Un site paillart

Faire de l’astronomie avec des villageois principalement agriculteurs

Piste verte 25 juillet 2015  - Ecrit par  Pierre Gallais Voir les commentaires

L’« ailleurs » de cet article est, comme la propagande de la rubrique l’annonçait, assez loin des grands instituts de recherche… Mathématiques et astronomie en plein champ !

Rediffusion d’un article publié le 26 novembre 2013.

Qui n’a rêvé devant un ciel étoilé et ne s’est émerveillé devant cette immensité qui nous dépasse ? Il ne saurait être question d’aborder le sujet sans des appuis concrets. Dans le développement qui suit nombre de notions ou précisions seraient nécessaires et mériteraient d’être développées afin d’être rigoureux - j’en ai bien conscience - mais il s’agit ici d’illustrer « mathaphoriquement » une situation qui relève de la science et permettre de rêver. Si ce récit, tout comme cette installation, donnait envie à quelques-uns de prolonger ou le désir de connaître précisément les notions et calculs qui entrent en jeu... mon but serait atteint !

Chapitre 1 ... le site paillart et ses bottes.

Vers 1976, en Bretagne, je voyais apparaître les premières grosses bottes de paille cylindriques (on dit round baller ou round ball pour faire in :-)). Elles avaient des dimensions considérables (Φ : 150cm ; H : 125cm) par rapport aux bottes parallélépipédiques alors en usage. La campagne, au moment des foins et de la moisson, donnait l’impression de se remplir de menhirs à la manière des alignements de Carnac ... sauf qu’ils n’étaient pas alignés mais posés au petit bonheur. Sensible au monde agricole et proche des agriculteurs par mes origines, je songeais dès cette époque qu’il serait bien que j’y mette bon ordre et réalise quelque chose dans le sens de ces sites mégalithiques qui me faisaient rêver ; sachant que l’on racontait que ceux-ci avaient des liens avec l’astronomie. Enfin, c’est ce qu’on m’avait dit ! Il fallait trouver une idée et l’occasion de la réaliser. J’ai dû attendre l’an 2000 et un projet dans la Nièvre. Entre ces deux dates j’avais pu lire l’aventure que Kepler (voir « Les somnambules » d’Arthur Koestler, par exemple) avait menée pour en arriver à extraire les trois lois régissant le mouvement des planètes autour du soleil ; et plus particulièrement celle nommée « loi des aires ». Celle-ci affirme que le mouvement elliptique d’une planète autour du soleil (lequel est un des foyers de l’ellipse) s’accomplit de la manière suivante : si du soleil vous tendiez une ficelle jusqu’à la planète, pendant une durée égale (par exemple un mois) la surface balayée par la ficelle serait constante.

vitesse aréolaire

Ou bien si vous regardiez cela comme un gâteau elliptique que vous souhaitiez partager en douze parts égales, avec le soleil comme foyer et au sommet de chaque part... comment s’y prendre ? Il suffirait de placer une planète ou une comète de Gallais sur le bord de votre gâteau et la regarder tourner autour du soleil. Dans un premier temps vous chronométreriez le temps qu’elle met pour accomplir un tour complet puis, divisant en douze ce temps, à chaque douzième du temps total, vous placeriez un piquet sur le bord du gâteau. Ainsi vous seriez assuré de ne faire aucun jaloux. (Note : Remarquez au passage que si vous étiez treize à table (à éviter : cela porte malheur au dire de certains) la procédure ne différerait pas. Il suffirait de diviser le temps total en treize). Convenez que ce n’est pas évident, mais essayez de partager la boîte de pilchart en douze parts égales ? [1] En deux puis en quatre encore facile avec les axes, mais après ? Comment diviser chacune en trois ? (Que dire pour treize ?)

