Une échelle pour que vive la géométrie

Le 25 novembre 2010  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

Des personnes aux intérêts variés pourront trouver un peu de bonheur grâce à un pavé jeté par Marcel Berger dans la mare de ceux qui pensent qu’à l’âge où les ordinateurs aident à faire de belles images, il n’est plus nécessaire d’enseigner la géométrie.

Au milieu de la dernière décennie du siècle passé,
en flânant un jour dans Paris, je suis entré dans une épicerie
plutôt sombre, à l’aspect suranné. Cela ressemblait
plus à un musée sans ressources qu’à un magasin se proposant
d’allécher ses clients : les murs étaient couverts de jolies boites
d’antan, hélas poussiéreuses, serrées les unes contre les autres.
Au fond de ce musée, dans la pénombre,
se trouvait le vendeur, absorbé visiblement par quelque chose
d’important. En fait tellement absorbé que j’ai été vivement
intrigué, et que je me suis approché pour voir ce qu’il faisait.

Quelle ne fut pas ma surprise en découvrant qu’il étudiait, crayon
à la main, un livre contenant des formules compliquées !
J’ai osé le distraire de sa concentration,
en lui demandant ce qui le captivait tellement.
« Oh, un livre de physique... je veux juste comprendre pourquoi la
lumière et l’électricité, c’est la même chose ». Et il me montra
la couverture du livre : il s’agissait de l’un des tomes du fameux
cours de physique de Richard Feynman.

Je bavardai un peu avec lui, et
j’appris qu’il n’avait plus suivi de cours scientifiques depuis le lycée, mais
que certaines grandes découvertes le fascinaient, et qu’il essayait
de les comprendre, lentement, à son rythme. Mené visiblement
par une curiosité que tout enseignant rêverait de voir chez ses
élèves.

En repassant par là-bas quelques années plus tard, je n’ai plus
trouvé l’épicerie. Peut-être avait-elle fait faillite, car porté par
le souci d’augmenter ses lumières, l’épicier avait oublié de mettre en
lumière ses produits, et n’eut plus finalement de quoi payer
l’électricité.

Depuis, je me suis toujours demandé quels textes
mathématiques pouvaient aussi tenir en haleine des gens
qui n’avaient plus suivi des cours de science depuis le lycée, sans être
des recueils d’énigmes, mais en allant au cœur des grands
problèmes de recherche. À l’époque j’en connaissais un :
« Geometry and the Imagination », de David Hilbert et
Stephan Cohn-Vossen,
paru en 1932 en allemand [1].
Un fabuleux voyage intuitif
dans le pays de la géométrie, se voulant une présentation
de certains de ses plus beaux objets, et de ses principaux
domaines de recherche.


Et voici que
Marcel Berger
publia en 2009 aux éditions Cassini un pavé de
973 pages [2], intitulé « Géométrie vivante ou
L’échelle de Jacob
 », qui se veut un continuateur de l’esprit
du livre de Hilbert et Cohn-Vossen. L’auteur
essaye de décrire cet esprit dès l’introduction :

Il semble que la géométrie soit apparue pour beaucoup
d’une importance toute relative dans l’ensemble des
mathématiques. La réalité est tout autre : le langage de la
géométrie, les métaphores géométriques, ont investi par le
biais des mathématiques modernes l’ensemble des
mathématiques. [...]

Pour Alain Connes, « un géomètre
est [quelqu’un] qui a suffisamment
de vision pour pouvoir créer suffisamment d’images mentales qui
lui permettront de traiter des problèmes de mathématiques variés ».
Car « le difficile, l’essentiel, en mathématiques, c’est de créer assez
d’images mentales pour que le cerveau puisse fonctionner ».

[...] nous suivons la démarche inaugurée par le livre absolument
remarquable de Hilbert et Cohn-Vossen [...], qui remplissait ce besoin
d’une culture géométrique à la fois moderne et facilement abordable.
Ce livre, dont nous espérons avoir été dignes, demandait un analogue
actuel. Cela n’a pu être possible qu’au prix d’un gros accroissement
de dimension, vu la croissance exponentielle des résultats mathématiques
[...].

Toujours dans l’introduction, nous lisons l’explication suivante du titre de l’ouvrage (les termes en caractères gras ont été soulignés par moi) :

De nombreux problèmes de géométrie, d’apparence simple, que
l’on peut présenter de façon très intuitive, ont en commun une ou
plusieurs des propriétés suivantes :

  • il sont toujours non résolus, ou ils n’ont été résolus que récemment,
    après des efforts considérables ;
  • pour être bien compris (et éventuellement résolus en tout ou partie),
    ils ont nécessité la création de concepts et d’outils d’un degré d’abstraction
    variable, mais bien supérieur à celui de leur énoncé ;
  • les outils mathématiques utilisés pour les résoudre ont été conçus dans
    de tout autres buts.

