Una infinidad de números primos, de acuerdo a Furstenberg

Piste noire Le 24 mai 2020  - Ecrit par  Aurélien Alvarez
Le 13 juillet 2020  - Traduit par  Miguel Cueto
Article original : Une infinité de nombres premiers, d’après Furstenberg Voir les commentaires
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Se trata de una de las más antiguas demostraciones matemáticas. Es, además, una de las más elegantes. Euclides demuestra en los Elementos que existe una infinitud de números primos mediante un argumento cristalino.
Después de Euclides, numerosas otras demostraciones se han propuesto, a menudo con el espíritu de la de Euclides, pero también otras de naturaleza muy diferente. En 1955, a la edad de solamente 20 años, Hillel Furstenberg hizo su contribución con un argumento topológico, dejando entrever el potencial de la topología en la teoría de los números. Es esta demostración la que nos proponemos explicar aquí.

Este artículo se dirige a estudiantes de tercer año de grado en matemáticas por lo menos. De hecho, la demostración de Furstenberg requiere estar familiarizado con algunos rudimentos de topología. Sin embargo, la primera parte del artículo debería ser accesible a partir de la secundaria.

Antes de detallar la demostración de Furstenberg, no podemos resistir el placer de recordar la de Euclides. A continuación, como interludio, proponemos la de Saidak : es una prueba relativamente reciente (2006), poco conocida y, en cierto sentido, tal vez incluso más elemental que la de Euclides.

Para entrar en calor...

Recordamos que un número natural $p$ es primo si es mayor o igual a 2 y si sus únicos divisores son 1 y $p$ : 2, 3, 5 et 7 son números primos mientras que $4=2 \times 2$, $6 = 2 \times 3$, $8 = 2^3$ y $10 = 2 \times 5$ no lo son.

Usaremos el siguiente lema varias veces.

Lema 1. Todo número natural al menos igual a 2 tiene un divisor primo.
Demostración

Sea $n \geq 2$ un número natural ; denotemos $p$ el menor divisor de $n$ al menos igual a 2 (un tal divisor existe ya que $n$ divide a $n$).
El número natural $p$ es primo porque todo divisor de $p$ es un divisor de $n$.

Obsérvese que la demostración que hemos dado anteriormente es constructiva ya que permite explicitar un algoritmo que calcula un divisor primo (en este caso el más pequeño de ellos).

Una infinitud de números primos... según Euclides [1]

Teorema. Para todo conjunto finito $\mathcal{P}_f$ de números primos, existe un número primo $p$ que no pertenece a $\mathcal{P}_f$.
Demostración

Si $\mathcal{P}_f$ es vacío, entonces es suficiente con tomar $p = 2$.
Si no, consideramos el número natural $n$ que es el sucesor del producto de los elementos de $\mathcal{P}_f$ [2].

  • Si $n$ es un número primo, entonces $p = n$ es válido ya que $n$ es estrictamente mayor que cualquier elemento de $\mathcal{P}_f$.
  • Si no, el lema 1 garantiza que existe un divisor primo $p$ de $n$.
    Si $p$ fuera un elemento de $\mathcal{P}_f$, entonces $p$ sería un divisor de $n$ y del producto de los elementos de $\mathcal{P}_f$, y en consequencia de la diferencia de estos dos números naturales que es igual a 1, lo que es absurdo.
Corolario. Existe una infinitud de números primos.

Observación constructiva

Una lectura rápida podría hacer temer que la demostración de Euclides no es constructiva. En efecto, en nuestro razonamiento, utilizamos el principio del tercero excluido que nos permite afirmar que $n$ es un número primo o que $n$ no es un número primo. Sin embargo, es posible hacer constructiva esta parte de la demostración porque la primalidad de un número natural es calculable, en el sentido de que existe un algoritmo que permite decidir si un número natural $n$ es primo o no. En efecto, si $k$ es un divisor de $n$ no nulo, entonces $k \leq n$. Basta con probar la divisibilidad de $n$ por todo número natural $1 \leq k \leq n$ para determinar la primalidad de $n$.

Ligera variación en la demostración de Euclides

Si denotamos $p_m$ el máximo [3] del conjunto $\mathcal{P}_f$, podemos considerar el número natural $n = p_m! + 1$ y terminar la prueba con los mismos argumentos. En general, tenemos el siguiente lema.

