Le jeu de Sprouts est basé sur deux notions de théorie des graphes (en fait le jeu consiste à construire un graphe) :

• la notion de graphe planaire (une arête ne doit jamais croiser une autre arête : cela forcerait l’une des deux à « sortir du plan ») ;
• la notion de degré (théorie des graphes) (chaque sommet du graphe doit être de degré inférieur ou égal à 3).

Tout d’abord, on compte qu’elle a tracé 4 arêtes alors que son adversaire n’a jusqu’ici tracé que 3 arêtes : ce n’est donc pas à elle de jouer.

Ensuite, en regardant les degrés des divers sommets du graphe, on voit qu’ils valent tous 3 sauf

• le sommet tout en haut (une des trois sommets initialement présents ; degré 2)
• un autre sommet de degré 2, colorié en rouge au milieu d’un segment (vers le bas à droite)

Par conséquent l’adversaire de la jeune joueuse ne peut plus jouer, au mieux, qu’un tracé d’arête joignant ces deux sommets de degré 2. Or ceci n’est pas possible sans croiser deux arêtes, ce qui est contraire à la règle du jeu : le graphe ne serait plus planaire.

Ne pouvant jouer, l’adversaire a perdu ce jeu.

En jouant à des jeux sur un graphe préconstruit, les enfants découvrent vite l’intérêt que présente la notion de degré d’un sommet :

• dans des jeux de poursuite comme le jeu du lièvre et du chien, le nombre de prédateurs (chiens) nécessaire pour équilibrer un tant soit peu le jeu, dépend du degré minimal des sommets du graphe ;
• dans les jeux de Col et Snort, une heuristique gagnante est basée sur la notion de degré maximal d’un sommet du graphe ;
• il en est de même pour le jeu des deux parkings dont on ne connaît pas, à l’heure actuelle, de stratégie gagnante.

En plus, le simple décompte des degrés des sommets d’un graphe est une activité arithmétique praticable dès la Grande Section. Par la suite on peut envisager des procédés de vérification comme le lemme des poignées de mains. On peut même imaginer toute une batterie d’exercices (ou jeux ?) consistant à donner les degrés des sommets du graphe, et demander de compléter le graphe, en traçant les arêtes manquantes.

Si le début du jeu est formé d’un seul sommet, le jeu est court et aboutit automatiquement à la victoire du second joueur. En effet, si on représente en noir le premier sommet (en bas), le seul mouvement possible pour le premier joueur est de tracer une arête joignant ce sommet à lui-même, ce qui lui donne un degré 2 :

Le second joueur ne peut pas alors refaire de boucle, parce que cela augmenterait de 2 unités le degré d’un des sommets :

Le seul coup permis au second joueur est donc de joindre les deux sommets par une arête, faisant alors passer leurs degrés à 3 :

Mais comme il n’y a qu’un seul sommet de degré inférieur à 3, et que son degré est supérieur à 1, le premier joueur ne peut plus jouer. En effet s’il fait passer une boucle par le nouveau sommet il lui attribue le degré 4 :

Et s’il joint le nouveau sommet à un autre, c’est cet autre qui aura un degré 4 :

Ni trop ni trop peu : c’est le choix de 3 sommets au départ qui a été fait pour initier les enfants à ce jeu.

L’idée de jouer sur papier avec deux stylos de couleur différente a été abandonnée, le jeu se fait désormais au tableau. Chaque joueu.se.r dessine un trait et un point avec un feutre de couleur différente ce qui permet de mieux voir qui a fait l’erreur de comptage et donc de savoir qui a perdu la partie. En effet l’animation se fait ainsi :

• L’animateur invite un.e élève au tableau et lui confie un feutre (par exemple rouge) puis dessine quelques points (en noir) au tableau blanc ;
• l’animateur et l’élève jouent alors une partie et en même temps l’animateur explique les règles à l’élève ainsi qu’aux autres élèves présent.e.s ;
• une fois ce jeu terminé, peu importe qui a gagné, l’animateur confie à un.e autre élève le feutre bleu et les deux élèves jouent une partie ; à partir de là l’animateur est libre d’animer une autre activité ;
• à chaque fin de partie, le gagnant ou la gagnante affronte un.e autre élève, qui regardait le jeu.

