Un vistazo a la lemniscata de Bernoulli

Le 30 juin 2010  - Ecrit par  Hamza Khelif
Le 8 décembre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Coup d’œil sur la lemniscate de Bernoulli Voir les commentaires
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En 1694 Jakob Bernoulli publicó en Acta Eruditorum una curva que él llamó lemniscata, del griego lêmniskos y el latin lemniscatus, que significan cinta [1]. Sus investigaciones acerca de la curva elástica le llevaron a definir esta curva, en la cual el cálculo de la longitud de un arco condujo más tarde a la introducción de las funciones elípticas [2].

La lemniscata de Bernoulli es el conjunto de los puntos del plano para los cuales el producto de las distancias a dos puntos fijos $F$ y $F´$, los focos de la lemniscata, es constante (definición bipolar).

Es la inversa de la hipérbola equilátera, definida por la ecuación cartesiana $x^2-y^2=a^2$ (o $r^2=a^2/\cos{2\theta}$ en coordenadas polares) en relación al círculo definido por la ecuación $x^2+y^2=a^2 $ ( $r^2=a^2 $ en polares) (vea fig.1 de la Plancha 1) donde $a$ es un real estrictamente positivo, $F$ y $F´$ son los inversos de los focos de la hipérbola, y las tangentes al punto doble son los inversos de las asíntotas definidas por $x^2-y^2=0$ de esta hipérbola (tangentes al infinito, globalmente invariantes).

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Planche 1

Una ecuación cartesiana de la lemniscata es, por lo tanto, \[(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2) \quad (\mbox{o } \quad r^2=a^2\cos{2\theta}).\]

Así como la circunferencia y la hipérbola son cónicas, esto es, curvas de segundo grado, la lemniscata es una cuártica (curva del cuarto grado) bicircular. Este último vocablo significa, grosso modo, que el polinomio formado por términos de más alto grado en $x$ e $y$ es divisible por $(x^2+y^2)^2$.

Se demuestra que la lemniscata también es :

  • un caso particular de óvalo de Cassini (definición bipolar) ;
  • un caso particular de curva de Booth (curva definida por la ecuación $(x^2+y^2)^2=a^2x^2+\epsilon b^2y^2$, con $\epsilon=1$ o $\epsilon=-1$) ;
  • un caso particular de espiral sinusoidal (ecuación polar) ;
  • la podaria en relación a $O$ de la hipérbola equilátera de la cual ella es la inversa ;
  • como podaria, la envoltura de los círculos de diámetro de extremidades, su centro y un punto de esta hipérbola ;
  • el conjunto de los puntos medios de los segmentos de longitud $FF'$ cuyas extremidades describen los círculos de radio $a$ y de centros $F$ y $F'$.

Se deduce que la lemniscata de Bernoulli es una curva de tres barras. El mecanismo para trazarla (Cayley) está constituido por un paralelógramo (cruzado) articulado $ABCD$ de lados $AC=BD=a,AB=CD=a\sqrt{2}$. Los puntos $C$ y $D$ están fijos al plano ; cuando los puntos $A$ y $B$ describen respectivamente las circunferencias de centros $C$ y $D$ y de radio $a$, el punto medio $M$ de $(A,B)$ describe la lemniscata de focos $C$ y $D$ (vea fig. 6 de la Plancha 1).

La lemniscata de Bernoulli es una curva sinodal de todas sus cuerdas surgidas del punto doble (se dice que dos curvas -que unen un punto $A$ con un punto $B$ situados más abajo, colocados en un campo de gravedad uniforme- son sinodales si cuando uno suelta en $A$ un punto material sin velocidad inicial, toma el mismo tiempo para llegar a $B$, ya sea que siga una u otra de las dos curvas).

También se nota la siguiente propiedad, escrita por Abel (1826) en una carta a Holmboe [3] :

Se puede dividir la lemniscata de Bernoulli en $n$ partes iguales, con regla y compás, si y solamente si $n=2^k$ ($k>0$) o $n=2^k p_1p_2...p_{j}$, con $k\geq0$ y los $p_{i}$ de los números de Fermat primos son todos diferentes (comparar con el teorema de Gauss-Wantzel para la circunferencia).

Sin restringir la generalidad, uno puede considerar las curvas como unidades, esto es, tomar $a=1$.

La representación paramétrica $x(t)=\cos(t)$, $y(t)=\sin(t)$ del círculo está en el origen de la denominación de las funciones coseno y seno circulares y de la trigonometría circular.

La representación paramétrica $x(t)=\cosh(t)$, $y(t)=\sinh(t)$ (de una rama) de la hipérbola está ligada a la denominación de las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico y la trigonometría hiperbólica.

Para la lemniscata de Bernoulli, Abel comenta que el cálculo de la longitud de un arco de esta curva conduce a la integral $\int_{0}^{t}du/\sqrt{1-u^4}$.

Él hace entonces el vínculo con la relación
\[\arcsin(t)=\int_{0}^{t}du/\sqrt{1-u^2},\]
y, por analogía con la restricción de la función seno circular en el intervalo
$[-\pi/2,\pi/2]$, recíproco del arcoseno, él construye entonces una función periódica : la función seno lemniscático (primer ejemplo de función elíptica), definida por $t\mapsto sl(t)$, recíproca de la función
$x \mapsto t=\int_{0}^{x}du/\sqrt{1-u^4}$.

