Un triangle et une énigme

De Pythagore à Janos Bolyai

Piste bleue Le 20 juillet 2016  - Ecrit par  Yves Coudène Voir les commentaires (4)

Ce texte prend pour départ des problèmes de mathématiques récréatives à base de découpages qu’on pourra aborder ciseaux en main. Il conduit à une question portant sur un triangle, on attend les solutions des lecteurs !

Quelques énigmes avec Sam Loyd

Sam Loyd (1841-1911) est un des grands noms des mathématiques récréatives, qui aimait à mystifier ses lecteurs. Il offrit par exemple 1000$ au premier qui parviendrait à remettre dans l’ordre un taquin dont deux pièces adjacentes ont été permutées, comme sur l’image qui suit.

Le taquin de Sam Loyd

Cette manipulation est impossible, même si de nombreuses personnes prétendirent y être parvenues, sans pour autant arriver à reproduire les mouvements amenant à la solution. On trouvera la démonstration de l’impossibilité dans un article de Michel Coste sur ce site.

Une bonne partie des énigmes de Sam Loyd sont réunies dans un livre intitulé Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles, aujourd’hui dans le domaine public et accessible en ligne. L’illustration précédente est tirée de cet ouvrage. Une sélection de ces problèmes due à Martin Gardner est toujours disponible en librairie sous forme papier [1].

Problèmes de découpages et de recollements

L’ouvrage de Sam Loyd contient de nombreux problèmes de découpages, de la forme suivante : étant données deux figures géométriques, il s’agit de découper la première figure en un nombre fini de pièces [2] et de réassembler ces pièces afin d’obtenir la seconde figure. Par exemple, le puzzle du jeune charpentier demande de découper une planche carrée de manière à construire une façade pour une niche.

Solution

On peut incliner le carré et l’appuyer sur la niche, comme ceci.

N.B. télécharger les patrons au format pdf.

Dans le puzzle monsieur je-sais-tout, il s’agit de découper une mitre de façon à obtenir un carré parfait.

Solution

Sam Loyd propose la solution suivante.

Elle est malheureusement incorrecte. Voici un découpage en cinq morceaux qui fonctionne.

On ignore s’il existe une solution en quatre morceaux. À vos ciseaux !

Un découpage fameux dû à Henry E. Dudeney, auteur de puzzles mathématiques contemporain de Sam Loyd, permet de transformer un triangle en carré, par le biais d’un système articulé qui se trouve sur wikipedia. Le lecteur pourra en réaliser un modèle en carton pour épater ses amis.

De Pythagore à Janos Bolyai

Ces techniques de découpage sont plus qu’une simple distraction, elles apparaissent déjà en filigrane chez Euclide et on peut donner plusieurs preuves du théorème de Pythagore par ce biais, comme dans la figure suivante.

Sur cette figure, on a découpé judicieusement les deux carrés situés sur les deux petits côtés d’un triangle rectangle, puis on a déplacé les morceaux de façon à reconstituer le grand carré sur le côté opposé à l’angle droit. Ceci montre que l’aire du grand carré est égale à la somme des aires des deux petits carrés : c’est l’énoncé du théorème de Pythagore sous forme géométrique. On pourra trouver d’autres démonstrations par découpage de ce théorème dans un article de Claudi Alsina et un article de Serge Cantat sur ce site.

Derrière ces dissections se cache un théorème mathématique démontré au début du XIXe siècle par Janos Bolyai. Ce résultat affirme qu’il est toujours possible de découper un polygone en un nombre fini de pièces polygonales, puis de déplacer ces pièces de façon à reconstituer un carré de même aire. On pourra en trouver une démonstration dans un article de Daniel Perrin sur ce site.

Chapeau pointu et chapeau bas

Maintenant, remarquez que dans les constructions précédentes, on réassemble les pièces en les translatant et en leur faisant subir une rotation. Peut-on réaliser les constructions précédentes simplement en translatant les pièces, mais sans les tourner ? Commençons par un carré. Peut-on le découper et le translater, de manière à obtenir à nouveau ce carré, mais tourné d’un certain angle ?

Solution

Il se trouve qu’il existe des preuves du théorème de Pythagore qui ne font appel qu’aux translations pour transformer le carré situé sur le grand côté d’un triangle rectangle en les deux carrés situés sur les autres côtés du triangle. Il suffit d’appliquer cette méthode deux fois pour faire tourner le grand carré, comme ci-dessous.

Nous sommes parvenus à tourner le grand carré, en utilisant seulement des translations ! Passons maintenant à un triangle équilatéral (c’est-à-dire dont les trois côtés ont la même longueur).

Peut-on découper un triangle équilatéral en un nombre fini de morceaux, de façon à le reconstituer pointe en bas, en ne faisant que translater les morceaux [3] ?

Ce sera expliqué en détail dans la seconde partie de cet article. On invite le lecteur à proposer sa solution à Images des Mathématiques.

Post-scriptum :

Je remercie Simon Billouet, amic et Christian Mercat pour leurs relectures attentives et leurs suggestions.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Sam Loyd, « Mathematical puzzles of Sam Loyd », selected and edited by Martin Gardner

[2On peut utiliser des triangles et plus généralement des polygones.

