Una ’’Pregunta’’ de la Edad Media : ¿son conmensurables la diagonal y el lado de un cuadrado ?

Piste rouge Le 20 octobre 2013  - Ecrit par  Sabine Rommevaux-Tani
Le 5 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Une Quæstio médiévale : est-ce que la diagonale d’un carré est commensurable au côté de ce carré ? Voir les commentaires

Quisiera evocar aquí un género especial de escritos matemáticos, que según mi conocimiento se encuentra sólo en los siglos XIV y XV, en el mundo latino. Se trata de la Quæstio [Pregunta]. Este género literario debe ser considerado en relación con una práctica universitaria habitual en esa época, la ’’disputa’’, debate público durante el cual una pregunta era planteada, suscitando intercambios de puntos de vista contradictorios entre los participantes : el maestro y al menos un contradictor y un contestador [1]. La disputa era ante todo un procedimiento de aprendizaje que permitía también la elaboración del saber.

La Quæstio es entonces tanto la transcripción de debates que realmente tuvieron lugar en la universidad, como un texto redactado bajo esa forma por el autor, que veía en él un buen medio para exponer así su reflexión. Era redactada en latín, lengua de la universidad en aquella época. Contiene generalmente dos partes : en la primera son presentados argumentos a favor o en contra de la pregunta (quod sic y quod non). Luego, en una segunda parte el maestro presenta su propia argumentación, seguida de respuestas a los argumentos de la primera parte. Se puede comprender cómo esta forma de argumentación puede adaptarse con provecho a los debates filosóficos o teológicos. Es más problemático al tratarse de argumentos matemáticos, ya que uno puede ser llevado a producir deliberadamente argumentos matemáticamente falsos en la primera parte [2]. Hasta donde yo sé,tenemos aquí los primeros usos de demostraciones matemáticas falsas en un contexto de enseñanza en las universidades medievales.

A modo de ejemplo, propongo examinar aquí cómo Blaise de Parma (siglos XIV y XV) trata sobre la inconmensurabilidad de la diagonal y del lado de un mismo cuadrado en sus Questions sur le traité des rapports de Thomas Bradwardine.

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Recordemos que dos cantidades son inconmensurables si no hay ninguna cantidad que divida a la vez a una y a la otra. O, en términos modernos, dos cantidades son inconmensurables si su cuociente es irracional. Ahora bien, el cuociente de la diagonal de un cuadrado con su lado vale $\sqrt{2}$, que es irracional [3].

La inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un mismo cuadrado es conocida desde la Antigüedad. Así, Aristóteles, en sus Primeros analíticos, da como ejemplo de una prueba por contradicción la demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un mismo cuadrado [4]. Él dice, entonces, de manera sibilina, que si uno supusiera que la diagonal y el costado son conmensurables, entonces los números impares serían iguales a los números pares, lo que por supuesto es absurdo.

De hecho, la demostración a la cual hace alusión es la siguiente. Supongamos que la diagonal $D$ y el lado $C$ sean conmensurables, entonces $D/C = p/q$ donde $p$ y $q$ son dos enteros. Además, podemos suponer que uno de los dos es impar (si ambos son pares, se simplifica por 2). Se sabe por otra parte que el cuadrado construido sobre la diagonal es el doble del cuadrado inicial (es una consecuencia inmediata del teorema de Pitágoras). Entonces $D^2 = 2C^2$ y como consecuencia $p^2 = 2 q^2$. Supongamos que $p$ sea impar. Entonces $p^2$ es impar, por lo que no puede ser igual a $2q^2$. Si ahora $p$ es par y q impar, coloquemos $p = 2k$. Se tiene $4k^2 = 2q^2$, y en consecuencia, $2k^2 = q^2$. Y ahí de nuevo, $q^2$, que es impar, no puede ser igual a $2k^2$. Entonces la diagonal y el lado no son conmensurables.

Esta demostración se encuentra en la versión de los Elementos de Euclides que redacta Campanus hacia 1260. Ese texto será ampliamente distribuido por toda Europa desde finales del siglo XIII. En particular, Blaise de Parma lo conoció ; él sabe entonces perfectamente que la diagonal es inconmensurable con el lado, y todos los lectores de Campanus también.

