années 1930, elles se sont trouvées au coeur d’une théorie organisée à une échelle internationale : la théorie des matrices canoniques.

Poincaré 1884

Autonne 1905

Dickson 1901

Turnbull et Aitken 1932

Réductions successives et représentations analytiques

Dès sa thèse, Jordan a attribué l’essence de son approche à une méthode de « réductions successives » d’un problème général en une chaîne de sous-problèmes. On retrouve ici une définition très classique de l’Analyse mathématique. Mais chez Jordan ces réductions successives ne sont pas seulement une heuristique générale de résolution de problèmes. Elles présentent en effet un caractère opératoire et s’appuient sur une pratique algébrique spécifique dont nous allons donner les principales caractéristiques.

Indexation et représentation analytique

Afin de « réduire » un problème, Jordan exprime tout d’abord celui-ci par une fonction représentée analytiquement. Dans certains cas, l’emploi d’une telle représentation était tout à fait traditionnel, comme par exemple pour l’étude des équations différentielles. Mais dans d’autres cas, Jordan s’appuie sur des procédés plus spécifiques.

Considérons tout d’abord les permutations sur des ensembles finis qui ont beaucoup occupé notre héros dans les années 1860. Une forme simple de notation d’une permutation $S$ sur $p$ élements consiste à représenter l’action de celle-ci sur une suite de lettres ($a$ s’envoie sur $d$ ; $b$ sur $c$ etc.) :

[
(a, b, c, d, e, ...)
]
[
(d, c, a, e, b, ...)
]

Cette notation peut être élaborée davantage, notamment en décomposant la permutation en produit de transpositions ou en rangeant les lettres dans des tableaux.
Jordan utilise cependant peu de telles représentations. Il a davantage recours à des indexations, $a_0$, $a_1$, ..., $a_{p-1}$, de manière à faire agir la permutation non directement sur les lettres mais sur la suite ($0$, $1$, ..., $p-1$) des nombres entiers de leurs indices $x$.

Cette indexation est un préalable à l’introduction du problème crucial de la représentation analytique des substitutions : trouver une fonction analytique $f$ telle que
[
S(a_x)=a_f(x)
]

Dans le cas où $p$ est premier, l’indexation des lettres est liée aux équations binômes donnant les racines $p^e$ de l’unité :

[
X^p-1=0
]

En somme, le point important dans toutes ces transformations de notations et de points de vue, il est vrai un peu technique, est que celles-ci établissent un lien entre nombres et groupes. En effet, toutes les racines d’une telle équation peuvent être exprimées par la suite ($0$, $1$, ..., $p-1$) des puissances de l’une d’entre elles, $\omega$, dite racine primitive :

[
\omega^0, \omega^1, \omega^2,..., \omega^p-1
]

Nous proposons en annexe 2 un exemple pour le cas des racines cubiques de l’unité. Dans la liste ci-dessus, on passe d’une racine $\omega^x$ à la racine suivante $\omega^{x+1}$ en ajoutant 1 à l’exposant $x$. Cette opération est associée à la permutation $(x \ x+1)$. Cette dernière notation donne la représentation analytique d’un cycle.

Les racines $p^e$ de l’unité sont donc indexées par l’ensemble des nombres (0, 1, 2, ..., $p-1$) muni d’une loi d’addition, c’est à dire par le groupe additif cyclique $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Les permutations de ce groupe peuvent être représentées analytiquement par la notation $(x \ x+a)$, c’est à dire par la fonction affine $f(x)=x+a$. Elles sont engendrées par le cycle $(x \ x+1)$.

Mais considérons à présent la liste des racines privée de l’unité elle-même :

[
\omega , \omega^2, ..., \omega^p-1
]

Cette liste peut être réindexée de la manière suivante :
[
\omega^g, \omega^g^2,..., \omega^g^p-1
]