Un théorème et une part de pizza

Comment se donner une intuition du Théorème Remarquable ?

Piste rouge Le 28 octobre 2017  - Ecrit par  Nicolas Rocher Voir les commentaires (3)

Connaissez-vous le Théorème Remarquable de C. F. Gauss — ou Theorema Egregium en latin ? Non ? Détrompez-vous, car il vous est certainement familier : n’avez-vous en effet jamais, lors d’une soirée pizza entre amis ou en famille, vu votre élan de gourmandise coupé lorsque la pâte à pizza, se pliant, a laissé s’échapper toute la garniture ? Vous avez alors eu l’intuitive idée de courber légèrement la pâte, tenant judicieusement la croûte entre votre pouce, votre index, et votre annulaire, pour l’empêcher de se plier. Sans vous en rendre compte, vous avez appliqué le Théorème Remarquable.

Dans cet article, nous proposons de comprendre l’énoncé de cet important théorème de Gauss, que tout étudiant de fin de licence apprend en cours de géométrie des surfaces. Voici son énoncé :

Théorème Remarquable (ou Theorema Egregium) Deux surfaces de classe $C^3$ localement isométriques ont la même courbure de Gauss en tout point.

Pour le comprendre, il nous faut d’abord se familiariser avec les notions d’isométrie et de courbure de Gauss. Par chance, ces notions sont très intuitives. Allons-y !

Surfaces isométriques

Qu’est-ce qu’une surface ?

Déjà, qu’est-ce qu’une surface ? Et une surface de classe $C^3$ ?
Pour nous, une surface sera un objet de dimension 2, c’est-à-dire à deux degrés de liberté, vu dans notre espace ambiant de dimension 3 [1]. Par 2 degrés de liberté, on entend qu’une petite fourmi sur cet objet peut se déplacer selon exactement 2 directions indépendantes.

  • Un morceau de feuille de papier est une surface, tout comme la surface d’une orange à laquelle on aurait retiré l’intérieur (une sphère).
  • Un morceau de fil de pêche n’est pas une surface : notre fourmi ne peut se balader que d’une extrémité à l’autre [2], il est donc de dimension 1.

Une surface de classe $C^3$ est une surface qui a en plus la propriété d’être « assez lisse ». Les mathématiciens donnent un sens précis à l’expression « assez lisse » mais on se contentera de l’idée intuitive qu’on peut en avoir.

  • Une feuille de papier tout juste sortie de sa ramette, éventuellement légèrement courbée, est une surface lisse.
  • La même feuille à laquelle on a fait subir une séance d’origami n’en est plus une : elle n’est plus lisse au niveau des pliures.

Pour toute la suite, lorsque nous parlerons de « surface » nous sous-entendrons « surface de classe $C^3$ » ou, de manière équivalente pour nous, « surface assez lisse ».

Isométrie entre surfaces

Disposant maintenant des surfaces lisses dans notre bagage à notions, tentons d’y ajouter celle de surfaces isométriques. Pour un mathématicien, deux surfaces isométriques sont en quelque sorte des surfaces « de même nature » : on dit qu’on obtient l’une en appliquant à l’autre une transformation isométrique, c’est-à-dire, étymologiquement, une transformation qui préserve les distances. Si vous tenez dans vos mains une feuille de papier, vous pouvez l’onduler ou la courber : elle reviendra dans sa position de départ si vous n’y allez pas trop fort ! La feuille de base est « de même nature » que la feuille courbée : elles sont isométriques. En revanche, si l’on veut recouvrir la surface d’une orange avec une feuille de papier, il faudra soit étirer la feuille (si elle est faite d’une matière élastique) soit la déchirer ou la froisser à certains endroits. Il est donc impossible de recouvrir une sphère avec du papier sans y aller trop brutalement : pour un mathématicien, la sphère et le plan ne sont pas isométriques.

Pour comprendre plus précisément quelles déformations sont autorisées pour préserver la nature d’une surface (c’est-à-dire quelles transformations sont isométriques), traçons un quadrillage régulier sur celle-ci : une fourmi s’y déplaçant doit pouvoir vérifier qu’il s’agit bien d’un quadrillage régulier, avec des carreaux régulièrement espacés et des angles bien droits. Supposons que la surface soit faite d’une matière élastique pour mieux comprendre ce qui suit (un morceau de ballon de baudruche fera parfaitement l’affaire) et déformons-la légèrement. On dira que cette déformation est isométrique si « elle préserve la régularité du quadrillage ».