Antes de describir la Quæstio de Blaise, digamos algunas palabras sobre este autor. Después de haber estudiado artes liberales, filosofía y luego medicina en la universidad de Pavia, Blaise de Parma enseña ahí filosofía y lógica de 1374 a 1378. Continúa su enseñanza en Bolonia, donde adquiere renombre como matemático, óptico y astrónomo. En 1384, deja Bolonia para irse a la facultad de artes y de medicina de Padua, donde enseña filosofía y astrología hasta 1388 y luego de 1407 a 1411. En ese entretanto, es llamado a Pavia, donde profesa matemáticas y filosofía. Finalmente, en 1412, es nombrado Prior de la Universidad de Parma. Muere ahí, en abril de 1416 [5].

Las Preguntas sobre el tratado de los cuocientes de Blaise de Parma son un comentario del Tratado sobre los cuocientes de Thomas Bradwardine, miembro del Merton College entre 1324 y 1335. En ese tratado, el maestro de Oxford expone su regla del movimiento, según la cual la velocidad del movimiento es proporcional al cuocientes entre la potencia de aquello que mueve y la resistencia al movimiento [6]. Así, en el caso de la caída de un cuerpo pesado en el aire, la velocidad es proporcional al cuociente entre la gravedad y la resistencia del aire. Esta regla del movimiento será enseñada en todas las universidades europeas, hasta que Galileo la invalida y propone su propia teoría.

Las Quæstiones de Blaise sobre ese tratado conocieron dos redacciones. La primera data probablemente de los años 1380 y contiene once preguntas. La segunda fue sin duda redactada cuando Blaise enseñaba matemáticas en Pavia ; lleva doce preguntas [7]. Hay cambios a veces notables entre las dos versiones. En especial, mientras Blaise acepta la regla del movimiento de Bradwardine en la primera versión, la rechaza en la segunda por razones matemáticas y físicas [8].

Nosotros nos interesaremos aquí en la cuarta pregunta de la segunda versión. Se titula ’’El cuociente entre la diagonal con el lado de un mismo cuadrado, ¿es racional ?’’.

En la primera parte, Blaise presenta varios argumentos quod sic, es decir, a favor de una respuesta positiva a la pregunta hecha : ’’Se demuestra que sí’’ (Et arguitur quod sic). Se puede dividir estos argumentos en tres grupos. En una primera serie, se muestra que la diagonal es igual al lado ; en una segunda serie, que la diagonal es el doble que el lado ; finalmente, en una tercera serie, los argumentos llevan hacia la noción de denominación de un cuociente [9].

Primer argumento de la primera serie :

La diagonal y el lado de un mismo cuadrado son iguales, así que tienen entre ellos un cuociente de igualdad. Pero todo cuociente de igualdad es un cuociente racional, entonces etc. Y que la diagonal y el lado son iguales yo lo pruebo primero así : la diagonal y el lado están atravesados al mismo tiempo por el mismo móvil, así que son iguales. La consecuencia es válida. El antecedente es claro si un móvil oblongo se mueve de un lado del cuadrado hacia el otro. Se comprueba entonces que en ese caso el móvil cruza al mismo tiempo la diagonal y el lado.

Se considera aquí una raya, inicialmente ubicada sobre el lado superior del cuadrado y que desciende paralelamente a ese lado hasta el lado inferior. El punto a recorre el lado izquierdo mientras que —al mismo tiempo— el punto b recorre la diagonal. Así, ya que los dos movimientos se efectúan al mismo tiempo y con la misma velocidad (la de la raya), los recorridos son iguales : la diagonal es igual al lado.

Se ve aquí cómo un dispositivo físico interviene en un razonamiento matemático. Notemos por otra parte el uso de la lógica en la descripción del razonamiento. El argumento principal está presentado bajo la forma de una inferencia o, según los términos utilizados en esa época, una consecuencia : la diagonal y el lado son atravesados en el mismo tiempo etc., por lo tanto son iguales. La primera parte de esa inferencia es llamada el antecedente ; la segunda parte, el consecuente.

El segundo argumento de esta misma serie acerca de la igualdad se sitúa en el marco de la aritmética :

En aritmética, se concede que la diagonal es igual a su lado, entonces etc. Se demuestra el antecedente así : uno toma un número cuadrado, por ejemplo 9. Después se comprueba que el lado de ese cuadrado es el número 3, igual que la diagonal del mismo cuadrado, lo que es claro si tú lo muestras por unidades, haciendo un cuadrado de nueve puntos.

El tercer argumento de esta misma serie pertenece al campo de la filosofía :

La diagonal del cuadrado no es más que la superficie de ese cuadrado, y ya que la superficie es ese cuadrado, se deduce que la diagonal del cuadrado es ese cuadrado. Y digo lo mismo para el lado del mismo cuadrado. En efecto, ese cuadrado no es otra cosa que el cuadrado mismo. Por lo tanto se deduce que la diagonal no es otra cosa que el lado. [...]