La longitud de un cuarto de la lemniscata es $\int_{0}^{1}du/\sqrt{1-u^4}$.
Se nota su longitud como $\overline{\omega}/2$. La longitud de la lemniscata es, por lo tanto, $2\overline{\omega}$ ($2\overline{\omega}a$ si $a\neq 1$), donde
\[\overline{\omega}=2\int_{0}^{1}du/\sqrt{1-u^4}=2\int_{0}^{\pi/2}du/\sqrt{1+\sin^2u} = 2,6220575542921198104648395...\]
es la constante de la lemniscata (comparar con la constante del círculo $\pi=2\int_{0}^{1}du/\sqrt{1-u^2} = 3,141592653589793238462643383...$). Gauss descubre el 30 de mayo de 1799 la notable relación entre el ’’pi’’ circular y el ’’pi script’’ lemniscático $\overline{\omega}=\pi/M(1,\sqrt{2})$ donde $M(a,b)$ es el promedio aritmetico-geométrico de $a$ y $b$.

El área de la parte del plano que la lemniscata delimita ($a$ positivo cualquiera) es \[S = 2\left( (1/2)\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^2d\theta \right) = a^2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos(2\theta) d\theta = a^2.\] La función seno lemniscático $sl$ es impar y periódica de periodo $2\overline{\omega}$.

Se define luego la función coseno lemniscático $cl$ por $cl(t) = sl((\overline{\omega}/2)-t)$ (vea fig.5 de la Plancha 1).

La función $sl$ es de clase $C^1$ sobre $\mathbb{R}$ y su derivada $sl'$ está definida por \[sl'(t) = \sqrt{1-sl^4(t)} \qquad \mbox{ si } t \in [-\overline{\omega}/2, \overline{\omega}/2]+2\overline{\omega}\mathbb{Z}\]
y
\[sl'(t) = - \sqrt{1-sl^4(t)} \qquad \mbox{ si } t \in [\overline{\omega}/2, 3\overline{\omega}/2]+2\overline{\omega}\mathbb{Z}.\]

Su restricción en $[-\overline{\omega}/2, \overline{\omega}/2]$ es una biyección de este intervalo en $[-1,1]$ y su recíproca notada $arcsl$ está definida por $arcsl(x)= \int_{0}^{x}du/\sqrt{1-u^4}$.

Notemos al pasar la igualdad $\int_{0}^{\overline{\omega}}sl(t)dt=\pi/2$ y las relaciones $sl^{2}{u}+cl^{2}{u}-sl{u}.cl{u}=1$ y $sl({u+v})=(sl{u}.cl{v}+sl{v}.cl{u})/(1-sl{u}.sl{v}.cl{u}.cl{v})$ [4].

Uno puede considerar las funciones seno circular, seno hiperbólico y seno lemniscático como casos particulares de lo que se llama el seno generalizado, a saber, la función recíproca de la función
$x \mapsto t = \int_{0}^{x}du/\sqrt{1+mu^2+nu^4}$, ya que se tiene $t = \int_{0}^{\sin(t)}du/\sqrt{1-u^2}$, para $(m,n)=(-1,0)$, $t=\int_{0}^{\sinh(t)}du/\sqrt{1+u^2}$, para $(m,n)=(1,0)$, y para $(m,n)=(0,-1)$ se tiene $t = \int_{0}^{sl(t)}du/\sqrt{1-u^4}$.

Veamos ahora lo que representa el parámetro $t$ en las relaciones $t=\int_{0}^{\sin(t)}du/\sqrt{1-u^2}$, $t=\int_{0}^{\sinh(t)}du/\sqrt{1+u^2}$ y $t=\int_{0}^{sl(t)}du/\sqrt{1-u^4}$.

Para el caso circular, $t$ representa dos veces el área del sector circular $OAM$, donde $A=(1,0)$ y $M=(\cos(t),\sin(t))$ (vea fig.2 de la Plancha 1), y para el caso hiperbólico, el doble del área de la parte delimitada por la curva, el eje de las abcisas y la recta $OM$, donde $M=(\cosh(t),\sinh(t))$ (¿sector hiperbólico $OAM$ ?) (vea fig. 3).

Para la lemniscata, si $t$ es la longitud de un arco de origen $O$ de la lemniscata, $sl(t)$ es la longitud de la cuerda que subtiende este arco, orientando la lemniscata positivamente, como está indicado en la figura 4 de la Plancha 1.

Las ecuaciones paramétricas $x=cl(t), y=sl(t)$ representan la cuártica en la cual una ecuación cartesiana es $x^2+y^2+x^2y^2=1$ (¿elipse lemniscática ?), mientras que $x=1/cl(t)$, $y=sl(t)$ representan la cuártica definida implícitamente por $x^2-y^2-x^2y^2=1$ (¿hipérbola lemniscática ?) (vea fig.7 de la Plancha 1). [5]

Notemos finalmente que la lemniscata de Bernoulli no es una variedad diferenciable debido al punto doble.


Referencias

[A]
Olivier KNEUSS : Un exemple de fonction elliptique : le sinus lemniscatique

[B]
E. H. LOCKWOOD  : A book of curves. Cambridge University Press 1961

Notes

[1Su forma se asemeja a la de un lemnisco : ’’Cinta que en señal de recompensa honorífica acompañaba a las coronas y palmas de los atletas vencedores’’ Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua.

Arriba : a izquierda, la cifra del ocho árabe ; a derecha, el infinito.

Abajo : a izquierda, la cinta de M"obius de Erscher ; a derecha, el analema del sol.

[2Morris KLINE. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press 1990 (Volume 2, pp-412, 416-419)

[3Œuvres complètes de Abel, Tome II, XX. Extraits de quelques lettres à Holmboe, Page 261

[4Évelyne BARBIN y René GUITART. Algèbre des fonctions elliptiques et géométrie des ovales cartésiennes (sic)

[5A. I. MARKUSHEVICH. The remarkable sine functions. American Elsevier Pub. Comp. Inc., 1966.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Un vistazo a la lemniscata de Bernoulli» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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