Une approche pour simuler des avalanches de neige

Des mathématiques en montagne

Piste verte 28 décembre 2011  - Ecrit par  Denys Dutykh, Céline Acary-Robert, Marguerite Gisclon Voir les commentaires (2)

Introduction

Les avalanches, les coulées de boues mais aussi les glissements de terrain sont des phénomènes naturels qui se produisent dans des régions montagneuses de façon récurrente. Ils sont bien connus et sont même considérés comme courants par les habitants des Alpes, de l’Himalaya ou encore des Montagnes Rocheuses. Ces évènements, qui ont pu se révéler meurtriers à plusieurs reprises, sont l’objet d’études motivées par les risques qu’ils induisent sur les habitants et les constructions. En effet, le développement de l’habitat et du tourisme en région montagneuse nécessite un niveau de sécurité suffisant. Des ouvrages dits paravalanches sont donc dimensionnés et positionnés dans les zones de déclenchement et se sont révélés efficaces, comme cela a pu être démontré dans les Alpes au cours de l’année 1999.

Qu’est ce qu’une avalanche de neige ? Une avalanche est une masse de neige et de glace se détachant brusquement des flancs d’une montagne, dont elle dévale la pente à grande vitesse en provoquant un déplacement brutal d’ air — le vent d’avalanche — et en entraînant avec elle de la terre, des rochers et des débris de toute nature.

Ce phénomène est dû aux transformations du manteau neigeux qui ne cesse d’évoluer, en montagne, sous l’effet de facteurs mécaniques et physiques où les conditions météorologiques exercent un rôle de premier plan : ainsi cette couverture de neige superpose des strates de consistances différentes, formant autant de couches plus ou moins stables les unes par rapport aux autres ; c’est de l’instabilité de ces couches, favorisée par les phases de redoux et de grand vent, que résultent les avalanches.

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Illustration d’avalanche de neige poudreuse (©Terra Nova).

Au cours de l’année 1999, plusieurs avalanches de neige ont franchi les barrages en béton ce qui a souligné la nécessité de continuer les recherches sur ces phénomènes. En effet, la physique de la formation de ces mouvements rapides de glissement de neige ainsi que la dynamique de leur écoulement le long de pentes plus ou moins fortes sont l’objet de recherche à l’heure actuelle. Les constructions d’ouvrage de prévention sont donc menées en parallèle avec des études mathématiques et physiques des phénomènes à proprement parler
 [1].

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Impact d’une avalanche sur une structure de protection.

Dans cet article, nous nous intéressons plus particulièrement aux avalanches de neige et leur modélisation. Ces dernières années, beaucoup de travaux ont concerné l’étude des avalanches de neige, leur formation et leur écoulement.
La complexité des phénomènes physiques considérés due aux différents paramètres qui régissent l’écoulement : les différentes causes de déclenchement, l’état de la neige [2], la topographie de la zone géographique, le frottement sur le sol avec l’influence de la diversité des rugosités du sol (sols herbeux, pierres ou rochers, forêts, etc ...), rendent les avalanches très difficiles à modéliser dans leur ensemble. De plus, cette complexité est renforcée par la grande variabilité de leurs caractéristiques sur un même site.

Etudes des avalanches : des approches diverses et variées

Les méthodologies employées pour réaliser ces études sont très diversifiées. Elles vont de l’étude in-situ grâce à la mise en place, par exemple, de sites de déclenchement artificiel, à l’étude physique de représentation à échelle réduite. Nous verrons également qu’une autre façon d’aborder le problème est la modélisation mathématique de ce type de phénomènes. Il s’agit alors plutôt d’écrire un système d’équations décrivant le comportement du phénomène au cours du temps.