Cette loi des aires n’a rien de naturelle. On parle de vitesse aréolaire ...! Naturellement, nous avons une petite conscience de la vitesse linéaire. A pied ou à cheval, comme au temps de Kepler, on s’aperçoit bien si on va plus ou moins vite... même si on n’ajoute pas le qualificatif linéaire à vitesse. Egalement, nous avons une conscience de la vitesse angulaire ... Il suffit d’avoir fait tourner son bidon de lait au bout du bras et constaté que si on ne tourne pas assez vite... le lait tombe. Mauvais souvenir de mon enfance qui me valut une punition... que la découverte de la force centrifuge (que je n’aurais su ainsi nommer à cet âge) compensait allègrement. Mais cette vitesse aréolaire, qui exprime le fait que pendant des temps égaux ce sont les aires qui sont prises en compte ??!! Où et quand pourrions nous en prendre conscience ? Personnellement, je n’ai jamais eu l’occasion de m’en apercevoir dans ma vie courante. Et Kepler, je ne pense pas, non plus. Il fallait donc aller la dénicher dans un espace « abstrait », au sens que cet espace ne relève pas de nos sens mais des observations, des relevés et puis de la mise en relation par des calculs. Actuellement, alors que ces lois sont établies, vérifiées et assimilées, il est plus simple de contrôler l’adéquation des relevés avec les valeurs établies par le calcul.... Mais, là, nous prenons l’aventure à contresens. Kepler ne savait rien et les valeurs comparées entre elles ne pouvaient rien dévoiler de significatif.

Conjointement il fallait (...)

Conjointement il fallait remarquer que les planètes décrivent des ellipses autour du soleil, ce qui allait à l’encontre de toutes les idées admises. Quelques décennies en amont Copernic avait déjà amorcé la déconstruction en affirmant (précautionneusement, voire timidement) que la Terre tournait autour du soleil, ce qui était impie et valut à Galilée, au temps de Kepler, d’être condamné à renier son affirmation. Mais il y a moult façons de tourner autour de... La plus simple qui vient à l’esprit est que l’objet mobile décrit un cercle autour de l’objet fixe au centre... comme dans le cas du bidon de lait au bout du bras. Mais apparemment rien ne l’y oblige. Lorsqu’un moustique vous tourne autour il est peu probable qu’il décrive un cercle autour du point où il vous piquera. Soit, vous ne vous posez pas la question et tentez de l’écraser avant qu’il ne soit trop tard. Vous pouvez toutefois remarquer que sa trajectoire n’est pas un cercle. Mais lorsque vous observez un oiseau (une buse par exemple) décrire des « cercles » dans le ciel, vous dites cercles alors que rien ne permet d’affirmer la constance d’un rayon ou ficelle virtuelle qui le relierait à un centre. Que dire du mouvement de la Terre ou de la planète Mars lorsque vous avez admis qu’elles tournent autour du soleil ? Par habitude ou simplicité, comme pour l’oiseau, ce sera l’image du cercle qui viendra à l’esprit. - il faudrait sans doute aller faire un tour du côté de la psychologie et de notre appréhension des phénomènes, évoquer bien d’autres raisons « philosophiques », mais il faut avancer. En l’occurrence vous n’aurez pas vraiment tort, puisque depuis que l’on a vérifié que ce sont des ellipses... il faut être très précis dans les observations. Presque rien ne les distinguent du cercle. Pour la Terre l’excentricité ( ce qui permet de marquer la déformation de l’ellipse par rapport au cercle) est de 0,017 (au passage, la distance Terre soleil est de 149 millions de kilomètres). Pour Mars - la planète dont l’excentricité est maximum - elle est de 0,09 (distance : 228 millions de kilomètres). Ramené à la dimension de notre boîte de pilchart, pour un cercle de 81,5 mm de rayon et une excentricité de 0,09, on obtient une ellipse de demi grand axe 81,5 mm et de demi petit axe 81,17 mm. A peine plus de 3 dixièmes de millimètre d’écart. Ce qui suppose d’être bien attentif pour la distinguer du cercle. Pour une excentricité de 0,017 cela donnerait respectivement 81,5 et 81,49 !!! Affirmer que la Terre décrit une ellipse, comme dire alors que votre boîte est elliptique plutôt que circulaire, avouez qu’il faut y croire. Et si vous voulez convaincre il faut apporter d’autres preuves.

