Une balade parmi les ensembles de Julia

Piste rouge 4 septembre 2016  - Ecrit par  Arnaud Chéritat Voir les commentaires (2)

Un lapin, un citron, un bouquet, des papillons, des hippocampes, des koalas, des éléphants, un citron, un batteur à œufs, un chou-fleur, une basilique, un tapis, un tamis, un aéroplane...

Mon domaine de recherche principal abonde de noms imagés. J’aimerais vous montrer quelques exemples.

La dynamique holomorphe est une branche des mathématiques un peu à part.
D’une part, c’est une sous-branche des systèmes dynamiques, domaine où l’on peut étudier le comportement à long terme des orbites des planètes par exemple. D’autre part, les systèmes que je regarde ne correspondent à rien de réel. Qu’est-ce qui motive alors l’énergie que mes collègues et moi y consacrons ? Les belles images de fractales peuvent nous avoir séduits : ce serait mentir que de cacher cela. Bien sûr, l’intérêt va bien au-delà : on peut faire de plus belles images avec d’autres algorithmes. Mais ce n’est pas l’objet de cet article au Café des Mathématiques alors revenons à nos...

... qu’avons-nous ?

En vrac : chou-fleur, lapin, éléphants, papillons, hippocampes, citron, dragons, monstre abyssal, aéroplane, koalas, Kokopelli, basilique, dendrites, batteur à œufs, bouquet, tapis, tamis, et plein d’autres...

Allez, je vous fais faire un petit tour, puis commenterai un peu les usages en mathématiques.

Le lapin de Douady.

Probablement le plus célèbre des ensembles de Julia. Il a sa page Wikipedia !

Les ensembles de Julia, je ne vais pas vous les définir ici. Demandez à un moteur de recherche, ou bien regardez par là. Sachez que derrière chacune de ces figures auto-similaires se trouve un système dynamique : on répète une même transformation du plan encore et encore et encore... et ça donne ces dessins-là.

Système dynamique : le lapin a même son film ! Appelé La dynamique du Lapin, produit par l’Atelier Écoutez Voir, réalisé en 1996 par François Tisseyre et Dan Sørensen, sur les instructions d’Adrien Douady. On y apprend par exemple que l’abdomen et les deux oreilles sont permutés entre eux.

Pour la petite histoire, Dan était un chercheur à l’époque, qui venait de passer sa thèse en dynamique holomorphe. C’est lui qui a écrit les programmes qui ont produit les images du film. François est un réalisateur qui a produit de nombreux courts-métrages scientifiques.

À droite, le Lapin de Douady gras. En anglais, Fat Douady rabbit. Adrien soulignait malicieusement l’ambiguïté de la dénomination : à qui s’applique l’adjectif ?

Cet ensemble de Julia fait partie d’une famille d’ensembles. En fait, on peut faire varier des paramètres dans la formule qui crée l’ensemble et on peut même changer la formule.

Ci-dessous, un applet vous permet de modifier légèrement le paramètre en bougeant la souris dans le cadre. Au centre l’originel. Amusez-vous à faire danser le lapin... Trouverez-vous le lapin gras ?

Le chef d’orchestre

La famille de transformations qui est en jeu porte le nom de famille quadratique.

Il faut d’abord choisir une quantité qu’on appelle le paramètre. Ensuite, pour transformer un point, on regarde sa coordonnée. On la multiplie par elle-même puis on lui ajoute le paramètre. Cela nous donne une nouvelle coordonnée : la position du point après transformation. Et on recommence la même transformation à partir de la nouvelle coordonnée. Et encore autant de fois qu’on veut, toujours avec le même paramètre... On dit qu’on itère la transformation, et la suite de points obtenue s’appelle l’orbite du point de départ.

Petit raffinement : la coordonnée est un nombre complexe, donc une paire [1] de nombre réels. Une paire de nombres c’est un point du plan. Le paramètre aussi est un nombre complexe.

L’ensemble de Julia est l’endroit où le système dynamique est chaotique. On le définit comme l’ensemble des points de départ P pour lesquels il y a dépendance sensible de l’orbite par rapport à P. La coordonnée de P est un nombre complexe, on peut donc représenter l’ensemble de Julia sur un plan.

Exprimé avec des notations mathématiques... (Cliquez pour déplier)

Le paramètre est notée $c\in\mathbb{C}$, et la coordonnée $z\in \mathbb{C}$.
La transformation s’écrit $z\mapsto f(z)=z^2+c$.
L’orbite de $z$ est définie par $z_0=z$ et $z_{n+1} = f(z_n)$.