Les sites de déclenchement artificiel sont équipés de capteurs de vitesse, de température et de pression le long du trajet supposé de l’avalanche (on peut citer par exemple le site du col du Lautaret, géré par le Cemagref de Grenoble (dont on peut voir la description complète ici)). L’avalanche est déclenchée grâce à un dispositif artificiel pour initier l’écoulement. Les capteurs enregistrent ensuite les données caractéristiques (température, vitesse, etc ...) qui sont ensuite traitées et exploitées. Même si elles constituent des jeux partiels, ces données permettent aux chercheurs d’avoir des indications sur des quantités physiques, sur des évènements de taille réelle. Ils ont par exemple accès aux vitesses atteintes par la neige au cours de l’écoulement ou encore à la hauteur du panache en plusieurs endroits. Ils ont ainsi établi que certains fronts d’avalanches se déplaçaient à des vitesses supérieures à 100 mètres par seconde.

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Situation des couloirs utilisés lors des tirs de déclenchement sur le site du Lautaret.

Une autre façon d’aborder ce type de phénomène est de construire une maquette à petite échelle d’une expérience d’écoulement d’un fluide le long d’un canal (comme de l’écoulement d’un fluide de densité plus importante dans de l’eau [3]. Il peut aussi s’agir de neige artificielle (ou d’un autre fluide) dans de l’air [4]. On peut de cette façon avoir accès à des quantités physiques comme la vitesse ou la pression. Il faut tout de même noter que les facteurs d’échelle sont très difficiles à respecter dans ce type d’expérience.
Des maquettes (ou modèles réduits) sont décrits sur la page de l’ANENA.

Voici par exemple deux images d’expériences de simulation d’avalanche poudreuse dites en bassin noyé réalisées au Cemagref de Grenoble. Il s’agit des particules solides dans de l’eau.

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Travaux de P. Beghin.
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Photo : Mikael Primus.

Et les mathématiques dans tout ça ? Une démarche a été de s’intéresser aux avalanches d’un point de vue statistique. Les chercheurs se sont intéressés à déterminer des lois statistiques dès lors qu’ils ont possédé un nombre suffisant de données. On peut citer les travaux pionniers de deux américains Bovis et Mears, au milieu des années 1970, qui ont proposé un premier modèle permettant de calculer la distance d’arrêt connaissant quelques caractéristiques de la topographie. La distance d’arrêt est la distance maximale parcourue par la neige lors de l’écoulement de l’avalanche. C’est une distance qui intéresse particulièrement les gens chargés de l’aménagement du territoire.

Enfin, la construction d’un modèle mathématique qui permet de faire de la prédiction, dont les paramètres sont éventuellement déterminés grâce à des expériences et la résolution numérique de ce modèle constituent une voie supplémentaire dans l’accès à la connaissance de ce type de phénomènes. Nous nous proposons ici de développer plus en détails cette approche.

Modélisation mathématique des avalanches de neige

Cette partie est largement inspirée de la revue historique et scientifique de l’étude des différents types d’avalanche dans le livre de C. Ancey [5].

Avalanches coulantes (ou denses)

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Photo d’une avalanche coulante (Mont-Dore, 2006).

Ces avalanches sont caractérisées par une faible élévation en hauteur et s’écoulent le long du relief. La variabilité de leurs caractéristiques géographiques et dynamiques demeure néanmoins très importante.
Les travaux de modélisation des avalanches denses sont nés avec les travaux de Mougin qui a développé le premier modèle d’avalanche en 1922, par analogie avec un bloc glissant sur une pente.