  • Si elle est trop brutale (par exemple si on étire ou qu’on déchire le morceau de ballon) le quadrillage risque de devenir irrégulier, et les angles devenir aigus ou obtus. Dans ce cas notre fourmi verra un changement au cours de sa promenade : la déformation n’est alors pas isométrique, c’est-à-dire que la surface de départ et la nouvelle surface déformée ne sont pas de même nature (représenté à gauche ci-dessous).
  • En revanche, si la déformation est douce (pas de déchirement ni d’étirement), la fourmi n’y verra que du feu : les deux surfaces avant et après déformation sont de même nature, c’est-à-dire isométriques (représenté à droite ci-dessous). C’est le cas par exemple d’une feuille de papier que l’on enroule sur elle-même pour former un cylindre : une surface plane (feuille de papier au départ) et un cylindre (feuille de papier enroulée) sont des surfaces isométriques. [3]

Laissons quelques instants cette notion d’isométrie, et partons à la rencontre de la courbure de Gauss.

Des courbures à la pelle

Il existe différentes notions de courbures : courbure d’une courbe en un point, courbures principales, courbure moyenne ou de Gauss d’une surface en un point, etc. Notre but est d’arriver le plus rapidement possible à une définition de la courbure de Gauss, dont nous avons besoin pour comprendre le Théorème Remarquable. Pour en apprendre plus au sujet des autres courbures, on pourra lire l’article récent Visualiser la courbure de J. Colombano.

Courbure d’une courbe en un point

Avant de définir la courbure de Gauss, nous avons besoin de la notion de courbure la plus simple : la courbure d’une courbe orientée en un point. Une courbe est pour nous un objet de dimension 1 [4], comme notre ficelle introduite dans l’exemple ci-dessus. Elle est orientée lorsqu’on y a défini un sens de parcours. Intuitivement, une courbe est d’autant plus courbée en un point qu’elle s’entortille autour de ce point. De plus, suivant qu’elle s’entortille « à gauche » ou « à droite », relativement au sens de parcours, cette courbure, qui est un nombre réel, sera de signe positif ou négatif. Pour rendre mathématiquement rigoureuses ces idées, et pouvoir par la suite faire des calculs concrets, les mathématiciens introduisent la notion de cercle osculateur. Il y a une infinité de cercles tangents à une courbe en un point $P$, c’est-à-dire des cercles qui ont seulement $P$ en commun avec la tangente $d$ à la courbe en ce point. Parmi tous ces cercles (représentés en bleu ci-dessous), celui qui « épouse le mieux » [5] la courbe (en noir) est le cercle osculateur (en rouge). Son rayon est noté $r$ et la courbure de la courbe en $P$ est alors par définition égale à $\pm \frac{1}{r}$, avec un signe « $+$ » si le cercle osculateur est à gauche de la courbe relativement au sens de parcours, et un signe « $-$ » s’il est à droite. Sur l’image ci-dessous, la courbure de la courbe en $P$ est donc $+\frac{1}{r}$, tandis que si la courbe avait été orientée dans le sens opposé, elle aurait été égale à $- \frac{1}{r}$.

On voit que plus une courbe s’entortille autour de $P$, plus le cercle osculateur en ce point est de rayon $r$ petit (un cercle tangent trop grand n’épouserait pas assez bien la courbe en ce point), et plus $\frac{1}{r}$ est grand, ce qui correspond à notre intuition de départ.

  • Un cas extrême est celui où la courbe considérée est une droite : dans ce cas, en tout point $P$, les cercles tangents sont de rayons $r$ aussi grand qu’on veut, ils épousent tous très bien la courbe, et donc la courbure en tout point est nulle ($\frac{1}{r} \longrightarrow 0$ lorsque $r \longrightarrow \infty$).
  • Un autre exemple intéressant est celui où la courbe est un cercle de rayon $R$ : dans ce cas, en tout point $P$, le cercle tangent « idéal » (qui épouse le mieux la courbe) est la courbe elle-même, et donc la courbure en tout point vaut $\frac{1}{R}$. On remarque que plus un cercle est petit, plus la courbure en chacun de ses points est grande, et vice-versa, ce qui est cohérent avec notre intuition de départ.

