¿Una fórmula para los números primos ?

Le 5 décembre 2008  - Ecrit par  Louis Funar
Le 29 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Une formule pour les nombres premiers ? Voir les commentaires
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Comprender la distribución de los números primos ha sido un desafío para los matemáticos de todos los tiempos. Algunos de aquellos que partieron en búsqueda del Grial trataron de describirlos con ayuda de las fórmulas matemáticas explícitas. Resulta que todas las fórmulas construidas con ese propósito no fueron de gran utilidad, ya que trabajar con esas fórmulas es a menudo más complicado que probar directamente que los números en consideración son primos...

Recientemente, Eric Rowland, un joven estudiante en tesis con Doron Zeilberger, hizo un asombroso descubrimiento en esta dirección.

Se define la secuencia de naturales que comienza por $a_1=7$, en la cual cada término se obtiene del anterior por recurrencia :
\[ a_{n}=a_{n-1} + mcd (n, a_{n-1}),\]
donde $mcd (a,b)$ máximo común divisor de los números $a$ y $b$.

Consideremos enseguida las diferencias de los términos consecutivos, es decir, la secuencia
\[ a_2-a_1, a_3-a_2, \ldots, a_n-a_{n-1}, \ldots ,\]
cuyos primeros términos son
\[1,1,1,5,3, 1,1,1,1,11,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,3,1,...\]

Entonces uno solo ve aparecer al 1 y números primos.

Y en efecto, en 2008, Rowland demostró que cada término de esta secuencia es ¡ya sea 1 o un número primo !

Este hermoso descubrimiento fue publicado en el Journal of Integer Sequences en 2008 -con una presentación de Jeffrey Shalit, editor de esa revista-, que se puede encontrar en su blog : Recursivity.

Las aplicaciones de esta fórmula para la construcción de grandes números primos son bastante limitadas, ya que se puede probar que es necesario esperar ’’mucho tiempo’’ antes de encontrar el número primo $p$ : el número pasos de recurrencia necesarios es del mismo orden de magnitud que $p$.

Sin embargo, la simplicidad de esta fórmula de recurrencia, en contraste con la complejidad de la secuencia de números primos, hace soñar a los amantes de los enigmas matemáticos...

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¿Una fórmula para los números primos ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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