Ensuite, l’analogie entre l’écoulement d’une avalanche et un écoulement turbulent d’eau fut introduite dans les années 1950. Ces premiers modèles étaient simplifiés par rapport à un modèle d’écoulement de fluide complet. Certains éléments étaient méconnus et restent encore aujourd’hui l’objet de recherche comme par exemple la prise en compte du frottement des particules de neige contre le sol [6]. De plus, chaque type de fluide a une façon spéciale de s’écouler. Par exemple, l’huile ne coule pas le long d’une pente de la même façon que l’eau. Cette façon de se comporter s’appelle une loi de comportement. La neige peut prendre des formes très différentes (mouillées ou pas, en particules plus ou moins fines, en strates plus ou moins marquées) et donc adopte des lois de comportement très diverses qui sont encore loin d’être toutes connues. On peut citer à titre d’exemple les lois de comportement dites « à seuil » : la neige est a priori posée sur le sol et suite à une modification des forces appliquées (sous l’influence du vent par exemple), elle se met à s’écouler le long de la pente [7]. Ainsi, suivant la valeur des forces appliquées sur le manteau neigeux, on peut observer plusieurs comportements.
Cet aspect des choses souligne, la nécessité d’une collaboration entre mathématiciens et physiciens.

Avalanches en aérosol

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Illustration d’une avalanches de neige poudreuse (©Terra Nova)

Ces avalanches sont d’un type moins fréquent que les avalanches coulantes (ou denses) mais elles ne constituent pas un phénomène rare et ont une puissance destructrice non négligeable. Elles sont capables de parcourir de grandes distances à des vitesses très élevées et sont caractérisées par la présence d’un noyau dense entouré d’un nuage de particules en suspension, d’une densité beaucoup plus faible. Les premiers modèles d’avalanches en aérosol sont dûs à Kulikovskiy et Sveshnikova, complétés par Beghin (dans les années 1980). Dans ce premier modèle, l’aérosol est assimilé à un nuage de forme semi-elliptique dont le volume varie au cours du temps. Des équations de conservation régissent l’évolution du nuage au cours du temps comme par exemple la conservation de la masse ou du volume. Beghin a ensuite simplifié ce modèle en effectuant des comparaisons avec des expériences. Il faut noter que ce modèle, amélioré par la suite par Ancey, est toujours utilisé aujourd’hui.

On peut également citer une approche plus proche de la mécanique des solides, qui consiste à représenter les particules de neige comme un matériau granulaire en écoulement dans l’air, c’est à dire comme des grains de sable [8]. Comme on peut le voir sur l’image ci-dessous, des expériences ont été faites en remplaçant les particules de neige par des balles de ping-pong. L’écoulement des balles le long d’un tremplin reproduit le panache d’une avalanche !

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Ping-pong ball avalanche experiments. J. McElwaine. K. Nishimura.

Comme nous l’avons déjà évoqué, la modélisation des avalanches de neige s’est beaucoup inspirée des travaux qui ont été faits en mécanique des fluides, en particulier les modèles de fluides turbulents. Pour les avalanches en aérosol, cette approche consiste à prendre en compte le mouvement des particules de neige en suspension dans un écoulement turbulent [9].

Enfin, une voie pour représenter ce type d’écoulement de la neige est de considérer le mélange neige-air comme un fluide sous deux phases différentes : une phase liquide (la neige) et une phase gazeuse (l’air) [10].

Voici deux vidéos d’avalanche en aérosol. On peut voir sur les images la hauteur que peut atteindre le panache ainsi que la vitesse du front.

Dans la deuxième, le déclenchement est provoqué artificiellement par un tir de canon. On peut voir le temps que met l’avalanche à parcourir une distance pourtant assez importante.

Simulation numérique : qu’apporte l’ordinateur ?

La simulation numérique se base ici sur l’étude mathématique d’un système d’équations qui représente un phénomène physique. Le système d’équations a pu être établi grâce à une collaboration entre mathématiciens et physiciens ou par des physiciens directement. Ce modèle est ensuite traduit en programme informatique qui va permettre de réaliser des expériences numériques grâce à la résolution de ces équations. Cette résolution se fait sur une grille de points, c’est ce que l’on appelle une solution discrète (nous n’avons pas accès à la solution continue mais seulement aux points du maillage).