Pour se donner une autre intuition de ce qu’est la courbure d’une courbe en un point, on peut dire que celle-ci indique l’accélération latérale subie en ce point lorsqu’on parcourt la courbe à vitesse constante. Si notre fourmi se déplace sur sa moto le long de la courbe à vitesse constante, elle va subir une accélération latérale au point $P$ d’autant plus forte que la courbure y est grande : la fourmi va devoir se pencher en proportion vers l’intérieur du virage pour contrebalancer l’effet de l’accélération qui aura tendance à la faire pencher du côté extérieur au virage.

Courbures principales d’une surface en un point

Étant donné une surface et un point $P$ sur cette surface, on peut définir une infinité de courbures en ce point de la manière suivante. Il existe une infinité de plans qui coupent « perpendiculairement » la surface en $P$, c’est-à-dire qui sont perpendiculaires au plan tangent à la surface en $P$ [6].

L’intersection de chacun de ces plans avec la surface de départ est une courbe : si on l’oriente, on peut définir sa courbure au point $P$.

Orientation des courbes :

Il faut définir une convention pour orienter ces courbes. On peut par exemple fixer un repère $(Pxyz)$ d’origine $P$ avec l’axe $(Pz)$ normal à la surface en $P$ (en bleu ci-dessous) et orienter les courbes dans le sens croissant des $x$ et des $y$ : une courbe est orientée dans le sens où elle traverse le plan $x=0$ depuis les $x \leq 0$ vers les $x \geq 0$, et le plan $y=0$ depuis les $y \leq 0$ vers les $y \geq 0$. Ci-dessous, on a représenté le plan $x=0$ et une courbe en rouge, orientée avec la convention ainsi définie.

Parmi toutes ces courbures ainsi définies, il y en a une maximale, et une minimale, ces deux courbures pouvant être de signes identiques ou opposés. On les appelle courbures principales [7]. Voici les courbes associées aux courbures principales sur notre surface en forme de selle de cheval :

Donnons tout de suite deux exemples concrets pour y voir plus clair : ces exemples nous seront en plus utiles par la suite ! Commençons par calculer les courbures principales en un point $P$ quelconque d’un plan, que l’on positionne à plat perpendiculairement à un axe vertical.
Dans cette configuration, tous les plans perpendiculaires définissent des coupes qui sont des droites, donc de courbure nulle en $P$.

Les courbures principales sont donc toutes deux nulles.

Poursuivons avec un deuxième exemple, plus intéressant : calculons les courbures principales en un point $P$ d’un cylindre de rayon $R$.
Si on positionne le cylindre verticalement, les plans le coupant « perpendiculairement » en $P$ sont tous les plans portés par une droite radiale au cylindre.

  • Le plan définissant une coupe de courbure maximale est le plan horizontal (représenté en rouge ci-dessous) : la coupe est un cercle (rouge ci-dessous), de rayon $R$, donc de courbure $\pm \frac{1}{R}$ (« $\pm$ » suivant l’orientation choisie).
  • Le plan définissant une coupe de courbure minimale est le plan vertical perpendiculaire au cylindre (représenté en bleu légèrement penché ci-dessous par souci de pédagogie, mais il faut imaginer qu’il est parfaitement vertical, perpendiculairement à l’écran) : la coupe est une droite (bleu ci-dessous), donc de courbure nulle.

Les courbures principales d’un cylindre de rayon $R$ en un point quelconque sont donc $\pm \frac{1}{R}$ et $0$.

Courbure de Gauss d’une surface en un point et Théorème Remarquable

On peut maintenant définir la courbure de Gauss d’une surface en un point : c’est le produit des courbures principales en ce point. Remémorons-nous l’énoncé du Théorème Remarquable.

Théorème Remarquable (ou Theorema Egregium) : Deux surfaces de classe $C^3$ localement isométriques ont la même courbure de Gauss en tout point.

En reprenant les exemples précédents, on obtient donc que la courbure de Gauss d’un plan en un point est nulle ($0 \times 0 = 0$), tout comme celle d’un cylindre de rayon $R$ ($0 \times \pm \frac{1}{R} = 0$).
Le lecteur perspicace (ou habitué) verra ici un premier élément de compréhension du Théorème Remarquable tant attendu :