Sans évoquer la relativité, au sens d’Einstein, remarquons que dire : « A tourne autour de B » est troublant. A et B peuvent être « fixes » mais pour peu que A tourne sur lui même il aura l’impression que B lui tourne autour. Même si la Terre A était « fixe », tournant sur elle-même, nous aurions l’impression que c’est le soleil B qui nous tourne autour. C’est d’ailleurs ce mouvement « quotidien » de rotation de la Terre sur elle-même qui nous a fait croire que le soleil était mobile (indépendamment, par ailleurs, des considérations anthropocentriques et religieuses que nous pouvons naturellement avancer). La rotation « annuelle » de la Terre autour du soleil est bien moins évidente à percevoir. Dans ce cas, la Terre A, se considérant immobile, peut affirmer que le soleil B lui tourne autour. Mais B, de son côté, se considérant immobile pourra affirmer tout autant que c’est A qui lui tourne autour. Les deux affirmations seront toutes deux également valables, dans la mesure où rien ne permet d’affirmer qu’il y en a un qui est fixe. Le mouvement est affaire relative. Encore plus ! Si un objet A (sans rotation sur lui même) tourne autour d’un objet B, que B tourne sur lui même à la même vitesse angulaire que A autour de lui, ils auront l’impression d’être immobiles !! pour peu qu’ils soient seuls dans leur microcosme. L’artiste Piotr Kowalski avait fait éditer une œuvre où il avait simplement écrit : « ceci se déplace à 29 km/seconde » qui est la vitesse approchée du déplacement d’un point sur Terre dans son mouvement combiné autour du soleil. Dire, alors, que nous sommes immobiles a de quoi laisser perplexe et c’est sans compter le déplacement dans la galaxie, etc ! Pourtant nous avons l’impression de ne pas nous déplacer lorsque nous sommes assis.

Ajoutons à cela que nous ne sommes pas extérieurs au phénomène que nous observons, toujours en mouvement. Observant de l’extérieur la boîte de pilchart, je puis aisément remarquer qu’elle diffère d’une boîte circulaire, mais si j’étais maquereau enfermé dans la boîte... ce serait bien plus difficile. Je pourrais bien apercevoir la paroi mais affirmer qu’elle est circulaire plutôt qu’elliptique - même dans ce cas où la déformation est flagrante - serait difficile. Pour vous convaincre de cette difficulté je vous invite à lire ou relire le fameux récit « Flatland » d’Edwin A. Abbott (1884). Observateur terrestre, placé dans le même plan que le Soleil et la planète Mars, je ne puis percevoir les différentes trajectoires. Je ne puis que constater et relever des déplacements de points sur une ligne d’horizon. Alors, de l’ordre surgit une impression de désordre. C’est à ce niveau-là que se situe mon intervention avec les bottes de paille, afin d’illustrer la difficulté et les approches erronées successives du mouvement des planètes avant de reconnaître le mouvement héliocentrique.

Par quelques calculs, choisissant une ellipse, son foyer, il m’était possible de déterminer la position de chaque botte sur celle-ci, de manière à ce que les douze parts issues du foyer soient égales. Afin de briser la symétrie je ne plaçais aucune botte sur le grand axe. Ceci aurait réduit l’impression de désordre. Sur l’image vue depuis l’ULM qui survola le site, il apparaît bien clairement que les bottes sont disposées sur une ellipse... avec une « impression de régularité » ou intention car l’agencement ne semble pas chaotique. Mais au sol ? Sur place nous apercevions le site depuis la route. Nous situant au niveau du sol, celui-ci apparaissait comme un ensemble de colonnes disparates. Lorsque nous pénétrions dans le champ par l’entrée accessible ce n’était que désordre.

Ce qui valut de m’entendre dire par les agriculteurs que ce n’était pas mieux que ce qu’ils faisaient. Sous-entendu, ils attendaient d’un « artiste » quelque chose de plus original. Ils en seraient bien restés à cette constatation et auraient quitté le champ sans prendre soin de mener plus loin l’aventure. Cela confirmait mon hypothèse mais il fallait les encourager à poursuivre.

Les guidant vers le foyer, arrivant à proximité de celui-ci, les éléments semblaient de plus en plus nettement s’organiser et l’impression de désordre s’évanouissait. Nous déplaçant depuis ce point en suivant la direction du grand axe de l’ellipse (direction Nord-Sud), sur une certaine distance, la sensation d’ordre demeurait.