Lema. Para todo número natural $m$, existe un número primo $p_m$ estrictamente mayor que $m$.

La demostración es análoga a la de Euclides : consideramos el número natural $n = m! + 1$ y observamos que todo divisor de $n$ diferente de 1 es estrictamente mayor que $m$.

Una infinitud de números primos... según Saidak [4]

Lema 2. Los divisores diferentes de 1 de un número natural $n$ no nulo son distintos de los de $n+1$.
Demostración

Si $d$ es un divisor de $n$ y $n+1$, entonces $d$ divide la diferencia $(n+1)-n = 1$.

Definimos la sucesión $(u_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de números oblongos por $u_0 = 1$ y, para todo número natural $n$ en $\mathbf{N}$,
\[u_{n+1} = u_n (u_n + 1). \]
Para todo $n \geq 1$, denotamos por $\mathcal{P}_n$ el conjunto finito no vacío (por el lema 1) de los divisores primos de $u_n$.

Teorema. La sucesión $(\mathcal{P}_n)_{n \geq 1}$ es una sucesión estrictamente creciente para la inclusión [5].
Demostración

Deducimos del lema 2 que, cualquiera que sea el entero natural $m$ no nulo, $m(m+1)$ tiene estrictamente más divisores primos que $m$.
Así, para todo $n \geq 1$, tomando $m = u_n$, se sigue que $\mathcal{P}_n$ está estrictamente contenido en $\mathcal{P}_{n+1}$.

Corolario. Existe una sucesión estrictamenta creciente de números primos.
Demostración

Para todo $n \geq 1$, denotando $p_n$ el mínimo de $\mathcal{P}_{n+1} \setminus \mathcal{P}_n$, construimos una sucesión $(p_n)_{n \geq 1}$ de números primos dos a dos distintos de la que extraemos una subsucesión estrictamente creciente.

Una infinitud de números primos... según Furstenberg [6]

Para demostrar que existe una infinitud de números primos, Furstenberg utiliza la topología de $\mathbf{Z}$ inducida por la inclusión de $\mathbf{Z}$ en su compleción profinita
\[ \widehat{\mathbf{Z}} = \lim\limits_{\longleftarrow} \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}.\]

😳😳 ’’¿De qué estamos hablando ?’’

Por suerte, no necesitas saber lo que es una topología profinita para entender lo que sigue. Pero tengamos en cuenta que hay un ’’marco natural’’ para lo que vamos a explicar y que no sale de un sombrero mágico 😊.

Comencemos demostrando que el conjunto de números primos $\mathcal{P}$ no se reduce a un solo elemento $\{p\}$. Para ello, es suficiente con notar que $\{2,3\} \subset \mathcal{P}$. ¡Pero podemos hacer algo mucho más complicado ! Veamos esto para así entender la idea de Furstenberg.

Según el lema 1, todo número natural al menos igual a 2 tiene un divisor primo. Así, si $\mathcal{P} = \{p\}$, entonces
\[ \mathbf{Z} = \left\{ -1, +1 \right\} \cup p\mathbf{Z}. \]

Sin embargo, existe sobre $\mathbf{Z}$ una topología tal que

  • todo abierto no vacío tiene cardinal infinito ;
  • los conjuntos $p\mathbf{Z}$ son clopen.

Algunos recordatorios topológicos : definición, base, ejemplos

Definición : Una topología sobre un conjunto $E$ es un subconjunto $\mathcal{T}$ de partes de $E$ que llamamos abiertos tal que

  • $\emptyset$ y $E$ están en $E$ ;
  • toda unión de elementos de $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$ ;
  • toda intersección finita de elementos de $\mathcal{T}$ está en $\mathcal{T}$.

Los complementarios de los abiertos se llaman cerrados. La pareja $(E,\mathcal{T})$ es, por definición, un espacio topológico.

Observación : Para definir una topología, es raro enumerar todos sus abiertos. En la práctica, a menudo partimos de un conjunto $\mathcal{B}$, que llamamos abiertos básicos, y tal que todo abierto de la topología $\mathcal{T}$ es por definición la unión de elementos de $\mathcal{B}$. Un tal subconjunto $\mathcal{B}$ de $\mathcal{T}$ se llama una base de la topología.

