Una lectura rápida podría hacer temer que la demostración de Euclides no es constructiva. En efecto, en nuestro razonamiento, utilizamos el principio del tercero excluido que nos permite afirmar que $n$ es un número primo o que $n$ no es un número primo. Sin embargo, es posible hacer constructiva esta parte de la demostración porque la primalidad de un número natural es calculable, en el sentido de que existe un algoritmo que permite decidir si un número natural $n$ es primo o no. En efecto, si $k$ es un divisor de $n$ no nulo, entonces $k \leq n$. Basta con probar la divisibilidad de $n$ por todo número natural $1 \leq k \leq n$ para determinar la primalidad de $n$.

Si denotamos $p_m$ el máximo [3] del conjunto $\mathcal{P}_f$, podemos considerar el número natural $n = p_m! + 1$ y terminar la prueba con los mismos argumentos. En general, tenemos el siguiente lema.

La demostración es análoga a la de Euclides: consideramos el número natural $n = m! + 1$ y observamos que todo divisor de $n$ diferente de 1 es estrictamente mayor que $m$.

Definición: Una topología sobre un conjunto $E$ es un subconjunto $\mathcal{T}$ de partes de $E$ que llamamos abiertos tal que

• $\emptyset$ y $E$ están en $E$;
• toda unión de elementos de $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$;
• toda intersección finita de elementos de $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$.

Los complementarios de los abiertos se llaman cerrados. La pareja $(E,\mathcal{T})$ es, por definición, un espacio topológico.

Observación: Para definir una topología, es raro enumerar todos sus abiertos. En la práctica, a menudo partimos de un conjunto $\mathcal{B}$, que llamamos abiertos básicos, y tal que todo abierto de la topología $\mathcal{T}$ es por definición la unión de elementos de $\mathcal{B}$. Un tal subconjunto $\mathcal{B}$ de $\mathcal{T}$ se llama una base de la topología.

¿Para qué puede usarse esto? Por ejemplo, para dar sentido a la noción de límite. Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $E$ converge hacia un elemento $x_{\infty}$ de $E$ si, para cualquier abierto $O$ que contenga $x_{\infty}$, existe un número natural $N$ tal que, para todo $n \geq N$, $x_n$ pertenece a $O$ [7]. Esta es la intuición que tenemos de la noción de limite: los elementos de la sucesión están tan ’’próximos’’ a $x_{\infty}$ como queramos, excepto por un número finito de ellos.

Ejemplo fundamental: Todo espacio métrico $(E,d)$ es un espacio topológico. Las bolas abiertas
\[B(x,r)=\{y \in E \ ; \ d(y,x) < r\},\]
donde $x$ es un punto de $E$ y $r$ un real estrictamente positivo, son abiertos de esta topología. Pero el asunto se pone mejor: las bolas abiertas constituyen en realidad una base de ella y, por lo tanto, todo abierto de la topología es de hecho una unión de bolas abiertas. Que las bolas abiertas puedan formar la base de una topología se debe esencialmente al hecho de que la intersección de dos bolas abiertas es una unión de bolas abiertas. Dejamos al lector la demostración de este hecho ilustrado en el siguiente dibujo.

Así, en un espacio métrico, $(E,d)$, una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $E$ converge a un elemento $x_{\infty}$ de $E$ si, para todo real $r$ estrictamente positivo, existe un número natural $N$ tal que, para todo $n \geq N$, $d(x_n,x_{\infty}) < r$.

Esta topología es la topología inducida por los enteros $p$-ádicos $\mathbf{Z}_p$ sobre $\mathbf{Z}$. Si nunca has oído hablar de los números $p$-ádicos, entonces te animamos a que le preguntes a Sylvain Barré qué pasaría Si los números pudieran ser infinitos a la izquierda de la coma en lugar de a la derecha o a ver este corto video de Xavier Caruso.

Todo entero no nulo $x$ se escribe de una manera única como $x = \pm p^k n$, con $k$ y $n$ dos números naturales, $n$ no nulo y no divisible por $p$. Definimos la distancia de $x$ a $0$ como
\[d_p(x,0) = p^{-k}.\]
Se deja al lector la demostración de que se trata efectivamente de una distancia, en particular de que $d_p$ verifica la desigualdad triangular: $(\mathbf{Z},d_p)$ es un espacio métrico. Y ’’tender a 0’’ es exactamente ser ’’cada vez más divisible por $p$’’. Así que, tan contraintuitivo como pueda parecer la primera vez que oyes hablar de esto, en esta topología $p$-ádica se tiene
\[\lim_{k \to +\infty} p^k = 0.\]
Y así, si bien es cierto que $p^{1000}$ está muy cerca de $0$, $p^{1000} + 1$ está lo más lejos posible de $0$, es decir, a distancia $1$.