Una pelota de fútbol fractal

y otros objetos extraños.

Piste rouge Le 20 juin 2010  - Ecrit par  Jos Leys
Le 13 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Un ballon de foot fractal Voir les commentaires
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Se ha visto el Mandelbulb, el Mandelbox, y ahora toda una familia distinta de objetos fractales. [1] Esta vez, se trata de poliedros : los sólidos de Platón y los sólidos de Arquímedes, pero también de algunas formas más exóticas. Se les va a proveer de una estructura fractal, utilizando un algoritmo muy simple.

Una pelota de fútbol tiene un patrón típico de hexágonos y de pentágonos, que uno obtiene truncando un icosaedro. Aquí está, esculpido en figuras fractales. Solo queda inflarlo :

¿Cómo se puede diseñar y esculpir esos objetos ? Para comenzar la explicación, hay que hacer un desvío a Amsterdam a inicios del siglo XX e ir a ver la construcción propuesta por el matemático Willem Wythoff.

Los poliedros estilo Wythoff

Uno puede teselar una esfera con triángulos esféricos de ángulos $\pi/2$, $\pi/3$ y $\pi/4$. Si se toma uno de esos triángulos e iterativamente se considera los puntos simétricos del punto azul de la figura de la izquierda en relación a los tres planos que pasan por los lados del triángulo y el centro de la esfera, se obtiene los seis vértices de un octaedro.

Se dice que el octaedro tiene el símbolo de Wythoff $ 4 | 2 3$ : en un triángulo esférico de ángulos $\pi/4$, $\pi/2$ y $\pi/3$, se hace reflexiones del vértice de ángulo $\pi/4$.

Si uno hace lo mismo con el punto azul de la figura de la derecha, obtiene los ocho vértices de un cubo : el cubo tiene, por lo tanto, como símbolo de Wythoff $3|24$.

Hay también una construcción similar para el tetraedro.

Se puede también teselar una esfera con triángulos esféricos de ángulos $\pi/2$, $\pi/3$ y $\pi/5$. Con ese teselado, uno puede construir los vértices del dodecaedro y del icosaedro, como en las figuras de la izquierda y de la derecha.

Se dice que el dodecaedro tiene el símbolo de Wythoff $ 3 | 2 5$ , mientras que el símbolo para el icosaedro es $5|23$ .

Si uno elige la posición del punto en otra parte sobre los lados del triángulo, puede obtener los vértices de los sólidos de Arquímedes, como la pelota de fútbol (icosaedro truncado) a la izquierda y el pequeño rombicosidodecaedro a la derecha.

Esta construcción de Wythoff va a ayudarnos en lo que sigue.

Un algoritmo simple

Tomaremos los tres planos que pasan por el origen y por los lados del triángulo de base de la construcción de Wythoff. Estos pueden ser caracterizados por sus vectores normales $n_1$, $n_2$ y $n_3$. Para encontrar los valores numéricos de esos vectores uno puede comenzar con las coordenadas de los vértices de los poliedros regulares. Uno de los planos tiene como vector normal la dirección determinada por una arista del poliedro en cuestión. Se encuentra los otros fácilmente con una ayuda-memoria de los poliedros regulares.

Ayuda memoria de los poliedros regulares.

El tetraedro se inscribe en el cubo. En caso de una esfera de radio $1$, las posiciones de los vértices de dicho cubo son \[(\pm\sqrt{3}, \pm\sqrt{3}, \pm\sqrt{3}).\]

Como el octaedro es el dual del cubo, sus vértices son fáciles de determinar también.

Sea \[\phi=(1+\sqrt{5})/2\] el número de oro.

Los vértices de un dodecaedro coinciden con los vértices de un cubo $(\pm1, \pm1, \pm1)$ y con los vértices de tres rectángulos de altura $2/\phi$ y de anchura $2\phi$, como en la figura de la izquierda.

Los vértices del icosaedro coinciden con los vértices de tres rectángulos de anchura $2\phi$ y de altura $2$, como en la figura de la derecha.

Se define entonces los tres planos y un punto $C$ sobre la esfera ya sea en el interior o sobre el borde del triángulo definido por los tres planos.

