Une Quæstio médiévale : est-ce que la diagonale d’un carré est commensurable au côté de ce carré ?

Piste rouge Le 20 octobre 2013  - Ecrit par  Sabine Rommevaux-Tani Voir les commentaires

Je voudrais évoquer ici un genre particulier d’écrits mathématiques, qu’à ma connaissance on ne trouve qu’aux XIVe et XVe siècles, dans le monde latin. Il s’agit de la Quæstio [Question]. Ce genre littéraire doit être mis en relation avec une pratique universitaire courante à cette époque, la « dispute », débat public au cours duquel une question était posée, suscitant des échanges de points de vue contradictoires entre les intervenants, dont le maître, au moins un contradicteur et un répondant [1]. La dispute était avant tout un procédé d’apprentissage mais permettait aussi l’élaboration du savoir.

La Quæstio est donc soit la transcription de débats ayant réellement eu lieu à l’université, soit un texte mis sous cette forme par l’auteur, qui y voyait un bon moyen d’exposer ainsi sa réflexion. Elle est rédigée en latin, langue de l’université à cette époque. Elle contient généralement deux parties : dans une première partie sont proposés des arguments pour ou contre la question (quod sic et quod non), puis dans une seconde partie le maître présente sa propre argumentation, suivie des réponses aux arguments de la première partie. On peut comprendre comment cette forme d’argumentation peut s’adapter avec profit aux débats philosophiques ou théologiques. C’est plus problématique s’agissant de mathématiques puisqu’on peut être amené à produire délibérément des arguments mathématiquement faux dans la première partie [2]. Et, à ma connaissance, nous avons ici les premiers usages de démonstrations mathématiques fausses dans un contexte d’enseignement dans les universités médiévales.

À titre d’exemple, je propose d’examiner ici comment Blaise de Parme (XIVe – XVe siècles) traite de l’incommensurabilité de la diagonale et du côté d’un même carré dans ses Questions sur le traité des rapports de Thomas Bradwardine .

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Rappelons que deux quantités sont incommensurables s’il n’existe aucune quantité qui divise à la fois l’une et l’autre. Ou, en termes plus modernes, deux quantités sont incommensurables si leur quotient est irrationnel. Or le quotient de la diagonale d’un carré à son côté vaut $\sqrt{2}$, qui est irrationnel [3].

L’incommensurabilité de la diagonale et du côté d’un même carré est connue depuis l’Antiquité. Ainsi, Aristote, dans les Premiers analytiques, donne comme exemple d’un raisonnement par l’absurde la démonstration de l’incommensurabilité de la diagonale et du côté d’un même carré [4]. Il dit alors, de manière sibylline, que si l’on supposait que la diagonale et le côté étaient commensurables, alors des nombres impairs seraient égaux à des nombres pairs, ce qui bien sûr est absurde. En fait, la démonstration à laquelle il fait allusion est la suivante :

Supposons que la diagonale D, soit commensurable au côté C, alors D/C = p/q où p et q sont deux entiers. Et on peut supposer que l’un des deux est impair (si tous les deux sont pairs, on simplifie par 2). On sait par ailleurs que le carré construit sur la diagonale est le double du carré initial (c’est une conséquence immédiate du théorème de Pythagore). Donc $D^2 = 2C^2$ et par conséquent $p^2 = 2 q^2$. Supposons que p est impair, alors $p^2$ est impair. Mais alors $p^2$, qui est impair, ne peut pas être égal à $2q^2$. Si maintenant p est pair et q impair, posons $p = 2k$. On a $4k^2 = 2q^2$ et par conséquent, $2k^2 = q^2$. Et là encore, $q^2$ qui est impair, ne peut pas être égal à $2k^2$. Donc la diagonale n’est pas commensurable au côté.

Cette démonstration se trouve dans la version des Éléments d’Euclide que rédige Campanus vers 1260. Ce texte sera très répandu dans toute l’Europe, dès la fin du XIIIe siècle. En particulier, Blaise de Parme le connaît ; il sait donc parfaitement que la diagonale est incommensurable au côté, et tous les lecteurs de Campanus avec lui.

Avant de décrire la Quæstio de Blaise, disons quelques mots sur cet auteur.
Après avoir étudié les arts libéraux, la philosophie puis la médecine à l’université de Pavie, Blaise de Parme y enseigne la philosophie et la logique de 1374 à 1378. Il poursuit son enseignement à Bologne, où il acquiert une renommée de mathématicien, opticien et astronome. En 1384, il quitte Bologne pour la faculté des arts et de médecine de Padoue, où il enseigne la philosophie et l’astrologie jusqu’en 1388 puis de 1407 à 1411. Entre temps, on le rappelle à Pavie, où il professe les mathématiques et la philosophie. Finalement, en 1412, il est nommé Priore de l’université de Parme. Il y meurt en avril 1416 [5].