¿Para qué puede usarse esto ? Por ejemplo, para dar sentido a la noción de límite. Diremos que una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $E$ converge hacia un elemento $x_{\infty}$ de $E$ si, para cualquier abierto $O$ que contenga $x_{\infty}$, existe un número natural $N$ tal que, para todo $n \geq N$, $x_n$ pertenece a $O$ [7]. Esta es la intuición que tenemos de la noción de limite : los elementos de la sucesión están tan ’’próximos’’ a $x_{\infty}$ como queramos, excepto por un número finito de ellos.

Ejemplo fundamental : Todo espacio métrico $(E,d)$ es un espacio topológico. Las bolas abiertas
\[B(x,r)=\{y \in E \ ; \ d(y,x) < r\},\]
donde $x$ es un punto de $E$ y $r$ un real estrictamente positivo, son abiertos de esta topología. Pero el asunto se pone mejor : las bolas abiertas constituyen en realidad una base de ella y, por lo tanto, todo abierto de la topología es de hecho una unión de bolas abiertas. Que las bolas abiertas puedan formar la base de una topología se debe esencialmente al hecho de que la intersección de dos bolas abiertas es una unión de bolas abiertas. Dejamos al lector la demostración de este hecho ilustrado en el siguiente dibujo.

JPEG - 13.7 ko

Así, en un espacio métrico, $(E,d)$, una sucesión $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de $E$ converge a un elemento $x_{\infty}$ de $E$ si, para todo real $r$ estrictamente positivo, existe un número natural $N$ tal que, para todo $n \geq N$, $d(x_n,x_{\infty}) < r$.

Estas dos propiedades son el resultado del hecho de que los conjuntos $m + p^k \mathbf{Z}$, para $m$ en $\mathbf{Z}$ y $k$ en $\mathbf{N}$, forman una base de abiertos de esta topología. Así que, si $\left\{\pm 1\right\}$ es el complementario de $p\mathbf{Z}$ en $\mathbf{Z}$, entonces es un abierto no vacío de cardinal finito, contradicción.

¿De dónde viene esta topología ?

Esta topología es la topología inducida por los enteros $p$-ádicos $\mathbf{Z}_p$ sobre $\mathbf{Z}$. Si nunca has oído hablar de los números $p$-ádicos, entonces te animamos a que le preguntes a Sylvain Barré qué pasaría Si los números pudieran ser infinitos a la izquierda de la coma en lugar de a la derecha o a ver este corto video de Xavier Caruso.

¿Qué significa ’’tender a cero’’ en esta topología ?

Todo entero no nulo $x$ se escribe de una manera única como $x = \pm p^k n$, con $k$ y $n$ dos números naturales, $n$ no nulo y no divisible por $p$. Definimos la distancia de $x$ a $0$ como
\[d_p(x,0) = p^{-k}.\]
Se deja al lector la demostración de que se trata efectivamente de una distancia, en particular de que $d_p$ verifica la desigualdad triangular : $(\mathbf{Z},d_p)$ es un espacio métrico. Y ’’tender a 0’’ es exactamente ser ’’cada vez más divisible por $p$’’. Así que, tan contraintuitivo como pueda parecer la primera vez que oyes hablar de esto, en esta topología $p$-ádica se tiene
\[\lim_{k \to +\infty} p^k = 0.\]
Y así, si bien es cierto que $p^{1000}$ está muy cerca de $0$, $p^{1000} + 1$ está lo más lejos posible de $0$, es decir, a distancia $1$.

Vamos ahora a la demostración de Furstenberg.

Demonstración de Furstenberg

El conjunto de números enteros $\mathbf{Z}$ puede ser dotado de una topología (no discreta) que los aritméticos conocen bien y que podemos llamar razonablemente topología de los enteros uniformemente espaciados.
Concretamente, se trata de la topología generada por las progresiones aritméticas, es decir, por los conjuntos $m + n \mathbf{Z}$, para $m$ en $\mathbf{Z}$ y $n$ en $\mathbf{N}^*$. Estos abiertos constituyen además una base de esta topología, ya que $\mathbf{Z} = 0 + 1\mathbf{Z}$ es uno de ellos y la intersección de dos de estos abiertos es o vacía, o igual a $m + n \mathbf{Z}$ si $m + n_1 \mathbf{Z}$ y $m + n_2 \mathbf{Z}$ son esos dos abiertos y $n$ el mínimo común múltiplo entre $n_1$ y $n_2$.

