Un triángulo y un acertijo

De Pitágoras a Janos Bolyai

Piste bleue Le 11 juillet 2022  - Ecrit par  Yves Coudène
Le 10 mai 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Un triangle et une énigme Voir les commentaires
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Este texto comienza con problemas matemáticos recreativos basados ​​en cortes que se pueden resolver con unas tijeras a la mano. Conduce a una pregunta sobre un triángulo ¡que esperamos sea resuelta por los lectores !

Algunos acertijos con Sam Loyd

Sam Loyd (1841-1911) es uno de los grandes nombres de las matemáticas recreativas, a quien le gustaba desconcertar a sus lectores. Por ejemplo, ofreció un premio en dinero a la primera persona que lograra ordenar un puzzle, del cual se han intercambiado dos piezas adyacentes, como en la siguiente imagen.

Le taquin de Sam Loyd

Esta manipulación es imposible, incluso si muchas personas afirman haberlo logrado, sin lograr reproducir los movimientos que conducen a la solución. La demostración de la imposibilidad se puede encontrar en un artículo de Michel Coste en este sitio.

Una buena parte de los acertijos de Sam Loyd se recopilan en un libro llamado Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles, ahora accesible en línea. La ilustración anterior está tomada de este libro. Una selección de estos problemas de Martin Gardner todavía está disponible en las librerías en formato papel [1].

Problemas de cortes y rearmados

El trabajo de Sam Loyd contiene muchos problemas de cortes del siguiente tipo : dadas dos figuras geométricas, se trata de cortar la primera figura en un número finito de piezas [2] y volver a ensamblar estas piezas para obtener la segunda figura. Por ejemplo, el rompecabezas del joven carpintero pide cortar una tabla cuadrada para construir una fachada para un nicho.

Solución

Puedes inclinar el cuadrado y apoyarlo en el nicho, de esta forma :

N.B. descargar los patrones en formato pdf.

En el rompecabezas señor sabelotodo, debes cortar una mitra para obtener un cuadrado perfecto.

Solución

Sam Loyd propuso la siguiente solución :

Desafortunadamente es incorrecta. Aquí hay un corte en cinco piezas que funciona.

No está claro si hay una solución de cuatro piezas. ¡Toma tus tijeras !

Un famoso corte debido a Henry E. Dudeney, autor de acertijos matemáticos y contemporáneo con Sam Loyd, hace posible transformar un triángulo en un cuadrado, por medio de un sistema articulado que está en Wikipedia. El lector puede hacer un modelo de cartón para impresionar a sus amigos siguiendo los pasos explicados en este artículo.

De Pitágoras a Janos Bolyai

Estas técnicas de corte son más que una simple distracción : ellas aparecen como filigrana en Euclides y podemos dar varias demostraciones del teorema de Pitágoras mediante ellas, tal como en la siguiente figura :

En esta figura, los dos cuadrados situados sobre los catetos de un triángulo rectángulo han sido cuidadosamente cortados ; luego, las piezas se han movido para recomponer el cuadrado grande situado sobre la hipotenusa. Esto demuestra que el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños : este es el enunciado del teorema de Pitágoras en forma geométrica. Podemos encontrar otras demostraciones para este teorema mediante cortes entre otros en un artículo de Claudi Alsina y un artículo de Serge Cantat en este sitio.

Detrás de estas disecciones se esconde un teorema matemático demostrado a principios del siglo XIX por Janos Bolyai. Este resultado afirma que siempre es posible cortar un polígono en un número finito de piezas poligonales, para mover luego estas piezas y reconstituir un cuadrado de igual área. Una demostración de esto se puede encontrar en un artículo de Daniel Perrin en este sitio.

Sombrero puntiagudo y sombrero bajo

Ahora, observe que en las construcciones anteriores, volvemos a ensamblar las piezas mediante traslaciones y rotaciones. ¿Podemos hacer las construcciones anteriores simplemente trasladando las piezas, pero sin girarlas ? Comencemos con un cuadrado. ¿Podemos cortarlo y trasladarlo, de modo que se obtenga de nuevo este cuadrado, pero girado en cierto ángulo ?

Solución

Existen demostraciones del teorema de Pitágoras que solo usan traslaciones para transformar el cuadrado ubicado sobre la hipotenusa y obtener los dos cuadrados ubicados sobre los catetos. Simplemente aplique este método dos veces para rotar el cuadrado grande, como se muestra a continuación :

¡Logramos rotar el cuadrado grande, usando solo traslaciones ! Ahora pasemos a un triángulo equilátero (es decir, uno cuyos tres lados tienen la misma longitud).

¿Podemos cortar un triángulo equilátero en un número finito de piezas, para reconstruirlo apuntando hacia abajo, solamente trasladando las piezas [3] ?

Esto será explicado en detalle en la segunda parte de este artículo. Se invita al lector a enviar su solución a Paisajes Matemáticos.

Post-scriptum :

Me gustaría agradecer a Simon Billouet, amic y Christian Mercat por su cuidadosa revisión y sus sugerencias.

Article original édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Sam Loyd, ’’Mathematical puzzles of Sam Loyd’’, seleccionado y editado por Martin Gardner

[2Se puede usar triángulos y, más generalmente, polígonos.

[3Por piezas nos referimos a polígonos.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Un triángulo y un acertijo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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