Les Questions sur le traité des rapports de Blaise de Parme sont un commentaire du Traité sur les rapports de Thomas Bradwardine, membre de Merton College entre 1324 et 1335. Dans ce traité, le maître d’Oxford expose sa règle du mouvement, selon laquelle la rapidité du mouvement est proportionnelle au rapport entre la puissance de ce qui meut et la résistance au mouvement [6], ainsi, dans le cas de la chute d’un corps lourd dans l’air, la rapidité est proportionnelle au rapport entre la gravité et la résistance de l’air. Cette règle du mouvement sera enseignée dans toutes les universités européennes, jusqu’à ce que Galilée l’invalide et propose sa propre théorie.

Les Quæstiones de Blaise sur ce traité ont connu deux rédactions. La première date probablement des années 1380 ; elle contient onze questions. La seconde a sans doute été rédigée alors que Blaise enseignait les mathématiques à Pavie ; elle comporte douze questions [7]. Il y a des changements parfois notables entre les deux versions ; notamment, alors que Blaise accepte la règle du mouvement de Bradwardine dans la première version, il la rejette dans la seconde pour des raisons mathématiques et physiques [8].

Nous nous intéresserons ici à la quatrième question de la seconde version. Elle est intitulée : « Est-ce que le rapport de la diagonale au côté d’un même carré est rationnel ? ».

Dans la première partie, Blaise présente plusieurs arguments quod sic, c’est-à-dire en faveur d’une réponse positive à la question posée : « On démontre que oui » (Et arguitur quod sic). On peut diviser ces arguments en trois groupes. Dans une première série, il est montré que la diagonale est égale au côté ; dans une deuxième série que la diagonale est le double du côté ; enfin, dans une troisième série, les arguments portent sur la notion de dénomination d’un rapport [9].

Premier argument de la première série :

La diagonale et le coté d’un même carré sont égaux, donc ils ont entre eux un rapport d’égalité. Mais tout rapport d’égalité est un rapport rationnel, donc etc. Et que la diagonale et le côté sont égaux je le prouve d’abord ainsi : la diagonale et le côté sont traversés dans le même temps par le même mobile, donc ils sont égaux. La conséquence est valide. L’antécédent est clair si un mobile oblong se meut d’un côté du carré vers l’autre côté. On constate alors que dans ce cas ce mobile traverse dans le même temps la diagonale et le côté.

On considère ici une barre, initialement placée sur le côté supérieur du carré et qui descend parallèlement à ce côté jusqu’au côté inférieur. Le point a parcourt le côté gauche pendant que, dans le même temps, le point b parcourt la diagonale. Ainsi, puisque les deux mouvements s’effectuent dans le même temps et à la même rapidité (celle de la barre), les parcours sont égaux : la diagonale est égale au côté.

On voit ici comment un dispositif physique intervient dans un raisonnement mathématique. Notons par ailleurs l’usage de la logique dans la description du raisonnement. L’argument principal est présenté sous la forme d’une inférence ou, selon les termes utilisés à cette époque, une conséquence : la diagonale et le côté sont traversés dans le même temps etc., donc ils sont égaux. La première partie de cette inférence est appelée l’antécédent, la seconde partie, le conséquent.

Pour le deuxième argument de cette même série sur l’égalité, on se place dans le cadre de l’arithmétique :

En arithmétique on concède que la diagonale est égale à son côté donc etc. On démontre l’antécédent ainsi : que l’on prenne un nombre carré, par exemple 9. Alors on constate que le côté de ce carré est le nombre 3, de même que la diagonale du même carré, ce qui est clair si tu le fais connaître par l’unité en faisant un carré de neuf points.

Le troisième argument de cette même série appartient au domaine de la philosophie :

La diagonale du carré n’est rien d’autre que la surface de ce carré, et puisque la surface est ce carré ou qu’il n’est rien d’autre que ce carré, il s’ensuit que la diagonale du carré est ce carré. Et je dis de même pour le côté du même carré. En effet, ce carré n’est rien d’autre et n’est pas autre chose que le carré lui-même. Donc il s’ensuit que la diagonale n’est rien d’autre que le côté. […]

Dans le cadre de la philosophie de Blaise, seul le carré a une existence propre. La diagonale et le côté n’existent que comme composantes du carré ; ils ne peuvent pas exister sans le carré. Par conséquent, le philosophe dit que la diagonale et le côté ne sont rien d’autre que le carré lui-même. Ainsi, en ce qui concerne leur mode d’existence, la diagonale et le côté sont égaux.

