Une dent entraîne une dent !

Piste bleue 25 novembre 2011  - Ecrit par  Pierre Gallais Voir les commentaires
Ensuite il suffit d’égrainer... et cela engrène !

Au lycée technique, en classe de technologie, on nous avait appris « qu’une dent entraîne une dent ».
Quoi de plus élémentaire. Mais par déduction on aboutit à des systèmes d’une complexité étonnante.

En premier, comme exemple, bien que ce ne soit pas celui qu’on nous avait enseigné et qui n’est pas celui auquel on pense usuellement, cela permet de concevoir une machine à compter, additionner, soustraire et multiplier. C’est une anecdote mais elle vous fera sourire.

Nous étions en classe de première. Le professeur de français nous apprit, alors que nous étudions Blaise Pascal, que celui-ci avait inventé une machine à calculer pour aider son père, intendant ou collecteur d’impôts, alors qu’il n’avait pas 16 ans [1] Il se trouvait que dans quelques semaines j’allais atteindre cet âge. Il n’y avait pas de temps à perdre, si je ne voulais pas être à la traîne. Bien entendu, interne, sans communication avec quelque bibliothèque que ce soit, je ne pouvais imaginer comment Pascal avait réglé son affaire. C’est là que me vint l’idée « une dent entraîne une dent ». Je ne me lancerai pas, ici, dans l’explication. Ce serait un peu long, mais retenons que je concevais une machine avec engrenages et que cela permettait de réaliser addition, soustraction, et même multiplication. Je m’étais fait la remarque que la soustraction n’est qu’une addition avec un engrenage intermédiaire qui fait tourner le résultat à l’envers... donc soustrait et qu’une multiplication n’est qu’une répétition d’additions.

En étude je concevais tous les systèmes pour que ça fonctionne et, entre autre, le délicat système de la retenue... Une histoire de cliquet lorsque qu’on franchit la dizaine, centaine. Je n’avais pas réalisé les plans... cela aurait été long mais je l’envisageai. De retour le samedi soir à la maison je me mis, au grand dam de ma mère, à démonter sa machine à calculer (elle tenait un commerce et avait acheté une machine à calculer à manivelle). O rage ! ô désespoir ! mais aussi quelle satisfaction… elle était faite comme celle que j’avais conçu. J’en suis resté là.

Pascaline

Donc, une dent entraîne une dent : si une grande roue dentée à N dents entraîne une petite roue dentée à n dents, puisqu’une dent entraîne une dent, lorsque la grande roue fait k tours, la petite roue fait K tours, de façon que k.N = K.n

Formule arithmétique élémentaire mais dont découle, lorsque l’imagination s’en mêle, aussi bien les boîtes de vitesses, les horloges, que les différentiels et autres trains épicycloïdaux.

Différentiel et train épicycloïdal sont, parmi ces systèmes, ceux qui me réjouirent le plus. Le vocabulaire en premier. On y trouve des engrenages appelés satellites. A l’époque où je me trouvais au lycée, on n’avait pas encore marché sur la lune et l’évocation de satellites faisait rêver. Les satellites décrivent des épicycloïdes autour ou à l’intérieur de la grande roue motrice appelée planétaire. En mathématique je n’avais pas encore abordé ce genre de courbes nommées épicycloïdes. C’est plus une évocation à l’astronomie qui me faisait rêver.

Trains d'engrenages

Le différentiel est un système élémentaire mais il fallait y songer. [2]

Lorsque les efforts sont égaux sur chacun des deux axes (demi-arbre de roue) reliés aux planétaires, le satellite est immobile (par rapport à l’étrier ou cage… voir ci-dessus) sans mouvement de rotation autour de son axe propre. Dès que les efforts (couples) sont différents sur chacun des demi-arbres de roues… les efforts sur le satellite sont différents « à gauche et à droite », produisant un couple qui met en rotation le satellite autour de son axe. Comme une dent entraîne une dent, le satellite entraîne le planétaire de gauche dans un sens et celui de droite dans l’autre.