En el marco de la filosofía de Blaise, solo el cuadrado tiene existencia propia. La diagonal y el lado no existen sino como componentes del cuadrado ; no pueden existir sin el cuadrado. En consecuencia, el filósofo dice que la diagonal y el lado no son nada más que el cuadrado mismo. Así, en lo que concierne a su forma de existencia, la diagonal y el lado son iguales.

En la segunda serie de argumentos, está demostrado que la diagonal es el doble del lado. En efecto, en un primer tiempo se comenta que, según la penúltima proposición del libro I de Euclides, que no es otra cosa que el teorema de la hipotenusa, llamado ’’de Pitágoras’’, el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de dos lados consecutivos. Se deduce de eso que la diagonal es igual a la suma de esos lados o el doble de un lado. El argumento avanzado para justificar esta deducción es exacto, ’’si los cuadrados son iguales, conviene que las raíces, es decir, los lados de esos cuadrados, sean iguales’’, pero evidentemente eso no vale en este caso.

En un segundo tiempo, se destaca que la diagonal sostiene un ángulo recto (es decir, que en el triángulo formado por la diagonal y dos lados consecutivos del cuadrado, el ángulo opuesto a la diagonal es recto), mientras que el lado sostiene la mitad de un ángulo recto. Así, la diagonal es el doble del lado.

Pasemos rápidamente a la segunda parte de la Quæstio, aquella donde Blaise presenta su propia respuesta. Esta se articula en tres ’’artículos’’, como lo anuncia el autor :

En esta pregunta hay tres artículos. En el primer artículo, plantearé las definiciones de un cierto número de palabras y las suposiciones. En el segundo artículo, presentaré conclusiones y algunos corolarios. En el tercer artículo, responderé a los argumentos contrarios.

En el primer artículo se establecen las propiedades necesarias para la argumentación, propiedades que forman el marco teórico en el cual Blaise se ubica. Así, comienza por recordar que el cuadrado construido sobre la diagonal es el doble del cuadrado construido sobre el lado. Agrega que el cuociente entre dos cuadrados es el cuociente doblado del cuociente entre sus lados [en otros términos $(a^2 : b^2) = (a : b)^2$, si se anota $({a} : {b})$ el cuociente entre ${a}$ y ${b}$, que es una relación cuantitativa entre ${a}$ y ${b}$, independiente de la fracción ${a}/{b}$]. Él nota que la relación entre cantidades conmensurables (para las cuales existe una cantidad común que los divide) puede explicarse como el cuociente entre dos números, de los cuales uno es impar. Recuerda por último que el doble de un número es par, que el cuadrado de un número par es par y que el cuadrado de un número impar es impar. Blaise, entonces, se ubica aquí en el marco de las matemáticas euclidianas y el cuadrado que él considera es geométrico.

Seguro de estas suposiciones, Blaise demuestra en el segundo artículo que la diagonal y el lado de un cuadrado son inconmensurables. Vuelve a tomar en especial la demostración de par e impar, que ya se encontraba en Aristóteles.

En el tercer artículo, Blaise responde a los argumentos quod sic de la primera parte. Veamos entonces lo que él dice a propósito de los tres argumentos avanzados en favor de la igualdad de la diagonal y del cuadrado. Respecto al primer argumento, admite que el mismo móvil recorre en el mismo tiempo la diagonal y el lado, pero advierte que la diagonal es recorrida por dos movimientos, uno vertical y otro horizontal, mientras que el lado es recorrido por un sólo movimiento. Entonces no se puede deducir que los recorridos sean iguales. El argumento no vale.

Blaise acepta, por el contrario, el segundo argumento : si uno se ubica en el marco de la aritmética —y no sólo en el de la geometría, como él lo hizo en su propio desarrollo, en el segundo artículo— es correcto decir que la diagonal de un número cuadrado es igual a su lado.

Lo mismo para el tercer argumento : si se considera el problema planteado en el marco de la filosofía de la época, se debe admitir que la diagonal es igual al lado, ya que tanto el uno como el otro no son nada más que el cuadrado mismo. Así, Blaise admite el argumento como válido ’’si, dice él, hablas como los filósofos’’. Pero añade que si uno se pone en el punto de vista del matemático, que imagina la línea como siendo indivisible según su longitud (lo que implica que la línea tiene una existencia propia y no solamente la superficie, incluso si es en la imaginación del matemático), el argumento no vale.