Ensuite cela redevenait difficile à saisir. Depuis le foyer, si nous tournions sur nous même, nous pouvions constater que nous étions entourés par une première rangée de bottes et que celles-ci s’écartaient progressivement les unes des autres depuis les plus éloignées jusqu’aux plus proches. La première rangée constituait presque une forteresse formant écran.

Ensuite, si nous franchissions la première rangée, fort de notre constatation, le désordre semblant se reconstituer, nous pouvions tenter de retrouver un ordre ou une organisation sous-jacente ; tout au moins un sentiment de décision ou intention. Pour réussir à décrypter le code caché il aurait fallu faire des relevés, prendre des mesures ... Nous nous serions retrouvés (toute proportion gardée) dans la même situation que Kepler analysant les relevés de ses prédécesseurs (principalement Tycho Brahé) et tentant de trouver une relation mathématique reliant chacune des positions de nos bottes de paille.

Remarquons au passage que, même si nous sommes de petite taille, nos yeux sont malgré tout à une certaine hauteur par rapport au sol et l’effet de perspective agit. Mais considérez un lièvre arrivant dans ce champ, qu’aurait-il pu percevoir d’autre qu’un ensemble de colonnes distribuées verticalement sur sa ligne d’horizon ; l’effet de perspective étant réduit à zéro pour lui... comme dans « Flatland ».

Présenté ainsi, la boîte de pilchart à la main, dans une conversation malgré tout légère, on pouvait saisir combien il faut être imaginatif, besogneux, audacieux, entêté pour réussir à extraire de l’apparent désordre de la réalité les lois sous-jacentes qui régissent les phénomènes.

Dans cette installation les quatre ellipses étaient homothétiques depuis le foyer. Pour illustrer plus précisément le phénomène des planètes il aurait fallu en tracer qui ne le soient pas. L’impression de désordre eut été encore plus grande. Cela n’avait pas d’intérêt. J’étais dans une situation de « land art » et le site de Stonehenge m’inspirait. La « loi des aires » était plus un prétexte ou support pour organiser et agencer mes « mégalitres de paille » qu’un exercice pédagogique. Qu’ont retenu ceux avec qui j’ai pu échanger ? Je ne saurais dire. Toutefois j’ai pu lire, dans quelques articles de la presse locale, aussi bien « la loi des Airs », que « la loi des ères » . Qu’importe, mais j’ai eu l’agréable surprise d’être appelé un jour par un des agriculteurs qui avait collaboré à la réalisation. A la gare de Nevers il venait de découvrir en kiosque la revue « pour la science » consacrée à « Kepler : le musicien du ciel ».

Par ailleurs quelques jeunes du village avaient participé au traçage, piquetage pour la mise en place des bottes ; l’occasion d’aborder quelques notions géométriques à grande échelle avec des moyens rudimentaires (la ficelle principalement). La plus grande ellipse avait 75 m de grand axe et 62,5 m de petit axe.

Elle fut tracée selon la méthode appelée « ficelle du jardinier », assez précise même à ces dimensions, mais il fallait mettre en place, également, d’autres procédures pour assurer le contrôle des positions. Il est une chose d’établir sur un plan les positions mais lorsqu’on est dans le champ... on ne supervise pas, on ne voit rien et il faut croiser différentes sources de contrôle.

Les bottes furent installées en une matinée par quelques agriculteurs avec leurs fourches et tracteurs. Nous avons fait la fête « Paillarte » dans le site [2] et celui-ci fut démonté quelques jours après ne laissant aucune trace (visible) sauf dans les mémoires.

Chapitre 2... ou bien épilogue.

Si les sites archéologiques nous laissent quelques ruines, ici, ce site d’art écologique dont les « mégalitres » étaient biodégradables n’aurait pas perduré longtemps. Pour conserver une trace indélébile, je me devais de trouver un moyen ou raison mathématique qui puisse justifier que ce village « Saint Seine » avait été naguère, en un temps imaginaire, un haut lieu de la « Mathologie ». Dans ce cas l’existence réelle d’un site Paillart en ce lieu, devenait possible ou imaginable alors que toute trace en était effacée.