Voici une définition (presque) précise de l’ensemble de Julia : on peut le définir comme le complémentaire* de l’ensemble de Fatou, lequel est l’ensemble sur lequel on peut assurer que la variation des points $z_n$ de l’orbite sera faible, uniformément**, pourvu qu’on autorise une variation du point de départ suffisamment faible. Petite complication : cette définition est la bonne pourvu qu’on utilise la distance sphérique de la sphère de Riemann et non pas la distance euclidienne du plan complexe...

* : complémentaire de X = les points qui ne sont pas dans X

** : uniformément = une borne commune pour tous les n

Le paramètre est un nombre complexe et peut donc être associé lui-aussi à un point du plan. Pour un précédent article, j’avais réalisé l’image ci-dessous.
Elle représente l’ensemble de Mandelbrot M, ainsi que douze ensembles de Julia et leurs paramètre correspondants de part et d’autre de douze segments (avec un éventuel point bleu sur le paramètre). À chaque point du plan correspond en effet un paramètre différent, donc un ensemble de Julia différent, et l’ensemble de Mandelbrot est une sorte de carte qui permet de s’y retrouver.
Les plus attentifs remarqueront par exemple que lorsque le point bleu est dans ou sur l’ensemble de Mandelbrot, l’ensemble de Julia correspondant est connexe (c’est-à-dire « d’un seul tenant ») et que ce n’est pas le cas lorsque le point bleu est à l’extérieur.
Pour plus de détails, je vous invite à consulter l’article d’où est tirée l’image.

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Le chef et son orchestre
À chaque point du plan, que ce point soit dans M ou pas, correspond un ensemble de Julia.

Il y a toute une ménagerie là-dedans.

Cela ne manque-t-il pas un peu de couleurs ? On peut faire de splendides images. On peut aussi choisir de réduire l’information et de ne représenter que l’ensemble de Julia. J’ai certainement été influencé par les planches en noir et blanc du livre The Beauty of Fractals par Peitgen et Richter. Le monochrome ne les dépare pas, et c’est peut-être même le contraire.

Au fait : l’adjectif quadratique vient de quadratus, nom latin du carré, dont le préfixe quadra signifie quatre. On pourra s’étonner d’avoir associé ce nombre au procédé. Je détricote ça ici.

Le chou-fleur, le batteur à œufs et les papillons

c = 0.25
c = 0.3
c = 0.25 + très peu


Douady voulait aussi faire un film sur un phénomène qu’il a découvert et qu’il a appelé l’implosion parabolique. C’était mon directeur de thèse et au début, j’ai occupé une partie de mon temps à écrire des programmes pour lui et François—un travail passionnant—jusqu’à ce qu’Adrien me dise de me concentrer sur ma recherche. Faute de temps, de financement, ou d’énergie, le film n’a pas vu le jour.

L’une des idées pour l’agrémenter consistait à prendre le contour d’un chameau [2] et à regarder ses images successives par la transformation, en avant et en arrière. Je montre ci-contre une variante du principe. Voyez-vous l’analogie avec un batteur à œufs ?

Un tamis, un tapis

Là, on a changé la formule. Si vous tenez à le savoir, c’est maintenant $z\mapsto z^n-c/z^d$. L’expert mondial de cette famille est Bob Devaney.

On obtient sur ces exemples des copies déformées de 2 fractales célèbres : le tamis de Sierpinski et le tapis de Sierpinski.

Un citron

Ci-dessus on a eu deux exemples de Julia de fractions rationnelles, alors qu’avant on avait des Julia de polynômes de degré 2 : $z^2+c$. Ci-dessous, on regarde une autre famille de polynômes : $z^3+cz^2$ et on dessine son chef d’orchestre, ou en termes techniques : son lieu de bifurcation. Je ne sais pas qui l’a baptisé citron.

A droite, un agrandissement. Sur le citron, poussent des petits Mandelbrots sur lesquels poussent des citrons sur lesquels... C’est un fractal, lui aussi.

Diatomées

Mickael Becker est un instituteur allemand. Il a trouvé de superbes spécimens parmi les ensembles de Julia des fonctions rationnelles.

Je ne crois pas qu’il les ait baptisés. Ne vous font-ils pas penser à ces photographies au microscope du phytoplancton et des diatomées ?

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Montage fait à partir d’images tirées du site de Michael Becker.

Je vous encourage à aller voir toutes ses images d’ensembles de Julia sur son site.

Je vous propose maintenant un petit assortiment... quadratique.

Basilique, hippocampes et dragons

Non, ce n’est pas une référence au basilic de la mythologie mais la basilique St Marc à Venise.



L’aéroplane et Kokopelli

Un monstre et un bouquet

Mettre une exponentielle dans la formule apporte de nouveaux traits :

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Le monstre abyssal

Celui-là, [3] j’ai décidé de l’appeler le monstre abyssal. Le suivant a été baptisé Bouquet de Cantor par Bob Devaney.