Además, para todo $m$ en $\mathbf{Z}$ y $n$ en $\mathbf{N}^*$ y $k$, como consecuencia de la división euclidiana, tenemos la unión disjunta
\[ \mathbf{Z} = \bigcup_{k=0}^{n-1} ((m+k)+n\mathbf{Z}). \]
Así,

  • todo abierto no vacío tiene cardinal infinito ;
  • los abiertos de la base son también cerrados.
Observación clave. Si el conjunto $\mathcal{P}$ de los número primos tiene cardinal finito, entonces $\left\{\pm 1\right\}$ es abierto en la topología de los enteros uniformemente espaciados.
Demostración

De acuerdo con el lema 1, tenemos
\[ \left\{ -1, +1 \right\} \cup \bigcup_{p \in \mathcal{P}} p\mathbf{Z} = \mathbf{Z}. \]
Puesto que una unión finita de cerrados es cerrada, si $\mathcal{P}$ tiene cardinal finito, entonces el conjunto $\left\{\pm 1\right\}$ es un abierto no vacío de cardinal finito en la topología de los enteros uniformemente espaciados.

Dado que los abiertos no vacíos de la topología de los enteros uniformemente espaciados tienen cardinal infinito, la observación precedente permite concluir que el cardinal de $\mathcal{P}$ es infinito.

La demostración de Furstenberg no carece de encanto para los entusiastas de la topología. Sin embargo, el uso del lenguaje de la topología no es realmente indispensable y se puede reescribir completamente el argumento de Furstenberg de una manera mucho más elemental hablando solo de progresiones aritméticas. Esto es lo que hizo Mercer en 2009 [8].

¿Para qué todo eso ?

Usted puede preguntarse para qué dar una demostración tan esotérica de la existencia de una infinitud de números primos cuando Euclides da una que todo el mundo puede comprender. De hecho, no es tanto la prueba de Furstenberg en sí misma lo que es realmente fascinante, sino la idea de importar y utilizar fructíferamente herramientas y métodos de un área de las matemáticas (en este caso la topología) en otra área de las matemáticas (aquí la aritmética).

Unos años más tarde, en 1977, Furstenberg mostró de nuevo el camino importando ideas de la teoría ergódica para dar, después de Szemerédi en 1975, una nueva demostración de una famosa conjetura de Erdős-Turán.

Teorema de Szemerédi

Sean $k$ un número natural no nulo y $0 < \delta \leq 1/2$. Existe un número natural $N=N(k,\delta)$ tal que todo subconjunto de $\{1,\cdots,N\}$ que contiene al menos $\delta N$ elementos contiene una progresión aritmética de longitud $k$.

Los lectores más motivados podrán leer la demostración de Furstenberg [9], presentada también en un seminario de Bourbaki [10].

Article original édité par Romain Dujardin

Notes

[1Euclides. Elementos. Libro 9, prop. 20.

[2es decir, $1+\displaystyle\prod_{p \in \mathcal{P}_f}p$

[3con la convención de que $p_m = 0$ si $\mathcal{P}_f$ es vacío

[4Saidak. A New Proof of Euclid’s Theorem. American Mathematical Monthly. Vol. 113, p. 10 (2006).

[5es decir, para todo número natural $n \geq 1$, los divisores primos de $u_n$ son divisores primos de $u_{n+1}$, pero existen también divisores primos de $u_{n+1}$ que no son divisores de $u_n$

[6Furstenberg. On the infinitude of primes. American Mathematical Monthly. Vol. 62, p. 353 (1955).

[7Es fácil de ver que podemos restringirnos a los abiertos de la base en esta definición si disponemos de una base de la topología.

[8Mercer. On Furstenberg’s Proof of the Infinitude of Primes. American Mathematical Monthly. Vol. 116, p. 355-356 (2009).

[9Furstenberg. Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions. Journal d’Analyse mathématique. Vol. 31, p. 204-256 (1977).

[10Thouvenot. La démonstration de Furstenberg du théorème de Szemerédi sur les progressions arithmétiques. Séminaire Bourbaki, no 518,‎ p. 221-232 (1978).

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Pour citer cet article :

Miguel Cueto — «Una infinidad de números primos, de acuerdo a Furstenberg» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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