Dans la deuxième série d’arguments, il est démontré que la diagonale est le double du côté. En effet, dans un premier temps, on remarque que, selon l’avant-dernière proposition du livre I d’Euclide, qui n’est rien d’autre que le théorème de l’hypothénuse, dit « de Pythagore », le carré de la diagonale est égale à la somme des carrés des deux côtés consécutifs. On en déduit que la diagonale est égale à la somme de ces côtés ou le double d’un côté. L’argument avancé pour justifier cette déduction est exact, « si des carrés sont égaux, il convient que les racines, c’est-à-dire les côtés de ces carrés, soient égales », mais bien évidemment il ne vaut pas dans ce cas.

Dans un second temps, on remarque que la diagonale sous-tend un angle droit (c’est-à-dire que dans le triangle formé par la diagonale et deux côtés consécutifs du carré, l’angle opposé à la diagonale est droit), alors que le côté sous-tend la moitié d’un angle droit. Ainsi, la diagonale est le double du côté.

Venons-en maintenant rapidement à la deuxième partie de la Quæstio, celle où Blaise présente sa propre réponse. Celle-ci s’articule en trois « articles », comme l’annonce l’auteur :

Dans cette question il y a trois articles. Dans le premier article, je poserai les définitions d’un certain nombre de mots et les suppositions. Dans le deuxième article, je présenterai des conclusions et quelques corollaires. Dans le troisième article, je répondrai aux arguments contraires.

Dans le premier article sont mis en place les propriétés nécessaires à l’argumentation, propriétés qui forment le cadre théorique dans lequel Blaise se place. Ainsi, il commence par rappeler que le carré construit sur la diagonale est le double du carré construit sur le côté. Il ajoute que le rapport entre deux carrés est le rapport doublé du rapport entre leurs côtés [en d’autres termes $(a^2 : b^2) = (a : b)^2$, si l’on note (a : b) le rapport entre a et b, qui est une relation quantitative entre a et b, indépendante de la fraction a/b]. Il note que le rapport entre des quantités commensurables (pour lesquelles il existe une quantité commune qui les divise) peut s’exprimer comme le rapport entre deux nombres, dont l’un est impair. Il rappelle enfin que le double d’un nombre est pair, que le carré d’un nombre pair est pair et que le carré d’un nombre impair est impair. Blaise se place donc ici dans le cadre des mathématiques euclidiennes et le carré qu’il considère est géométrique.

Fort de ces suppositions, Blaise démontre dans le second article que la diagonale d’un carré est incommensurable au côté du même carré. Il reprend en particulier la démonstration par le pair et l’impair, que l’on trouvait déjà chez Aristote.

Dans le troisième article, Blaise répond aux arguments quod sic de la première partie. Voyons donc ce qu’il dit à propos des trois arguments avancés en faveur de l’égalité de la diagonale et du carré. Concernant le premier argument, il admet que le même mobile parcourt dans le même temps la diagonale et le côté, mais il remarque que la diagonale est parcourue par deux mouvements, l’un vertical, l’autre horizontal, alors que le côté n’est traversé que par un seul mouvement. On ne peut donc pas en déduire que les parcours sont égaux. L’argument ne vaut pas.

Blaise accepte par contre le second argument : si l’on se place dans le cadre de l’arithmétique – et non dans celui de la géométrie, comme il l’a fait dans son propre développement, au second article – il est vrai de dire que la diagonale d’un nombre carré est égale à son côté.

Même chose, pour le troisième argument : si l’on considère le problème posé dans le cadre de la philosophie de l’époque, on doit admettre que la diagonale est bien égale au côté, car l’un comme l’autre ne sont rien d’autre que le carré lui-même. Ainsi Blaise admet l’argument comme valable « si, dit-il, tu entends parler comme les philosophes ». Mais il ajoute que si l’on se place du point de vue du mathématicien, qui imagine la ligne comme étant indivisible selon la largeur (ce qui implique que la ligne a une existence propre et pas seulement la surface, même si c’est dans l’imagination du mathématicien), l’argument ne vaut pas.