  • Un cylindre de rayon $R$ et un plan ont même courbure de Gauss en chacun de leur point, est c’est exactement ce qu’énonce le théorème de Gauss puisqu’un plan peut se replier sur un cylindre de manière isométrique.
  • Si l’on fait proprement le calcul comme ci-dessus mais en un point d’une sphère de rayon $R$, on trouve $\pm \frac{1}{R}$ pour les deux courbures principales. En effet, tout plan coupant perpendiculairement une sphère en un de ses points définit une coupe qui est un cercle de rayon $R$ (un grand cercle, comme par exemple un méridien ou un parallèle) donc de courbure $\frac{1}{R}$ en chacun de ses points (ou $- \frac{1}{R}$ suivant l’orientation choisie). La courbure de Gauss en un point quelconque d’une sphère de rayon $R$ est donc $\pm \frac{1}{R} \times \pm \frac{1}{R} = \frac{1}{R^2} \not = 0$. Ceci fournit un deuxième élément de compréhension du Théorème Egregium : un plan et une sphère de rayon $R$ n’ont pas la même courbure de Gauss en chacun de leur point, ce qui s’explique par le fait qu’on ne peut pas transformer un plan en une sphère de manière isométrique, et on retrouve l’exemple introduit au début du paragraphe « Isométrie entre surfaces ». C’est la raison pour laquelle si l’on veut tapisser une sphère avec du papier (qui joue le rôle du plan), il faut plisser légèrement le papier, ou le déchirer par endroits [8].

Le Théorème Remarquable est donc finalement assez simple une fois comprises les notions mises en jeu : deux surfaces « de même nature » ont même courbure de Gauss en chacun de leurs points.

Et la part de pizza dans tout ça ?

Nous pouvons maintenant comprendre sans difficulté la fameuse stratégie énoncée en introduction : pour manger une part de pizza sans que celle-ci ne se plie, on peut la tenir par la croûte, courbée entre nos doigts.
Une part de pizza n’est géométriquement rien d’autre qu’une portion de plan : si l’on détermine la courbure de Gauss en un de ses points, on trouvera $0$, le calcul étant le même que pour le plan.

Si l’on tient la pizza par la croûte sans réfléchir, elle va se plier et laisser échapper la garniture. En effet, dans cette configuration (croûte simplement tenue entre les doigts), la croûte reste droite, c’est-à-dire définit un courbe de courbure nulle $K_2=0$ (en rouge ci-dessous). Le poids au bout de la part de pizza la fait fléchir, mais ce fléchissement reste isométrique. Ici le Théorème Remarquable est toujours respecté, puisque même si la pâte est courbée dans la direction radiale (en bleu ci-dessous), définissant une courbe de courbure $K_1 >0$, le produit $K_1 \times K_2 = K_1 \times 0$ reste nul.

Par la suite, lorsqu’on tient la part de pizza en main et qu’on courbe la croûte entre nos doigts, on lui fait subir une transformation qui reste réversible et douce, c’est-à-dire isométrique et en vertu du Théorème Remarquable, la courbure de Gauss doit rester nulle en tout point. Seulement, dans cette nouvelle configuration, la forme donnée par les doigts à la part de pizza impose une direction de courbure $K_2$ strictement négative : c’est la direction parallèle à la croûte (en rouge ci-dessous). Pour que le Théorème Remarquable soit satisfait, il faut donc une direction [9] de courbure $K_1$ nulle, afin que le produit $K_1 \times K_2 = 0 \times K_2$ reste nul : c’est la direction radiale (en bleu ci-dessous). La pizza va donc rester bien droite selon cette direction : c’est magique...euh...mathématique !

Pour aller plus loin

On a vu que le Théorème Remarquable impose une contrainte géométrique sur la manière dont on peut déformer de manière réversible un objet. Bien que le théorème soit de nature purement mathématique et abstraite, il a des interprétations en physique, et en particulier dans la science des matériaux. Les physiciens l’utilisent parfois pour comprendre la structure de certaines matières. L’étude de la part de pizza illustre bien cette démarche, mais profitons de cette remarque pour ajouter deux exemples supplémentaires.

  • Tentons par exemple de comprendre l’extraordinaire solidité d’un simple cylindre en papier que l’on peut fabriquer chez soi en fixant au ruban adhésif une simple feuille A4 enroulée sur elle-même. Un cylindre comme on l’a vu plus haut, a une courbure de Gauss nulle en tout point. On ne peut donc pas le courber dans le sens de la longueur sans le plier de manière irréversible. Ainsi, un cylindre en papier tentera de garder sa forme cylindrique rigide si l’on fait reposer un poids sur son sommet, poids qui peut être conséquent par rapport à lui-même. Sur la photo ci-dessous, on voit bien que le poids de deux gros ouvrages de mathématiques de prépa est incomparablement supérieur au poids de deux petites feuilles de papier A4. Pourtant, ça tient !