[3Par morceaux, on entend des polygones.

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Pour citer cet article :

Yves Coudène — «Un triangle et une énigme» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Impossible

    le 21 juillet à 17:43, par Leith

    On nomme (e_x,e_y) une base orthogonale directe tq un des côtés du triangle soit un multiple de e_x.

    Le découpage me paraît impossible pour les triangles. En effet, considérons par exemple sur un ensemble E de polygones, f(E) la somme des longueurs des côtés des polygones horizontaux et « en bas » du polygone moins la somme des longueurs des côtés « en haut ».
    (Par exemple si on parcourt les côtés c_i d’un polygone dans le sens direct, f(E) est la somme des e_x.c_i sur les c_i tq e_y.c_i = 0)

    L’idée est qu’un découpage ne peut pas modifier f(E) : si on crée un côté horizontal, on en crée nécessairement un autre sur l’autre polygone, de même longueur et dans l’autre sens. Idem pour la fusion de deux polygones, bien sûr.

    Comme f est différent pour le triangle droit et l’inversé (c’est l’opposé !), on ne peut pas passer de l’un à l’autre par un nombre fini de découpages.

    C’est un peu mal formalisé, désolé, mais je pense que ça marche.

    Répondre à ce message
    • Impossible

      le 22 juillet à 15:35, par Idéophage

      Avec la même idée on a un invariant plus fort : pour chaque « direction », la somme des longueurs côtés dirigés selon cette direction (comptés dans l’orientation du polygone) est constante. Combiné avec l’aire qui doit être préservée, ça donne un invariant complet.

      On considère des polygones orientés, et dont les côtés peuvent s’intersecter. L’aire aussi est comptée avec l’orientation, ça simplifie (on peut avoir des polygones négatifs avec lesquels on peut « trouver » des polygones positifs ; je pense que ça donne la même relation d’équivalence, ce qu’il faudrait prouver…). On peut dire que l’on travaille dans un goupoïde dont les objets sont les points du plan et qui est généré par les segments (orientés) d’un point vers l’autre. Les polygones sont alors les boucles (endomorphismes). On ajoute la relation de « commutativité » suivante : si $a$ et $b$ sont deux chemins (flèches), le premier de $A$ vers $B$ et le deuxième de $B$ vers $A$, alors en notant $x'$ le chemin $x$ translaté de $\overrightarrow{BA}$, on a $ab = b'a'$ (il faut voir les chemins sans leur point de départ). Il faut aussi que la succession de deux segments soit encore un segment.

      La multiplication de deux boucles correspond à prendre l’union des deux polygones (après on peut les « coller » en un seul polygone par un bout de chemin en commun, dans deux sens opposés). Les relations ci-dessus ont pour conséquence que l’union est commutative et qu’un polygone n’a pas de sommet préféré (ce qui permet de les coller comme on veut).

      Par découpage et translation, on peut manipuler les parallélogrammes comme on veut. On peut découper un triangle en traçant une droite joignant un sommet à un segment, et on le fait passer de l’autre côté. Ça permet de faire des transvections, et donc de générer toutes les transformations tant que ça préserve l’aire du parallélogramme.

      On peut donc réarranger les côtés d’un polygone comme on veut : pour en faire commuter deux, on ajoute ou on enlève le parallélogramme voulu. On met les parallélogrammes de côté (seule leur aire totale importe). En réarrangeant les côtés, on annule ceux qui peuvent s’annuler, et on voit que l’unique donnée qui reste est pour chaque direction la somme des longueurs des segments dans cette direction (comptés avec orientation), ainsi que l’aire des parallélogrammes ajoutés et enlevés.

      D’ailleurs, on peut modéliser la situation en « oubliant » également ces parallélogrammes (oublier l’invariant « aire ») : on aura alors une commutativité plus générale, tous les polygones qui sont des parallélogrammes étant égaux au chemin nul (dans la formulation de la commutativité au-dessus, on n’est pas obligé de retourner à $A$ après être passé par $B$). Les côtés « commutent » et on a alors un ℝ-espace vectoriel, une dimension par direction possible. Si on garde l’aire, la multiplication par -1 ne la modifie pas (mais l’opposition la transforme en son opposé).

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    • Impossible

      le 26 juillet à 10:23, par Yves Coudène

      Comme question subsidiaire, pouvez-vous construire une telle fonction f qui soit continue (disons en fonction des sommets, si on se restreint aux polygones avec un nombre donné de sommets, par exemple les quadrilateres) ?

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      • Impossible

        le 26 juillet à 13:05, par Leith

        Je pense, oui.
        Par exemple en posant h((a,b)) = a * a^2 / (a^2 + b^2),
        On peut définir pour P un polygone simple f(P) comme étant la somme des h(v) sur les vecteurs v du polygone P parcouru dans le sens direct (et pour un ensemble de polygones E, f(E) comme la somme des f(P) pour P dans E).
        Comme h est homogène, un découpage ne change pas f. (A posteriori, j’ai l’impression ce sont les fonctions h homogènes non additives et continues qui font l’affaire ici)

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