Un trimestre de rigidité

Le 30 septembre 2009  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

Il s’était dressé dans la brume comme une apparition de pierre, et, malgré la rigidité de son architecture (...) je lui reconnus, tout de suite, un certain air d’hospitalité cordiale (Villiers de L’Isle-Adam, Contes cruels, 1883).

Il fait ces jours-ci à Bonn un temps magnifique. Et comme les mathématiques peuvent se pratiquer en presque tout lieu et toute circonstance, ne nous privons pas d’en faire dans le jardin !

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Que nous dit le dictionnaire quand on l’ouvre à la page « rigidité » ? On trouve par exemple la définition suivante :

État de ce qui est ferme, résiste à la pression, à la torsion, à la déformation. Rigidité de l’acier, du carton, de la fonte, du verre ; rigidité d’un assemblage, d’un navire. Dans les corps qui tombent sous nos sens, la solidité et la rigidité, comme la flexibilité, la mollesse ou la liquidité, sont autant de phénomènes très dérivés et très complexes (COURNOT, Fond. connaiss., 1851, p. 179). Plutôt que la rigidité propre du bois, le tronc [du pin] fait paraître une élasticité charnue (CLAUDEL, Connaiss. Est, 1907, p. 79).

Disons qu’on est tous à peu près d’accord avec cette première définition. Mais qu’en est-il en mathématiques ? Car il se trouve que certains résultats sont qualifiés de théorèmes de rigidité, voire même de super-rigidité ! Et il faut bien reconnaître que cette terminologie s’est faite de plus en plus commune ces dernières années. C’est forcément un peu regrettable mais en même temps les gens ont bien souvent de très bonnes raisons de qualifier leurs résultats de théorèmes de rigidité. Effet de mode ? Peut-être aussi... mais pas seulement je crois.

Considérons un polynôme $P$ de degré $n$, à coefficients réels disons, et pensons-y comme une fonction de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$. Par exemple le polynôme $P(X)=\frac{1}{4}X-X^3+X^5$ dont voici la représentation graphique :

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Le but du jeu est le suivant : déformer « continûment » le polynôme $P=\sum_{i=0}^n a_i X^i$ de sorte que $P$ reste un polynôme de degré $n$. Bon c’est facile vous me direz, il suffit de modifier légèrement les coefficients $a_i$ de $P$. D’accord, alors rajoutons maintenant une petite contrainte à notre jeu : il faut déformer continûment $P$ sans pour autant modifier ses dérivées à l’origine. Autrement dit, on veut que les valeurs $P^{(k)}(0)$ ($k \in \mathbf{N}$) ne changent pas pendant la déformation. Plus dur n’est-ce pas ? Impossible ! Les polynômes sont rigides !!

Pouvez-vous le démontrer ?

Il suffit de remarquer qu’à un facteur près $P^{(k)}(0)$ n’est autre que $a_k$.

Mais alors peut-être que toutes les fonctions sont rigides ? Eh bien non. Il existe des fonctions non nulles infiniment dérivables sur $\mathbf{R}$ et dont toutes les dérivées à l’origine sont nulles. Et il n’est pas trop difficile de donner une formule explicite [1]. Voici déjà ce que ça peut donner graphiquement et d’ailleurs ça ne semble pas bien compliqué de déformer ce graphe vers celui de la fonction identiquement nulle.

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Donc on pourrait dire qu’un objet mathématique est rigide s’il est difficile ou impossible de le déformer. Bien sûr, cette définition est loin d’être précise. Encore moins précis serait de dire la chose suivante :

Un objet mathématique est rigide dès lors qu’il peut être entièrement retrouvé avec bien moins d’information qu’on aurait cru initialement.

Ce que nous avons vu pour les polynômes réels marchent aussi bien pour les polynômes complexes bien sûr et plus généralement encore pour les fonctions holomorphes.

Alors voilà, c’est tout le propos de ce trimestre organisé à l’institut Hausdorff de Bonn [2]. Une trentaine de mathématiciens venant d’un peu partout dans le monde se retrouvent ici et restent plus ou moins longtemps en fonction de leur disponibilité : certains sont de passage pour une semaine, d’autres pour un mois, d’autres pour le trimestre entier. Une occasion exceptionnelle en tout cas de retrouver plein de collègues intéressés par ce thème général. Et du coup dans les discussions, on entend souvent parler de rigidité de Mostow-Margulis-Zimmer, de rigidité topologique, de rigidité quasi-isométrique...

Notes

[1Par exemple la fonction qui vaut 0 si $x \leq 0$ et $\text{exp}(-1/x)$ si $x>0$.

[2Je ne résiste à rappeler que c’est à Bonn que Beethoven a vu le jour et d’ailleurs je recommande vivement la visite de sa maison natale où l’on peut voir entre autres (et toucher... enfin c’est marqué qu’on n’a pas le droit de toucher !) deux des
pianos
du maître. Et je crois qu’on peut dire que l’esprit tumultueux et indomptable de Beethoven a offert une nouvelle vie au style symphonique à la forme jusque là très structurée et bien rigide ! Pour le plaisir, le finale de sa Fantaisie chorale.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Un trimestre de rigidité» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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