[Rediffusion d’un article publié en 2019]
Une activité dès la maternelle autour des graphes : le jeu de Sprouts
Piste verte Le 21 juin 2022 Voir les commentaires (2)
Le jeu de Sprouts se joue avec un crayon et une feuille de papier. Il consiste à construire un graphe planaire et est donc une excellente occasion pour se familiariser avec des notions de théorie des graphes comme les graphes planaires et le degré d’un sommet. La pratique de ce jeu révèle chez des enfants parfois très jeunes une connaissance intuitive du théorème de Jordan.
Le jeu de Sprouts se joue avec un (ou de préférence deux) crayon(s) et une feuille de papier initialement vierge, hormis un certain nombre (« nuage ») de points. Il consiste à construire un graphe sous certaines contraintes. D’apprentissage immédiat et de caractère addictif, il s’inscrit pleinement dans le thème « jouons ensemble avec les mathématiques » de la fête de la science 2019.
Il a donc été testé
- en juillet 2018, pendant les vacances, avec des enfants (issus de grande section ou de CE2) ;
- le 3 octobre 2018 au séminaire de l’IREM de La Réunion, avec des animateur.trice.s de l’IREM (dont l’enthousiasme a égalé celui des enfants) ;
- lors de la semaine des maths 2019 (deux journées en collège - cycle 4 - et une journée en école élémentaire - cycle 3 - ) ;
- puis à l’occasion du colloque MATh.en.JEANS de l’océan indien, avec les participants au colloque (collégiens, lycéens, accompagnateurs et chercheur.se.s).
Le but de cet article est de permettre, grâce à l’expérience acquise au cours de ces nombreuses parties, de démarrer immédiatement des activités ludo-éducatives basées sur ce jeu.
Le jeu démarre par un nuage de points (qui sont des sommets de degré zéro dans le futur graphe). Alors chaque joueur à son tour va :
- ajouter une arête joignant soit deux sommets (ce qui augmente leur degré d’une unité chacun) soit un sommet à lui-même (ce qui augmente son degré de 2 unités) ;
- puis ajouter sur cette arête un nouveau sommet au graphe (lequel est donc de degré initial 2).
Mais il faut respecter les deux contraintes citées ci-dessus (graphe planaire [1] et aucun degré supérieur à 3). De ce fait le jeu a une durée de vie finie, et le premier joueur ne pouvant plus ajouter d’arête au graphe perd le jeu. Voici par exemple un jeu dont le nuage initial est formé des 3 points plus gros et plus foncés que les autres. La joueuse qui joue en rouge [2] a gagné :
Créé par les mathématiciens John Conway et Michael S. Paterson au début des années 1960, le jeu de Sprouts est très facile à apprendre dès le cycle 2, mais reste l’objet de recherches à l’heure actuelle. Y jouer se fait par la manipulation d’un crayon sur une feuille de papier, et ce jeu est donc emblématique de la méthode de Singapour.
La joueuse citée précédemment a aussi gagné ce jeu, en effet aucun coup n’est plus jouable :
Pour se convaincre qu’elle a a gagné, elle a écrit à côté de chaque sommet, son degré.
Ce réflexe (compter les arêtes) est présent dès la grande section et on le retrouvera de façon récurrente en collège et en lycée, avec des améliorations substantielles.
Lors du séminaire IREM de la rentrée 2018, a donc été présenté aux animateurs IREM, le jeu de Sprouts. Les participants ont tout de suite joué mais certains l’ont fait si vite qu’ils n’ont pas vu que certains sommets étaient de degré 4.
Cette erreur de vision est apparue aussi le mardi 26 mars au collège Gaston-Crochet, et même plusieurs fois sur certains graphes :
L’apparition de sommets de degré 4, surtout présente sur des nuages de beaucoup de points, n’est pas la seule erreur qui se produit au cours du jeu : Ici un trait croise un cercle, ce qui est interdit par la règle du jeu :
Le trait noir en cours de tracé joint deux sommets rouges de degré 2, ce qui est parfaitement conforme à la règle du jeu. Mais en allant tout droit, il passe tout près d’un sommet de degré 3 ce qui semble donner à celui-ci un degré 5.