Se toma un punto $P$ en el espacio y se efectúa reflexiones en relación a los tres planos, para que la nueva posición del punto se encuentre entre los tres planos, y por lo tanto, en el espacio piramidal descrito por el origen y los tres planos [2].
Para esto se define $a=P.n_i$, el producto escalar de los vectores $P$ y $n_i$.
Si $a<0$ se define $P'=P-2an_i$. La nueva posición $P'$ será el punto simétrico al plano de vector normal $n_i$. Se hace eso para $i=1, 2, 3$.

Luego se hace una traslación $P''=C+s(P'-C)$. Tomemos por el momento $s=1.5$.

Si la distancia $R$ al origen del punto $P''$ se mantiene inferior a un valor (por elegir) $M$, se recomienza : se hacen las reflexiones condicionales y la traslación, y se observa de nuevo si $R$ se mantiene inferior a $M$. Si es así, se recomienza otra vez, o bien uno se detiene si ya ha efectuado un cierto número de iteraciones. Si $R>M$, uno se detiene de inmediato y toma otro punto $P$.

Por lo tanto, se dibuja solo los puntos para los cuales $R$ se mantiene siempre inferior a $M$.

Como ejemplo, tomemos el triángulo esférico en la construcción de Wythoff que genera los vértices del cubo y del octaedro.

Los vectores normales son
$n_1=<1,0,0>, n_2=<-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2},0> ,n_3=<0,1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}>$. Esto es lo que uno obtiene con el algoritmo si se toma como valores de $C$ consecutivamente a $<0,0,-1>$, $<0,1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}>, <1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3}>$ (es decir, los vértices del triángulo esférico) :

Intentemos con el triángulo esférico que genera el dodecaedro y el icosaedro.

El algoritmo de unas pocas líneas [3] diseña por lo tanto los poliedros completos, no solo los vértices, como lo hace la construcción de Wythoff. Se podría definir los poliedros como el conjunto de puntos que no se escapan hacia el infinito bajo la acción del algoritmo con ciertos valores para los tres vectores normales $n_i$ y el punto fijo $C$.

Puede ser interesante, pero estamos en la búsqueda de imágenes un poco más sorprendentes que los antiguos poliedros...

¡Cambiemos un parámetro !

Como hemos visto, el algoritmo está constituido por dos etapas : las reflexiones y la traslación del punto de una distancia que tiene como valor $s$ veces la distancia del punto fijo. Cambiemos entonces $s$. De izquierda a derecha se muestra lo que se obtiene para el octaedro con $s=1.55$, $s=1.75$ y $s=2$.

Con $s=2$ se obtiene un octaedro de Sierpinski.

Tratemos con un dodecaedro. Esta vez, las caras ya no son lisas cuando $s$ se hace mayor que $1+\phi/2$, donde $\phi=(1+\sqrt{5})/2$, el número de oro. Este es el resultado para $s=2$, $s=2.5$ y $s=2.75$.

Si se mira el objeto de más cerca, está claro que su estructura es fractal. Aquí está el objeto con $s=2.75$ agrandado 5 veces (a la izquierda) y 26 veces (a la derecha).

Algunos otros ejemplos. Primero la versión Sierpinski del icosaedro :

... y otros dos, elegidos aleatoriamente entre los poliedros :

Se ha inventado un nombre para este tipo de objetos fractales : funciones iteradas caleidoscópicas. El adjetivo ’’caleidoscópico’’ viene evidentemente de las reflexiones que se aplican en la primera etapa del algoritmo. Como se habla de ’’funciones’’ en plural, nada nos impide agregar todavía una o varias funciones al algoritmo. ¡Con esto se va a descubrir objetos extraños !

Objetos extraños

En el algoritmo, antes de efectuar las reflexiones se va a someter el punto a una rotación alrededor de un cierto eje, y por supuesto es posible también introducir una rotación adicional entre las reflexiones y la traslación. Como uno recorre el algoritmo iterativamente, se tendrá por lo tanto la secuencia rotación- reflexión- (rotación)- traslación- rotación- etc. Aquí hay dos ejemplos. Primero un tetraedro con dos rotaciones y luego un cubo con una rotación :

Todas las imágenes mostradas hasta aquí estaban basadas en los triángulos esféricos en las construcciones de Wythoff. Los aficionados a las imágenes fractales adoran, sin embargo, abandonar las reglas claras y explorar lo que ocurre si se deja correr la imaginación. En la imagen de abajo a la izquierda se ha tomado cuatro planos de reflexión y una rotación. La imagen de la derecha tiene tres planos elegidos de otra manera y una rotación.