Un autre exemple intéressant pour compléter notre compréhension du Théorème Remarquable est celui d’un seau d’eau en plastique. N’avez-vous jamais remarqué que le bord d’un tel seau est légèrement enroulé sur lui-même ? Cet enroulement permet de créer en tout point du bord (point $P$ ci-dessous) une courbure de Gauss non nulle, qui doit être conservée lorsqu’on tient le seau d’eau par l’anse : celui-ci garde alors sa forme circulaire même si l’anse le tire de chaque côté aux points d’attache.

Si un seau d’eau n’est pas enroulé au bord, il est géométriquement un cylindre, avec courbure de Gauss nulle en tout point (point $P$ ci-dessous) : la force appliquée par l’anse aux points d’attache l’aplatit selon la direction perpendiculaire à celle-ci : le seau devient ovale, manque de rigidité et peut laisser échapper de l’eau. C’est tout de même moins pratique !

Post-scriptum :

Je remercie mon camarade de promotion Alexis Aumonier, qui est le premier à m’avoir parlé de cette application du Théorème Remarquable à la compréhension de la rigidité d’une part de pizza.
Je souhaite également remercier Pierre Dehornoy, mon tuteur de stage cette année, qui, lors d’une discussion, m’a encouragé à proposer cette idée d’article pour le site et m’a fait des suggestions pour la partie « Pour aller plus loin » ci-dessus. Merci également à Quentin Vila, un autre camarade de promotion, qui lui m’a suggéré l’exemple du seau d’eau.
Enfin, merci aux relecteurs Romain Dujardin, Jimmy Dillies, Denis Chadebec, Laurent Dietrich, et Pierre-Antoine Guihéneuf.

Article édité par Romain Dujardin

Notes

[1Les mathématiciens parlent de sous-variété de $\mathbb{R}^3$ de dimension $2$. Pour comprendre plus en détail la notion de dimension, on peut lire l’article Flatland d’ Aurélien Alvarez qui présente un livre original et amusant sur le sujet.

[2L’exemple a ses limites : en regardant un fil de pêche à la loupe, on s’aperçoit qu’il a en fait une forme de cylindre : une fourmi peu, en plus de se déplacer d’une extrémité à l’autre, faire le tour du fil. Pour que l’exemple soit pertinent, il faut supposer le fil infiniment fin, c’est-à-dire sans épaisseur.

[3En toute rigueur, on aurait du parler depuis le début d’isométrie locale, comme dans l’énoncé du théorème : un cylindre et un plan ne sont pas isométriques mais localement isométriques. Mais pour les besoins de la pédagogie, on passera sous silence cette imprécision.

[4Les mathématiciens parlent de sous-variété de dimension 1 de $\mathbb{R}^3$.

[5L’expression « épouse le mieux » nous suffira pour la suite, mais elle ne satisfait pas les mathématiciens, comme on peut s’en douter : ceux-ci lui donnent un sens précis.

[6Le plan tangent en $P$ (en bleu sur la figure ci-après) est le plan contenant tous les vecteurs tangents à la surface en $P$. C’est le plan qui « approche » le mieux la surface en ce point.

[7Un fait remarquable : ces courbures principales correspondent à des plans perpendiculaires, et ce, quelle que soit la surface de départ !! Cette propriété n’a rien d’évident : elle découle d’un théorème central en algèbre et en géométrie, appelé théorème spectral.

[8On a vu jusqu’ici des courbures de Gauss positives ou nulles (en l’occurrence $0$ pour le cylindre et $\frac{1}{R^2}$ pour la sphère de rayon $R$), mais il existe des surfaces qui ont des courbures de Gauss négatives en tout point : c’est le cas par exemple de la surface en forme de selle de cheval dessinée plus haut. En effet les courbes rouge et bleu ont des courbures non nulles et de signes opposés, et leur produit est donc strictement négatif.

[9Perpendiculaire à la première en vertu de la remarque sur le théorème spectral.

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Pour citer cet article :

Nicolas Rocher — «Un théorème et une part de pizza» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

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  • Un théorème et une part de pizza

    le 1er novembre à 10:07, par fpiou

    A la lumière de cas concrets, il est possible d’appréhender des notions mathématiques totalement abstraites.
    Le sujet de la géométrie s’y prête évidemment bien, mais les exemples tangibles choisis pour cet article et que l’on peut soit même expérimenter quotidiennement sont de très bonnes illustrations.
    Merci à l’auteur pour sa clarté et pour le partage de ses connaissances.

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