Une fois l’erreur repérée [3], elle est vite corrigée :
Ce qui n’empêche pas l’adversaire de gagner :
En effet le sommet de degré 2 qu’il vient de créer est le seul du genre et ne peut donc être joint à aucun autre.
Le succès de ce jeu, et plus particulièrement de la version feutre sur tableau blanc au collège, a incité à répéter l’expérience en école primaire, le jeudi 28 mars 2019, à l’école Louis-Clerc Fontaine. La prise d’initiative semble plus présente chez les enfants que chez les adolescents, ainsi, en constatant que l’on voit mal certains sommets de degré 3 (et qu’on les joue par erreur), les élèves de CM1-CM2 ont spontanément écrit le nombre 3 à côté de chaque sommet de degré 3 :
avec mise à jour au cours du jeu :
Ci-dessus il manque le nombre 3 à côté de deux sommets sur la gauche. La mise à jour de l’affichage n’a pas été nécessaire parce qu’il est apparu évident aux deux joueu.se.rs que la partie est finie : les deux seuls sommets de degré 2 qui restent sont dans des composantes connexes différentes, ce qui est perçu d’instinct par les enfants.
On constate, en particulier dans le premier degré, que
- les enfants jouent vite
- le jeu est addictif
- la règle s’apprend en regardant jouer les autres enfants
- les parties durent peu de temps.
Ceci fait que le jeu de Sprouts est remarquablement adapté aux enfants souffrant de troubles de l’attention. D’autant que ceux-ci sont valorisés lorsqu’ils gagnent et lorsqu’ils expliquent la règle du jeu à leurs camarades.
Le succès de la version tableau du jeu a amené à répéter une dernière fois l’expérience, devant un public allant de la classe de 5e jusqu’à l’âge adulte, au congrès de MATh.en.JEANS de l’océan indien, le 29 mars 2019, sur le campus de l’université du Moufia. La salle affectée aux jeux sur graphes était dotée d’un tableau noir et le jeu s’est fait à la craie :
Ici on voit que trois sommets sont encore jouables :
Le prochain joueur bénéficie d’un coup gagnant. Voyez-vous lequel ?
Conclusion
Le jeu de Sprouts est un jeu. De ce fait, il est de nature à intéresser des élèves bien plus jeunes que les créateurs du jeu. Ceci, dès la grande section. Mais sans oublier les classes ultérieures : le jeu a été testé lors du congrès MATh.en.JEANS de l’Océan Indien les 29 et 30 mars 2019 (thème de la semaine des maths : « jouons ensemble avec les mathématiques » ). Le jeu de Sprouts est également un jeu « papier-crayon » (ou « tableau-craie »). Il illustre donc plutôt bien la méthode dite « de Singapour » : aller vers l’abstraction (les graphes) en commençant par la manipulation (dessin sur papier ou tableau).
Le mot de la fin revient à un collégien, sous la forme d’une question (posée pendant la récréation) à laquelle la réponse n’est pas encore connue :
Pourquoi n’arrive-t-on pas à arrêter de jouer à Sprouts ?
Le jeu de Sprouts et son ancêtre probable Lucasta ont déjà été décrits dans cet article. Le présent article doit beaucoup (si ce n’est tout) aux relecteurs Clément Caubel, Thomas Rataud (qui conseille cette lecture), Véronique Vanackère et Philippe Colliard. Sans oublier qu’il bénéficie du redoutable privilège d’avoir été édité par Christian Mercat et Andrès Navas !
Notes
[1] ce qui avant l’âge de sept ans est automatique
[2] 8 ans
[3] le fait que les règles du jeu sont expliquées oralement par les élèves entre eux aboutit parfois à une transmission incomplète de l’information ; l’animateur doit quand même de temps en temps intervenir pour rappeler les règles.
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Pour citer cet article :
Alain Busser — «Une activité dès la maternelle autour des graphes : le jeu de Sprouts » — Images des Mathématiques, CNRS, 2022
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Commentaire sur l'article
Une activité dès la maternelle autour des graphes : le jeu de Sprouts
le 29 avril 2019 à 11:25, par Diego
Planarité ?
le 10 septembre 2019 à 14:22, par phalfter