Ainsi, Blaise accepte l’idée qu’un même problème – qui, aujourd’hui, est immédiatement considéré comme relevant de la géométrie – peut être envisagé selon plusieurs points de vue : celui du physicien, celui de l’arithméticien, celui du philosophe et finalement celui du géomètre. Tous ces points de vue, qui peuvent apporter des réponses contradictoires à la question posée, sont mis sur le même plan. L’un n’est pas plus valable qu’un autre (sauf, bien sûr, si l’argument présenté dans ce cadre est faux), même si finalement Blaise considère le carré géométrique et se place dans le cadre des mathématiques euclidiennes pour résoudre la question posée ici.

Blaise rejette bien évidemment les arguments géométriques de la seconde série, tendant à prouver que la diagonale est le double du côté du carré et fondés sur des propriétés erronées de proportionnalité entre certains éléments d’une figure. Face à de tels arguments, le lecteur d’aujourd’hui peut avoir une attitude de rejet et d’incompréhension. Pourquoi s’amuser à produire des démonstrations fausses ? Il me semble qu’il faut passer outre cette première impression et tenter de comprendre leur rôle. N’oublions pas que les Quæstiones de Blaise de Parme ont été rédigées dans un contexte pédagogique. On peut alors penser que ces arguments avaient pour fonction de mettre en garde les étudiants contre une idée, somme toute assez naturelle, qui est que tout est proportionnel. C’est bien sûr faux. Les carrés ne sont pas proportionnels à leurs racines ; les angles qui sous-tendent des lignes ne sont pas proportionnels à ces lignes.

Post-scriptum :

Je remercie pour leurs remarques et suggestions les relecteurs Théo Dardel, François Gramain, Mikaël Cabon et B !gre.

Article édité par Hélène Gispert

Notes

[1Voir par exemple Olga Weijers, « L’enseignement du trivium à la Faculté des arts de Paris : la “questio” », dans Jacqueline Hamesse (ed.), Manuels, programmes de cours et techniques d’enseignement dans les universités médiévales, Louvain-la-Neuve, Institut d’études médiévales, 1994 ; Jean-Luc Solère, « Scolastique », dans Dictionnaire du Moyen Age, Paris, Presses Universitaires de France, 2002, p. 1299-1310.

[2Voir Joël Biard, « Mathématiques et philosophie dans les Questions de Blaise de Parme sur le Traité des rapports de Thomas Bradwardine », Revue d’histoire des sciences, 56/2 (2003), p. 383-400. On peut trouver cet article ici.

[3A propos de l’irrationalité de $\sqrt{2}$, on peut se reporter à ces articles parus dans Images des mathématiques : Autoportrait de racine de 2,
Rationnel mon Q,
La porte d’harmonie,
Nombres et representations

[4Voir Aristote, Organon, III, Les premiers analytiques, traduction de J. Tricot, Paris, Vrin, 2001, livre I, chap. 23, 41 a23-27, p. 121-122.

[5Voir J. Biard et G. Federici Vescovini, « Introduction », dans Blaise de Parme, Questiones super tractatus logicales magistri Petri Hispani, Paris, Vrin, 2001.

[6Voir Thomas Bradwardine, Traité sur les rapports entre les mouvements, suivi de Nicole Oresme, Sur les rapports de rapports, introduction, traduction et commentaires de Sabine Rommevaux, coll. « Sagesses médiévales », Paris, Les Belles Lettres, 2010.

[7On en trouve une édition dans Blaise de Parme, Questiones circa Tractatum proportionum magistri Thome Braduardini, Introduction et édition critique de Joël Biard et Sabine Rommevaux, Paris, Vrin, 2005.

[8Voir Sabine Rommevaux, « Les règles du mouvement de Blaise de Parme », dans Joël Biard et Sabine Rommevaux (éds.), Mathématiques et théorie du mouvement (XIVe—XVIe siècles), Villeneuve d’Ascq, Presses Universitaire de Septentrion, 2008, p. 31-57.

[9Je ne dirai rien de cette troisième série d’arguments car il me faudrait développer la notion de dénomination d’un rapport, ce qui nécessiterait une étude beaucoup plus longue. On peut se reporter à Sabine Rommevaux, « L’irrationalité de la diagonale et du côté d’un même carré dans les Questions de Blaise de Parme sur le Traité des rapports de Bradwardine », Revue d’histoire des sciences, 56/2 (2003), p. 401-418. On peut trouver cet article ici.

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Pour citer cet article :

Sabine Rommevaux-Tani — «Une Quæstio médiévale : est-ce que la diagonale d’un carré est commensurable au côté de ce carré ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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