Les noms des gagnant.e.s peuvent être écrits au tableau (ici, des élèves de 6e) :

Comme le tableau se voit de loin, la curiosité amène assez spontanément des élèves à venir voir ce qui se passe, et comme une fois qu’ils ont appris en regardant les autres jouer, ils sont amenés à jouer à leur tour, il se déclenche assez rapidement une épidémie de Sprouts, sans que l’animateur ait à intervenir.

L’inconvénient de laisser les élèves en autonomie sur ce jeu est qu’à la longue certains finissent par ne plus comprendre à quoi servent ces chiffres 3 et finissent par croire que c’est un geste à effectuer chaque fois qu’on vient de joindre deux sommets, selon le caprice d’une mystérieuse règle du jeu. Ici un joueur a oublié d’écrire ce 3 ce qui a incité son adversaire (en bas) à jouer un sommet de degré 3 et y inscrire 3 alors que son degré est 4 :

D’autres ont cru que l’écriture du 3 est à peu près systématique et ont mis ce nombre à côté d’un sommet de degré 2 :

Le jeu ci-dessus comporte une autre bizarrerie : la première arête n’a pas joint deux sommets existants (en noir) mais a mené à la création d’un sommet, ce qui n’est pas conforme à la règle du jeu initiale.

On constate également qu’en cycle 3 le tracé de trait est moins sûr qu’au collège, comme le montre l’angle droit dû au fait que l’élève avait visé trop bas. Ceci dit, il est possible qu’il s’agisse de dyspraxie.

Certains enfants ont oublié qu’il fallait aussi rajouter un sommet au milieu de l’arête, après avoir dessiné celle-ci. Il leur a alors été proposé une variante urbaine du jeu :

Le jeu se joue sur une carte. Au départ il n’y a que des villes isolées. Chaque joueu.se.r à son tour va construire une route joignant deux villes (ou une ville avec elle-même) mais :

• Il ne doit jamais y avoir plus de 3 routes qui partent d’une ville donnée ;
• deux routes ne doivent jamais se croiser ;
• chaque fois qu’on construit une route, on construit une ville sur cette route.

Avec cette version de la règle du jeu, le réseau routier devient bien plus cohérent :

La joueuse ci-dessus constate qu’elle a perdu la partie : elle cherche à construire une route entre les deux seules villes dont le réseau routier est encore incomplet, et elle voit que cela n’est pas possible sans croiser une autre route. Elle stoppe donc le tracé et admet avoir perdu.

Cet autre jeu est terminé parce qu’il ne reste plus qu’une ville de laquelle on peut encore tracer une route et cette route n’aboutirait nulle part :

Comme on le voit, les étudiants de L3 qui animaient cet atelier ont trouvé une autre manière de représenter le jeu :

• Les sommets ne sont plus coloriés mais représentés par des cercles relativement grands ;
• lorsqu’on trace un trait entre deux cercles, on l’interrompt pendant le tracé pour y ajouter un nouveau cercle ;
• lorsqu’un sommet est de degré 3, on le barre d’une croix ou on le colorie, pour qu’il saute aux yeux que ce sommet n’est plus jouable.

Effectivement cette technique s’avère efficace, on voit par exemple immédiatement ci-dessous comment finira le jeu :

La croix à gauche est en cours de marquage. Une fois celui-ci effectué, on voit qu’il ne reste que 3 sommets encore libres, mais celui du bas n’est joignable à aucun des deux autres : le prochain joueur n’aura d’autre choix que joindre ces deux-là, créant alors un ultime sommet de degré 2, situé dans une autre composante que celui du bas, donc injoignable avec lui : celui qui est en train de tracer une croix sera perdant de ce jeu.

En joignant par l’extérieur le sommet à gauche et celui en bas, il crée un sommet de degré 2 qui est injoignable avec celui de l’intérieur, parce que justement l’un est à l’extérieur et l’autre à l’intérieur.