En vous appuyant sur le schéma, essayez mentalement de bloquer d’une main l’arbre de commande et de l’autre faire tourner le demi-arbre de roue de droite... C’est ainsi que vous avez peut-être pu constater - lorsque vous mettez votre voiture sur cric - qu’en faisant tourner une roue dans un sens, l’autre tourne dans le sens opposé puisque l’arbre moteur (celui de commande sur le schéma) est bloqué. Ou bien lorsque vous vous enlisez, une roue au sec, l’autre dans la boue : une roue patine et l’autre est immobile. Dans ce cas, c’est le demi-arbre de roue (gauche par exemple... la roue au sec) qui est bloqué et l’arbre de commande (le moteur) qui tourne. [3]

Nous venons de prendre le problème à l’envers… nous sommes partis des roues. Lorsque nous voulons comprendre pourquoi on avance et que l’on réussit à virer, il faut partir du moteur. Je vous renvoie au schéma du différentiel.

L’arbre de commande venant du moteur ou de la boîte de vitesses entraîne l’étrier sur lequel les deux satellites sont solidaires. Si les efforts sur les deux roues sont égaux, l’étrier tourne autour de son axe, entraînant les satellites qui demeurent immobiles en rotation autour de leur axe propre. Les deux roues tournent à la même vitesse de rotation, qui est celle de l’étrier. Lorsque les efforts sont différents sur chacune des roues, les satellites ont un double mouvement, celui de rotation de l’étrier et celui de rotation autour de leur axe propre. Leur rotation autour de leur axe propre entraîne une différence de vitesse de rotation des axes de roues ; de manière que la somme de ces deux vitesses soit égale au double de celle de l’étrier ! Si les deux roues bloquaient… vous passeriez « cul par dessus tête » puisque l’étrier continuerait à tourner. Heureusement, il y a les amortisseurs qui absorbent le coup et que le moteur cale, en général… mais ce n’est pas toujours le cas.

Attention ! Lorsqu’une voiture vire, le chemin est plus court d’un côté que de l’autre (les vitesses sont différentes) alors qu’au niveau du différentiel ce sont les efforts qui interviennent. Ceci met en jeu une histoire de réciprocité entre vitesse et effort... qui n’est pas toujours applicable... Attention au dérapage... lorsque l’adhérence n’est pas suffisante pour encaisser les différences d’efforts au niveau du contact pneu-sol.

Pour ce qui est du dérailleur interne au moyeu de bicyclette nous avons affaire à une véritable boîte de vitesses avec train épicycloïdal. Un véritable bijou à l’intérieur du moyeu.

Observez l’image ci-dessous.

Train épicycloïdal du moyeu de bicyclette

Le pignon central P (rayon p) est celui que vous mettez en rotation en pédalant. C’est le planétaire intérieur. Les deux pignons s (rayon s) sont les satellites solidaires de votre roue ou moyeu R. La couronne extérieure C (rayon c) est un second planétaire. Celui-ci est immobile (en rotation), solidaire de l’axe qui est vissé sur le cadre du vélo.

Lorsque vous pédalez, vous mettez en rotation le pignon P, cela entraîne les satellites s qui s’appuient également sur la couronne C. Comme C est immobile, cela entraîne une rotation de la roue R.
Quel est le rapport entre la vitesse de rotation Wp et celle de la roue Wr ?

L’engrenage correspond à un roulement sans glissement des cercles aux points de contacts. On peut, empiriquement et de façon imaginaire, décomposer le mouvement de la façon suivante :

1/ On considère que le satellite s est fixe (sauf en rotation autour de son axe) et sa rotation entraîne par friction la rotation simultanée de P et C.