Commentaires

Quadratique. Quand on multiplie un nombre par lui-même, on dit qu’on le met au carré, car un carré de côté de longueur $=c$ a une aire valant $c \times c$. Or un carré possède quatre côtés. D’où le terme de quadratique, qui s’applique plus généralement à tout polynôme de degré 2 : $x\mapsto ax^2+bx+c$.
Le nom de famille quadratique est donc le résultat de choix terminologiques qui s’enchaînent naturellement et en toute bonne foi... Pour aboutir à cette situation malheureuse.

Et après ? Pour être honnête, quadratus signifie carré et non pas quatre. Mais quadra- est bien la racine latine qui signifie quatre et quart- celle qui signifie quatrième. Quand au cube, il s’appelle cubus et les polynônes de degré 3 sont dits cubiques. Et ceux de degré 4, quartiques. Maintenant comme un cube est constitué de 6 côtés, 8 sommets et 12 arrêtes, on a de la chance qu’il ne se soit pas appellée sexlateribus, octovertices ou duodeciflexiones en latin, car sinon en français l’équation de degré 3 serait sexlatique, octovertique ou duodéciflexe...

Douady était un mathématicien de premier plan. Grande culture et caractère original. Aussi féru de musique classique que de Boby Lapointe. Un goût pour la provocation. Donner des noms imagés en faisait-il partie ? Pas certain. La dynamique holomorphe s’y prête bien, nombreux sont les spécialistes qui ont fait pareil. Mandelbrot a donné son nom à la basilique, John. H. Hubbard à l’aéroplane, Milnor à Kokopelli, ...

Coup de maître. L’ensemble de Mandelbrot M contient des petites copies de lui-même. Elles sont reliées au corps principal par des filaments, l’un rentre dans leur point de rebroussement. Le long de ces filaments, on trouve des petites copies du chou-fleur implosé, au centre desquelles siègent de nouvelles copies de M. Avec des collègues, Adrien a découvert, expliqué et démontré ce phénomène. Ils ont intitulé l’article Baby Mandelbrot sets are born in cauliflowers. [4]

Humour. Il n’hésitait pas à introduire quelques lignes humoristiques dans ses articles. Un chapitre appelé Carrots for dessert dans un article sur le lapin et ses généralisations, ou encore dans l’introduction de sa thèse : « Soit
$X$ un espace analytique complexe.
Le but de ce travail est de munir son auteur du grade de docteur
ès-sciences mathématiques et l’ensemble $H(X)$ des sous-espaces analytiques compacts de $X$ d’une structure d’espace analytique.
[...] ». C’était pareil au quotidien. Il a dirigé ma thèse et m’a certainement beaucoup influencé, dans les maths et dans la vie.

Résistance. J’ai poursuivi la tradition des noms imagés, même si c’est avec moins de fécondité. J’ai aussi spontanément tenté quelques touches d’humour mais ce n’est jamais entré dans un article de revue de recherche à comité de lecture. J’ai d’ailleurs rencontré de la résistance. Bien que cela semble normal dans ce cadre, je m’interroge sur les raisons et les différences. Sommes-nous des gens sérieux ? Est-ce réellement manquer de sérieux ? Notre sujet est-il sérieux ? Doit-il l’être ? Les noms rigolos donnent-ils l’impression que l’on étudie des phénomènes anecdotiques et non pas profonds ? Leur abondance, que notre domaine verse dans la taxonomie et le particulier plutôt que la recherche de principes et de structures ?

Terminologie. Si l’on passe maintenant d’objets particuliers à des notions ou des classes d’objets, le choix d’une bonne terminologie devient plus important car il va influencer inconsciemment les interprétations. De plus une bonne dénomination va accélérer la compréhension et le partage, une mauvaise les entraver.
Il en est de même pour les notations. Il est des domaines où chaque spécialiste utilise ses propres notations et la communication ou la lecture d’articles en deviennent pénibles.
Dans les deux cas, un danger se situe quand une notation ou un nom existe dans une certaine situation et qu’elle est étendue ou adaptée à une situation plus générale ou analogue. Il en est des maths comme de tout langage, et l’étymologie regorge d’exemples du même style.

Des exemples ? Dépliez le bloc (la discussion y est un peu plus technique).