Ce système d’équations discrètes ne dépend pas directement de l’expérience choisie. Chaque expérience numérique est définie à partir des dimensions choisies et des caractéristiques de la neige. Il est donc généralement facile de calibrer de nouvelles expériences. Le système d’équations est ensuite résolu dans la configuration choisie. Cela donne accès à l’ensemble des valeurs des variables du système comme par exemple la vitesse, la pression du fluide, sa densité ou encore sa température et ce en tout point du maillage. Cela facilite l’accès à des variables qui sont parfois difficiles à mesurer dans la nature et ce sur un nombre de points bien plus important.
Malgré tout, la construction de ce type de programme nécessite des approximations et ne représente pas la réalité telle qu’on peut l’observer dans la nature. Il s’agit en fait d’une représentation.

Exemples de résultats numériques d’écoulement d’avalanche en aérosol

Dans ces expériences numériques, nous simulons une expérience de laboratoire, dans une boîte (fermée ou ouverte), à petite échelle (de l’ordre d’un ou deux mètres). Il s’agit de l’écoulement d’un fluide plus lourd (plus dense) dans un fluide plus léger (par exemple de l’eau salée dans de l’eau claire).
Pour ce type de mélange, nous avons un modèle qui est constitué principalement d’une équation de conservation de la masse au cours du temps et d’une équation de conservation de la quantité de mouvement c’est à dire qui contrôle la vitesse.

On se propose de détailler l’équation de conservation de la masse en expliquant les différents termes. On considère un petit volume de mélange eau salée/eau douce ou air/neige. Ce petit volume se déplace au cours du temps et échange de la matière avec les volumes voisins. La masse de ce volume change donc au cours du temps. L’équation de conservation de la masse contient donc un terme qui représente les variations par rapport au temps au moyen d’une dérivée. Ce volume élémentaire est transporté par le fluide environnant : ce transport induit est représenté par un terme spécifique qui dépend de la vitesse. Et enfin, les échanges de masses sont pris en compte par un terme qui représente la diffusion d’une espèce vers une autre [11]. Cette notion de diffusion avait aussi été abordée, sous un autre angle, dans un précédent billet.

Les équations de l’écoulement ont été discrétisées dans un domaine rectangulaire avec un dépôt initial de neige grâce au logiciel OpenFOAM. L’écoulement est représenté en 2 dimensions. Les simulations sont présentées horizontalement mais correspondent en réalité à une pente de 30%. On représente la densité aux différents points du maillage.
Dans la première vidéo, la boite est un domaine fermé, l’écoulement bute donc sur les parois lorsque celles-ci sont atteintes. On voit bien ci-dessous, le développement des instabilités à l’arrière du front.

Dans ce deuxième exemple, les parois sont ouvertes au dessus. Seule la paroi de droite est fermée représentant un obstacle à franchir. On peut voir le développement du front de l’avalanche ainsi que le développement d’instabilités à l’arrière du front.

Conclusions

Les avalanches de neige sont un phénomène naturel complexe par la nature même du processus et par la diversité de évènements rencontrés. Comme les régions montagneuses sont de plus en plus exploitées, ces évènements représentent un risque de plus en plus important pour la société.

Nous avons vu que l’étude de ces avalanches soulevait encore plusieurs questions, aussi bien d’un point de vue physique que théorique. Des éléments de réponse peuvent être apportés par la complémentarité de l’approche expérimentale d’une part, qui fournit l’accès à des quantités physiques et d’autre part de l’approche mathématique qui permet d’élaborer des théories et de proposer des modèles. La simulation numérique permet enfin une représentation qui permet de faire le lien avec les expériences physiques.

Nous avons ainsi mis en évidence que les approches physique/mathématiques et expérimentales/théoriques étaient indispensables pour mener à bien l’étude d’un phénomène aussi complexe.

Quelques références bibliographiques

Ancey, C., Bain, V., Bardou, E., Borrel, G., Burnet, R., Jarry, F., Kolbl, O., et al. (2006). Dynamique des avalanches. Presses polytechniques et universitaires romandes (Lausanne, Suisse).