2/ Ensuite on vient remettre en place la couronne C (puisqu’en réalité elle est immobile), en considérant qu’alors les satellites ne tournent plus (autour de leur axe propre). Ce déplacement entraîne le moyeu R. Dans ce mouvement qui est une rotation autour de l’axe de la roue, comme le satellite est, par friction, en liaison avec P, cela entraîne une rotation supplémentaire de P autour de son axe.

En 1/, s tourne d’un angle â. Comme il y a roulement sans glissement, au niveau de C cela entraîne une rotation d’angle Wr, telle que â . s = Wr . c et, au niveau de P, une rotation w’p telle que â . s = w’p . p

â . s = Wr . c = w’p . p

En 2/ , R tourne d’un angle Wr, ce qui entraîne une rotation supplémentaire w"p de P, égale à Wr, puisque le satellite s est immobile (pas de rotation autour de son axe propre).
L’angle Wp est la somme des deux angles w’p et w"p .

Remarquons que c = p + 2s.
Donc Wp = (Wr . c) / p + Wr = Wr . 2( p + s) / p

Le rapport des vitesses est donc entre la roue et le pignon

Wr / Wp = p / 2(p + s)

Si s = 2 p, le rapport est 1 / 6 ; si s = p, le rapport est de 1 / 4 ; si s = p/2, le rapport est de 1 / 3. [4]

Dans notre exemple nous n’avons introduit qu’une série P et s mais comme dans les boîtes de vitesses on peut introduire plusieurs couples (P,s) et ainsi avoir plusieurs rapports. Il suffit, comme dans les boîtes de vitesse, de déplacer les pignons qui s’engrènent. C’est avec la manette au guidon que l’on agit, en tirant le câble qui déplace les pignons dans le moyeu.
On comprend pourquoi le vendeur [5] fut perplexe et incapable de répondre à la question « comment ça marche ? » !

Il existe des moyeux permettant jusqu’à 14 rapports de vitesses ; commercialisés par la marque Rohloff dont l’image ci-dessous vous en présente l’éclaté. Lorsque je disais « un petit bijou », je ne pense pas exagérer... Ce n’est pas de l’horlogerie, mais toutes les fonctions d’une vraie boîte de vitesse, comme dans les voitures, ramassées dans le petit volume du moyeu. Il existe même un tel système qui permet de toujours pédaler à la même vitesse et qui ajuste le rapport en fonction de l’effort ou couple exercé sur la roue... une véritable boîte automatique. Je n’ai pas connaissance de boîtes de vitesses de voiture utilisant les trains épicycloïdaux, ce sont des trains ordinaires sans planétaires ni satellites. Sauf pour les boîtes automatiques.

Eclaté du moyeu « Rohloff »

Ceci étant dit, nous pouvons embrayer sur les engrenages qui s’appuient sur les développantes de cercles.

Observez la petite animation ci-dessous.

Vous remarquez que l’effort (la flèche) suit la tangente intérieure aux deux cercles (creux des dents), demeure toujours perpendiculaire au plan tangent commun aux deux courbes en contact (les dents des deux engrenages) et passe par le point de contact des deux cercles primitifs (ceux correspondant au roulement sans glissement des deux cylindres) . Il faudrait revenir sur la définition et les propriétés de la développante de cercle.
Le profil de dent en développante de cercle n’est pas la seule solution. C’est un problème de surfaces conjuguées, c’est-à-dire qui restent toujours tangentes lors de la rotation des deux cylindres qui roulent l’un sur l’autre . Un problème mathématique et cinématique assez délicat. Plutôt que de m’y aventurer je vous envoie ici où c’est assez bien développé.
Je comprends pourquoi, lorsqu’au lycée on nous avait parachuté, comme une leçon à apprendre par cœur, que les dentures étaient des développantes de cercles (sans savoir encore ce que cela pouvait bien être puisque je les découvrirais deux ou trois années plus tard) et que c’était dû au fait qu’elles permettent le roulement sans glissement !!! ???… j’étais resté interrogatif. Je me demande même si le professeur était parfaitement au fait... et je le comprendrais.