J’achetai la carte IGN du village et commençai à relever les points culminants. Je pensai : « Si je réussis à trouver une proposition géométrique qui relie ces différents sommets, je pourrai affirmer qu’il y a là une bonne raison justifiant que Saint Seine est un haut lieu de la Mathologie ». C’était un pari stupide, la probabilité de réussir à trouver quelque proposition rigoureuse liant ces points (il y en a dix) était proche de zéro. Ce qui m’encouragea se trouve dans le fait que je relevai six points culminants situés sur une ellipse. Par cinq points du plan passe une conique. Que ces cinq points soient sur une ellipse attire un peu l’attention. Que six points (au hasard, dans le plan) soient sur une ellipse est déjà bien plus surprenant. Honnêtement je dois reconnaître que ce sixième point, sur la carte, était un peu à l’écart (à peine un millimètre). Ecart qui correspondait à 25 m sur le terrain pour une ellipse de 3925 mètres de grand axe et 2900 m de petit axe. J’acceptai cette imprécision et poursuivis mon enquête.

Le champ mathématique exploré, labouré et exploité fut celui de la géométrie projective. En passant je faisais quelques rencontres : par exemple, le centre de l’ellipse se situait au cœur du hameau « Grandbeau » ; entendez « grand beau ». Trois des points culminants sur l’ellipse formaient un triangle isocèle et si j’affectais chacun des sommets de son altitude, le barycentre de ces trois points avec leur altitude se trouvait également en ce hameau !! Ceci m’orientait vers une fiction : Saint Seine ou Sein Seine, un personnage, masculin, étonnant, au nom féminin, serait le héros venant de l’île de Sein, une île mythique pour les Bretons, et dont le nom... en une zone chargée de sites mégalithiques... A la lecture des Somnambules d’Arthur Koestler et autres sources j’avais été étonné de découvrir que Kepler était arrivé à ses résultats en mêlant beaucoup d’irrationalité. On peut sourire maintenant, mais lorsqu’on se jette dans l’inconnu il faut bien se saisir d’un fil conducteur et s’y tenir. Kepler fut pour le moins très entêté ... la recherche relèverait de l’obsession autant que de la raison. Mon aventure sur la carte IGN et ces dix sommets est une piètre figure comparée à celle de Kepler, mais je m’y acharnais.

Fort de ces six points sur l’ellipse je songeais au théorème de Pascal, l’hexagramme mystique. Six points sur une conique (un cercle d’abord, mais cela demeure par projection) reliés deux par deux suivant un certain ordre définissent trois points d’intersection qui sont alignés. Dit autrement, la donnée de deux points sur une conique et d’une droite détermine une homographie. Dans le cas où la conique est dégénérée en deux droites cela donne le théorème de Pappus. Sur mon ellipse, une première combinaison deux par deux des points définissait une droite de Pascal traversant l’église du village... intéressant comme liaison mystique. On démontre que six points fixés sur une conique non dégénérée définissent au plus 60 triplets de points alignés ou droites de Pascal. Certains triplets de ces droites de Pascal sont concourants et on obtient 20 points répartis en 10 paires de points conjugués par rapport à la conique. Avec toutes ces droites et points je pouvais espérer que mes 4 derniers points sur les 10 pussent se trouver sur ces droites. Il n’y avait bien sûr aucune certitude mais ... qui n’essaie rien n’a rien. Je combinais donc deux par deux mes six points et traçais les droites de Pascal correspondantes. L’une d’entre elles passait près de l’église [3] du petit village tout voisin de Ternant. Cette église est remarquable par ses deux triptyques du 15ème siècle, d’origine flamande et brabançonne. Ouvrages classés et hors de tous les circuits habituels. Hum ! c’était un peu en dehors des points culminants qui me préoccupaient mais méritait d’être retenu. Il me faudrait détailler et vous livrer toutes les pièces de mon enquête (cartes et tracés) pour vous rendre claire la démonstration. Cela prendrait des pages.