Dutykh, D., Acary-Robert, C., & Bresch, D.
(2011). Mathematical modeling of powder-snow avalanche flows. Studies in Applied Mathematics, 127(1), 38—66.

Etienne, J., Saramito, P., & Hopfinger, E. J. (2004). Numerical simulations of dense clouds on steep slopes : application to powder-snow avalanches. Annals of Glaciology, 38, 379—383.

Mougin, P. (1922). Etudes glaciologiques : Les avalanches en Savoie, T. 4. (P. Ministère de l’Agriculture, Direction Générale des Eaux et Forêts, Service des Grandes Forces Hydrauliques, Ed.). Paris : Imprimerie Nationale.

Naaim, M. (1995). Numerical model of powder snow avalanche. Theoretical analysis and application. In ANENA (Ed.), Comptes Rendus « Les apports de la recherche scientifique à la securité neige, glace et avalanche » (p. 31—36). Chamonix.

Post-scriptum :

Nous remercions, pour leur relecture attentive, les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Raphaël, Jean-François Colonna, toufou, Marc JAMBON et en particulier Marcus Mildner. Merci à Jacques Istas pour nous avoir proposé d’écrire cet article. Nous adressons également nos très chaleureux remerciements à Paul Vigneaux pour sa relecture et ses conseils.

Article édité par Jacques Istas

Notes

[1On peut trouver beaucoup d’informations concernant l’étude des avalanches sur le site http://www.avalanches.fr

[2On peut par exemple citer la quantité de neige initiale, les différentes couches, etc

[3On peut citer les expériences d’Hopfinger et Tochon-Danguy dans les années 1970 pour les avalanches en aérosol

[4On peut citer les travaux de C. Ancey (EPFL)

[5Dynamique des Avalanches, , 2006. Voir la bibliographie à la fin de l’article.

[6On peut citer par exemple l’introduction de la loi de frottement de Coulomb dans les premiers modèles.

[7On peut citer la loi de Bingham pour les fluides à seuil.

[8Voir Nishimura et McElwaine, 2001

[9Voir Hermann et al. (1993), Sampl (1993) et Naaim (1995).

[10On peut citer ici les travaux de Etienne, Hopfinger et Saramito, 2004 ainsi que les travaux de Naaim sur le sujet.

[11L’équation est en fait exprimée en densité, notée $\rho$, U est le champ de vitesse en 3 dimensions, $\nu$ est le coefficient de diffusion (c’est une donnée du problème qui peut dépendre du temps et de l’espace ; ici $\nu$ est constant) et l’équation s’écrit alors : $\frac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho U)= 2\nu\Delta \rho$.

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Pour citer cet article :

Denys Dutykh, Céline Acary-Robert, Marguerite Gisclon — «Une approche pour simuler des avalanches de neige» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Méthode 3x3

    le 2 janvier 2012 à 18:19, par Jacques Istas

    Bonjour et merci pour cet article !

    Les études (empiriques) de Werner Munter semblent indiquer un seuil de déclenchement d’avalanches à 30 degrés. Y a-t-il un modèle qui rende compte de ce phénomène ?

    Jacques

    Répondre à ce message
  • Re : Méthode 3x3

    le 10 janvier 2012 à 10:27, par Denys Dutykh

    Merci pour votre commentaire. En effet, nous ne connaissons pas spécialement de tels travaux car on s’intéresse dans nos recherches plutôt à l’écoulement en phase de propagation et non pas au phénomène du déclenchement.

    Par contre, une avalanche se déclenche lorsqu’une perturbation quelconque (un skieur, par exemple) détruit l’état d’équilibre entre les forces de frottement et la pesanteur. Il se peut qu’en pratique cela arrive le plus souvent lorsque la pente est de l’ordre de 30 degrés. De toute façon, la détermination des coefficients de frottement et des conditions de neige est une question fortement empirique.

    Répondre à ce message

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