Aquí hay una película de Krzysztof Marczak (Polonia) donde los parámetros cambian de manera continua :

Después de haber cambiado todos los principios de los parámetros, se comienza a cambiar el algoritmo incluso para ver lo que esto puede dar. Se ha encontrado de este modo un método súper eficaz para diseñar la esponja de Menger.

Menger

Wikipedia entrega un método para construir este objeto :

La construcción de una esponja de Menger puede ser descrita de la siguiente manera :

  • comenzar por un cubo ;
  • reducir el cubo a un tercio y hacer 20 copias ;
  • colocar las copias de tal manera que formen un nuevo cubo de igual tamaño que el original, sin las partes centrales ;
  • repetir el proceso a partir de la etapa 2 para cada uno de los 20 cubos así creados.

El sólido obtenido en el límite, después de un número infinito de iteraciones, es la esponja de Menger. En cada iteración se multiplica el número de cubos por $20$, lo que hace que el sólido creado mediante la iteración n contenga $20^n$ cubos.

Esto es fácil si uno tiene un programa computacional que pueda manipular cubos. El problema, sin embargo, es que esto da problemas de memoria computacional : para construir una esponja de cinco iteraciones ¡hay que manipular más de 3 millones de cubos !

Una pequeña modificación de nuestro algoritmo va a generar el mismo objeto sin ningún problema de memoria [4].

Para los planos de reflexión se va a tomar los tres planos $x=0$, $y=0$ y $z=0$, como punto fijo el punto $<1,1,1>$ y $s=3$. Algo va a cambiar en la traslación. Se hace de nuevo $P''=C+s(P'-C)$, por lo tanto
\[P''_x=C_x+3(P'_x-C_x)\]
\[P''_y=C_x+3(P'_y-C_y)\]
\[P''_z=C_z+3(P'_z-C_z),\]
pero esta última acción se ejecuta solamente si $P''_z>1$ ; si no, se hace $P''_z=3P'_z$.

A continuación se ilustra cómo el algoritmo produce el objeto : la imagen del medio es un agrandamiento de factor 10 y la imagen de la derecha está aumentada 200 veces. Por lo tanto, si hacemos acercamientos, el algoritmo va a mostrar siempre todos los detalles.

Aquí también uno puede jugar con los parámetros : se puede cambiar el factor de escala $s$, cambiar el punto fijo, añadir rotaciones, lo que da variaciones sobre la esponja bastante asombrosas :

Esto es lo que da una pequeña rotación :

Incluso más sorprendente : otro valor para el punto fijo y otra rotación generan un objeto totalmente distinto, que no se parece en nada a la esponja de Menger :

Las exploraciones continúan...

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1La idea viene, una vez más, de Fractalforums, donde Abdelaziz Naït Merzouk (Argelia) ha combinado de una manera muy elegante algunos hilos de discusión en el foro.

[2Para asegurarse de que el punto se encuentra verdaderamente en esta región del espacio hay que repetir las reflexiones varias veces.

[3Esas líneas evidentemente deben cuadrar en un algoritmo de trazado de rayos o raytracing que será un poco más largo...

[4Hay otros algoritmos eficaces. Aquí hay uno :

Para un cubo centrado en el origen con aristas de longitud $1$, un punto $x,y,z$ formará parte del conjunto en $n$ iteraciones si \[|x|<0.5, |y|<0.5, |z|<0.5\] y si no se encuentra « Alto » en esta secuencia :
$i$ de $1$ a $n$
$x'$=int(($(x+0.5)*3^i$)módulo 3), $y'$=int(($(y+0.5)*3^i$)módulo 3), $z'$=int(($(z+0.5)*3^i$)módulo 3)
si ($x'=1$ E $y'=1$) O ($x'=1$ E $z'=1$) O ($y'=1$ Y $z'=1$) ALTO
si no $i=i+1$

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Una pelota de fútbol fractal» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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