Cette église en Ternant se trouve sur le cercle orthoptique à notre ellipse des six points (lieu d’où on voit notre ellipse sous un angle droit), etc. Au final j’ai réussi à intégrer les quatre sommets restant dans une proposition s’appuyant sur ces droites de Pascal. Cette proposition faisait apparaître quatre nouveaux points particuliers. Ces quatre points constituaient un quadrilatère dont le point d’intersection des diagonales ou centre projectif se situe sur la route qui longe le champ où fut érigé le site, à 20 mètres du foyer des ellipses. Hum !!! Hasard ou nécessité ? Il ne faut pas se tromper de gourou, on pourrait se gourer. Je trouvais en cela la preuve mathologique que Saint Seine était bien un haut lieu de la Mathologie et qu’en des temps immémoriaux ou imaginaires un site de mégalitres avait bien dû y être érigé à l’endroit du site Paillart. Mais, certainement biodégradable, il n’avait laissé aucune trace. Seuls demeuraient les points culminants qui avaient décidé de sa situation. Puis le triptyque de Ternant avait été réalisé en hommage, puisque de cet endroit on voyait l’ellipse des six points sous un angle droit.

La fiction dans laquelle le héros Saint Seine était partie prenante est un complexe. En partie réelle, Saint Seine (le village) et son site ; en partie imaginaire, notre héros Saint Seine ou plutôt Sein Seine. Originaire de l’île de Sein il serait venu y révéler les propriétés projectives des points culminants et aurait érigé un site de mégalitres pour sanctifier cet étonnant phénomène. Dans ce village (en 2000) résidait une personne au nom de Pierre Gallé, ce qui ne manqua pas de surprendre les villageois lorsqu’on leur annonça que Pierre Gallais allait réaliser un site Paillart . « Quoi ? Pierre Gallé, artiste ? » Erreur, c’était Pierre Gallais qu’il fallait entendre ! Peut-être que la divine providence avait également commis une erreur en plaçant Pierre Gallé en ce lieu, pensant que celui-ci allait révéler le mystère de Saint Seine. Il fallut attendre le vrai Pierre Gallais, mathologue et mathomane, et le passage à l’an 2000 pour que toute la vérité soit faite. [4].

Hasard ou nécessité ? Pour le passage à l’an 2000 le département de la Nièvre, en partenariat avec le Théâtre Eprouvette, avait décidé de « marier » 32 artistes avec un petit village de chacun des 32 cantons. Le tirage au sort m’attribua ce village de Saint Seine. Lorsque vous saurez qu’une grande partie de mon travail est consacré à l’étude mathologique des « surfaces seinpathiques » [5] vous serez étonné comme moi même. C’est la raison pour laquelle j’exprimai aux villageois qu’il n’y a pas vraiment de hasard et que si j’avais été « marié » à leur village c’est que celui-ci cachait de sérieuses propriétés que je me devais de révéler. Qu’est ce que ce Saint « Seine », un masculin au nom féminin. N’est-ce pas étrange ?
Projection au sens psychanalytique et projection au sens mathématique : un petit air de famille... raison et déraison peuvent bien se tendre la main. A nous la liberté d’avoir la tête dans les étoiles, pourvu que l’on garde bien les pieds sur Terre... rêver ne peut faire que du bien ! Mais gardons nous bien de chavirer : corrélation n’est pas raison !

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des mathématiques remercient les relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Pierre Baumann (le mathématicien) et Sébastien Martinez pour leurs commentaires constructifs qui ont mené à une amélioration d’une première version de cet article.

Article édité par Michèle Audin

Notes

[1Voir le billet les ficelles du Pilchart.

[2ce champ sur le cadastre se nomme « champ de l’Embauche ». Traditionnellement c’était à la Saint Jean que l’on embauchait les journaliers pour la moisson. Finie la moisson, en ce lieu, avec notre fête « paillarte » ... nous avons entériné la débauche.. ce qui valut l’appellation « paillarde » dans la bouche de certains !

[3à moins de 75 m. Le relief à cet endroit pourrait justifier le déport pour des facilités de construction

[4malgré son nom prédestiné Pierre Gallais n’érigea pas un site mégalithique ... il se serait mis sur la paille ! faut pas être mégalo

[5on pourrait même dire que chez moi cela relève de l’acharnement mathomaniaque

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Pour citer cet article :

Pierre Gallais — «Un site paillart» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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