Así, Blaise acepta la idea que un mismo problema —que, hoy en día, es inmediatamente considerado como relevante de la geometría— puede ser considerado según varios puntos de vista : el del físico, el del aritmético, el del filósofo y finalmente el del geómetra. Todos estos puntos de vista, que pueden aportar respuestas contradictorias a la pregunta planteada, son colocados en el mismo plano. Uno no es más válido que otro (salvo, por supuesto, si el argumento presentado en ese marco es falso), incluso si finalmente Blaise considera el cuadrado geométrico y se ubica en el marco de los matemáticos euclidianos para resolver la pregunta planteada aquí.

Blaise rechaza evidentemente los argumentos geométricos de la segunda serie, tendientes a probar que la diagonal es el doble del lado del cuadrado y fundados en propiedades erróneas de proporcionalidad entre ciertos elementos de una figura. Frente a tales argumentos, el lector de hoy en día puede tener una actitud de rechazo y de incomprensión. ¿Por qué entretenerse produciendo demostraciones falsas ? Me parece que hay que ir más allá de esta primera impresión y tratar de comprender sus roles. No nos olvidemos que las Quæstiones de Blaise de Parma fueron redactadas en un contexto pedagógico. Se puede pensar entonces que esos argumentos tenían por función poner en guardia a los estudiantes contra una idea, después de todo bastante natural, que es que todo es proporcional. Por supuesto es falso. Los cuadrados no son proporcionales a sus raíces ; los ángulos que sostienen líneas no son proporcionales a esas líneas.

Post-scriptum :

Agradezco por sus comentarios y sugerencias a los relectores Théo Dardel, François Gramain, Mikaël Cabon y B !gre.

Article original édité par Hélène Gispert

Notes

[1Vea por ejemplo, de Olga Weijers, L’enseignement du trivium à la Faculté des arts de Paris : la « questio », en Jacqueline Hamesse (ed.), Manuels, programmes de cours et techniques d’enseignement dans les universités médiévales, Louvain-la-Neuve, Institut d’études médiévales, 1994 ; Jean-Luc Solère, « Scolastique », en el Dictionnaire du Moyen Age, Paris, Presses Universitaires de France, 2002, p. 1299-1310.

[2Vea de Joël Biard, ’’Mathématiques et philosophie dans les Questions de Blaise de Parme sur le Traité des rapports de Thomas Bradwardine’’, Revue d ?histoire des sciences, 56/2 (2003), p. 383-400. Se puede encontrar este artículo aquí.

[3A propósito de la irracionalidad de $\sqrt{2}$, se puede relacionar con los artículos publicados en Images des Mathématiques (en francés) : Autorretrato del cuadrado de 2, Mi Q racional, La puerta de la armonía, Números y representaciones

[4Vea de Aristóteles, Organon, III, Les premiers analytiques, traducción de J. Tricot, Paris, Vrin, 2001, livre I, chap. 23, 41 a23-27, p. 121-122.

[5Vea de J. Biard y G. Federici Vescovini, ’’Introduction’’, de Blaise de Parme, Questiones super tractatus logicales magistri Petri Hispani, Paris, Vrin, 2001.

[6Vea de Thomas Bradwardine, Traité sur les rapports entre les mouvements, seguido por Nicole Oresme, Sur les rapports de rapports, introducción, traducción y comentarios de Sabine Rommevaux, coll. ’’Sagesses médiévales’’, Paris, Les Belles Lettres, 2010.

[7Hay una edición en Blaise de Parme, Questiones circa Tractatum proportionum magistri Thome Braduardini, Introduction et édition critique de Joël Biard et Sabine Rommevaux, Paris, Vrin, 2005.

[8Vea de Sabine Rommevaux, ’’Les règles du mouvement de Blaise de Parme’’, de Joël Biard et Sabine Rommevaux (éds.), Mathématiques et théorie du mouvement (XIVe—XVIe siècles), Villeneuve d’Ascq, Presses Universitaire de Septentrion, 2008, p. 31-57.

[9No voy a decir nada sobre esta tercera serie de argumentos, ya que tendría que desarrollar la noción de denominación de un cuociente, lo que necesitaría un estudio bastante más largo. Se puede recurrir al libro de Sabine Rommevaux, ’’L’irrationalité de la diagonale et du côté d’un même carré dans les Questions de Blaise de Parme sur le Traité des rapports de Bradwardine’’, Revue d’histoire des sciences, 56/2 (2003), p. 401-418. Se puede encontrar este artículo aquí.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Una ’’Pregunta’’ de la Edad Media : ¿son conmensurables la diagonal y el lado de un cuadrado ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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