Courbes elliptiques. Les solutions d’une équation comme $x^3-x=y^2$ forment une paire de courbes dans le plan, appelée courbe elliptique (on lui adjoint un point à l’infini). Mais ce n’est pas une ellipse ! Si on prend la même équation mais avec pour inconnues des nombres complexes, alors les solutions forment une surface, appelée également courbe elliptique. Une surface complexe est autre chose : c’est un objet de dimension algébrique 2 sur les nombres complexes donc de dimension topologique 4. D’ailleurs topologiquement la courbe elliptique sur les nombres complexes est un tore. Il existe un modèle holomorphe : le quotient du plan des nombres complexes par le groupe engendré par deux translations non colinéaires. Cela s’appelle des tores complexes. D’une part, ce sont des cas particuliers de surfaces de Riemann, par définition des variétés complexes de dimension complexe 1. À ne surtout pas confondre avec les variétés Riemanniennes, définies par un tenseur métrique. Logiquement les variétés Riemanniennes de dimension (réelle) 2 devraient être appelées surfaces Riemanniennes mais je ne l’ai jamais lu ou entendu dire. Pourtant on parle bien de surfaces topologiques comme cas particuliers de variétés topologiques. D’autre part il existe des objets géométriques sur les nombres complexes appelés variétés toriques mais les tores complexes n’en sont pas. Par extension, les tores complexes sont parfois eux aussi appelés courbes elliptiques. Quand au lien avec les ellipses, il est très lointain, je cite Wikipédia : « Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales elliptiques, elles-mêmes appelées ainsi car elles servent en particulier à calculer la longueur d’arcs d’ellipses. »

Belle transition : ellipse, hyperbole, hyperbolique. En maths avancées, on emploie l’adjectif hyperbolique à toutes les sauces. J’en connais au moins cinq sens très différents et des tas de micro-variantes et suis certain qu’il y en a beaucoup plus. Bien sûr, toutes ces notions ont soit une chose en commun soit une chaîne d’analogies claires qui les relie.

Notations. Un bon choix de notation est extrêmement puissant car il va permettre une plus grande efficacité de calcul ou de réflexion et diminuer les erreurs. En ce sens, cette tradition que l’on a de travailler avec π plutôt que son double est une anomalie. Ou le fait de noter la composition à l’envers de l’ordre de lecture : $f\circ g$ désigne $g$ suivi de $f$. C’était logique : on voulait pouvoir écrire $f\circ g(x)=f(g(x))$. Au final l’origine est là : on écrit $f(x)$, autrement dit « j’applique $f$ à $x$ » mais on aurait pu dire « je prends $x$, je lui applique $f$ » et inventer une notation correspondante. À nous de pagayer maintenant.

Pour aller plus loin

Pour les anglophones, voici des liens qu’on ma envoyés récemment. Cela ne signifie pas forcément que j’ai lu.

  • Un Wikibook décrivant plusieurs algorithmes de tracé des ensembles de Julia.
  • Un autre avec des images de grande qualité. J’ai repéré des erreurs dans une partie du texte mais c’est quand même intéressant et bien écrit.
  • Une collection de textes par Evgeny Demidov.
Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’Images des Maths remercient Sébastien Perrono pour sa relecture très attentive, ainsi que Nicolas Bedaride et Sébastien Kernivinen.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1En langage académique, je ne dois pas dire paire mais couple, sinon je désigne un ensemble non ordonné.

[2Probablement en référence à l’expression « faire passer un chameau par le chas d’une aiguille ».

[3Ce n’est pas à proprement parler l’ensemble de Julia : j’ai ici dessiné un domaine de rotation sauvage en blanc et son complémentaire en bleu. Le centre de rotation est en rouge et des trajectoires sont indiquées en marron. À la base ce n’est pas pour faire joli mais pour obtenir des informations. Le choix de couleur prix au hasard m’a évoqué un nautile. J’ai ensuite ajusté un peu les couleurs et voilà.

[4Les bébés Mandelbrot naissent dans des chou-fleurs, co-écrit avec Xavier Buff, Bob Devaney et Pierrette Sentenac.

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Pour citer cet article :

Arnaud Chéritat — «Une balade parmi les ensembles de Julia» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Photo de gazon : domaine public.
Montage : A. Chéritat
Le chef et son orchestre - A. Chéritat
img_16033 - Michael Becker
img_16043 - Arnaud Chéritat
img_16044 - Arnaud Chéritat
img_16045 - Arnaud Chéritat

Commentaire sur l'article

  • Petit bug dans l’applet

    le 27 septembre à 15:37, par Marc Monticelli

    Bonjour
    il semble avoir un petit bug dans l’applet. Appel de ’sqrt’ au lieu de ’Math.sqrt’ ?
    Amicalement

    Répondre à ce message
    • Petit bug dans l’applet

      le 27 septembre à 19:24, par Marc Monticelli

      Ca marche ! meme config mais ordinateur différent.
      Très jolie.

      Répondre à ce message

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