Pour illustrer le fait qu’il y a d’autre formes possibles (engrenages paradoxaux) que celles auxquelles nous sommes accoutumés, je vous envoie . Vous pourrez consulter les vidéos associées. L’imagination est au pouvoir :-).

Les engrenages droits avaient l’inconvénient de faire assez de bruit. C’est une raison pour laquelle on introduisit des engrenages hélicoïdaux. La dent, au lieu d’être sur la génératrice du cylindre est portée par une hélice tracée sur le cylindre. Ceci permet une durée de contact plus longue de la dent motrice avec la dent réceptrice, un entraînement progressif et même le contact de deux paires... ce qui, lorsqu’il y a usure, élimine le petit jeu qui entraîne du bruit (passage à vide et à-coup à la prise de contact) L’inconvénient est que cela fait apparaître un effort axial. Pour annuler cet effort il suffit de faire une double hélice ; nous obtenons l’engrenage à chevron développé par André Citroën et qui nous vaut le logo de la marque Citroën.

Engrenages hélicoïdaux

Jusqu’à présent les axes des deux engrenages (moteur et récepteur) étaient parallèles. Lorsque nous voulons transmettre le mouvement dans des directions formant un certain angle, nous pouvons faire appel aux engrenages hélicoïdaux (axes des cylindres non concourants) ou bien aux engrenages coniques (axes concourants).

Ceci pourrait sembler entrer trop dans la technologie, mais, pour qui est sensible aux formes, objets soutenus par de la mathématique, il y a là l’occasion de beaucoup de satisfactions.

L’importance est le roulement sans glissement de deux surfaces l’une sur l’autre. Les engrenages pourraient-ils introduire ou illustrer la notion de « transport parallèle » et « connexion » rencontrés en géométrie différentielle. Pour cela je vous invite à emprunter les « itinéraires bis »... Ah ! le vocabulaire... qui nous feraient visiter au passage les surfaces développables.

Deux cônes ayant même sommet sont deux surfaces développables qui peuvent rouler sans glissement l’une sur l’autre le long de la génératrice de contact.

Observez l’image... et j’en resterai là... à suivre, peut-être !

Enfin, pour le plaisir, ne manquez pas de rendre visite au site suivant. Attention où vous mettrez les doigts ! Il y a des engrenages partout :-).

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Félix Kwok,
Vincent Franjou,
goulu et
Aurélien Sagnier.

Article édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1en consultant le site indiqué je m’aperçois qu’il est indiqué 19 ans au lieu des 16 dont... et pour cause... je me souviens bien. Qui dit juste ? Du professeur ou de Wikipédia ? Peu importe ici, en l’occurrence. Il faudrait mener l’enquête.

[2Un article écrit par Etienne Ghys et Aurélien Alvarez est déjà paru traitant du différentiel.

[3Certains véhicules tout-terrain sont équipés d’un système, appelé crabot, qui permet de bloquer le différentiel pour répondre à ce genre de problème.

[4Je remarque que nous avons là un réducteur (la roue tournera toujours moins vite que le pignon) alors que dans le cas du vélo... la roue tourne en général plus vite que le pignon. Je vous laisse imaginer comment transformer le schéma : P devient R et R devient P... voir comment modifier les éléments correspondants.

[5voir l’article précité.

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Pour citer cet article :

Pierre Gallais — «Une dent entraîne une dent !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Crédits image :

Pascaline - http://www.tcf.ua.edu/AZ/ITHistoryOutline.htm
Trains d’engrenages - livre « Technologie générale et de construction » auteurs : J.Duroux, R.Faucard
Train épicycloïdal du moyeu de bicyclette - Schéma personnel
Eclaté du moyeu « Rohloff » - http://fr.wikipédia.org/wiki/rohloff
Engrenages hélicoïdaux - http://wikipédia.org/wiki/André_Citroën

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