Dans cet ouvrage, nous présentons toute une série de problèmes de
cette nature, en montrant pourquoi des notions abstraites nouvelles ont
été nécessaires pour les résoudre, et comment elles interviennent
successivement dans la solution. Ce sont ces notions conceptuelles
construites chacune « au-dessus » de la précédente et permettant de
s’élever dans l’abstraction, qu’illustre, avec ses barreaux, l’image de
l’échelle de Jacob [3]. [...]

Nous n’omettons pas de mentionner les problèmes toujours ouverts,
« ouverture » qui peut paraître étonnante a priori, mais qui l’est moins
quand on comprend la somme d’efforts et de progrès conceptuels
qu’il a fallu pour résoudre des problèmes similaires. Ces problèmes
classiques font l’objet de recherches toujours actives, en même temps
que l’avancée des mathématiques en suggère constamment de
nouveaux. Ainsi, la géométrie élémentaire se trouve-t-elle
toujours bien vivante, au cœur des travaux de nombreux
mathématiciens contemporains.

Afin d’illustrer la manière dont Berger grimpe à l’échelle de Jacob,
je choisis les fragments suivants de la section II.6, présentant le
« résultat de
géométrie de l’espace ordinaire qui l’a le plus marqué dans sa vie avec,
pour dire vrai, le théorème de Poncelet sur les coniques
 » :

Il s’agit
des cercles dits de Villarceau [...]. On considère un tore de révolution
et on le coupe par des plans bitangents à l’intérieur : l’ahurissant est
que la section se compose toujours de deux cercles. [...] ces cercles
« exotiques » sont des loxodromies du tore, ils coupent les méridiens
selon un angle constant, le double de leur angle à leurs points de
rencontre. Quitte à être très personnel, votre auteur, alors âgé de
seize ans, fut tellement abasourdi qu’il tint absolument à scier un
anneau en bois pour vérifier le théorème. [...] Puis, en classe
préparatoire, il apprit la démonstration éclair et profonde que voici.
Le tore contient l’ombilicale [...] comme ligne double, mais un plan
bitangent le coupe suivant une courbe qui a deux points doubles (aux
points de contact). D’où finalement pour cette courbe section quatre
points doubles ; mais comme elle est de degré quatre, elle est décomposée
en deux coniques [...], qui sont donc des cercles.

Bien sûr, les pages qui précèdent cet extrait expliquent ce qu’est
l’ombilicale, pendant une grimpée à l’échelle de Jacob ayant comme but
de mieux nous faire comprendre le monde des cercles. Et cela, comme
partout ailleurs, illustré à profusion.

Ce va-et-vient le long de l’échelle se reflète aussi dans le contenu de
l’index. En effet, on y découvre des objets ou des
êtres concrets : des abrasifs, des balles de golf, des dominos, des engrenages, des fakirs, des galets, des kayaks, des lampions, des pandas, des saucisses, des tambours ou des voiles. Ainsi que des êtres mathématiques qui les éclairent de plus haut sur l’échelle : des anti-caustiques, des brachistochrones, des cyclides, des formes modulaires, des matroïdes, des octonions, des ombilics, des patchworks, des réseaux isospectraux, des séries de Fourier, des voisinages tubulaires ou des zonotopes.


Il y a des choses à déguster dans ce pavé pour tous les amoureux de
géométrie :

  • Les artistes pourront se laisser séduire par les innombrables
    illustrations — quasiment une par page !
  • Les lycéens et les étudiants découvriront une ample vue des
    mathématiques, et cela leur donnera peut-être
    envie de faire plus tard de la recherche. Et pourquoi pas de
    résoudre l’une des nombreuses questions ouvertes qui jalonnent
    le livre ?
  • Les enseignants s’y ressourceront, ou trouveront des idées pour
    illustrer leurs cours.
  • Les chercheurs auront la joie de pouvoir se promener dans un paysage bien
    plus vaste que celui de leur spécialité.

Mais s’y promener serait aussi des plus utiles pour tous les décideurs
qui pensent qu’à présent, le développement de l’imagerie informatique
rend inutile l’enseignement de la géométrie.

Quant aux épiciers, je leur déconseille en fait ce livre : tout
comme pour les cours de Feynman, y entrer menacerait fortement leur commerce !

Post-scriptum :

Je tiens à remercier André Bellaiche, qui m’a fait découvrir ce livre en avant-première, en me proposant d’être relecteur de l’un de ses chapitres.

Notes

[1Le titre original est « Anschauliche Geometrie ». La traduction anglaise date de 1952.

[2Et 1503 grammes !

[3Voici les extraits de la Bible qui se trouvent en exergue de l’Introduction : « Jacob eut un songe : et voici, une échelle était posée sur le sol et son sommet touchait au ciel, et voici, sur elle des anges de Dieu montaient et descendaient, et au haut se tenait Yahvé » (Genèse, 28.12, 28.13). « Jacob s’éveilla de son songe et dit : “En vérité, Yahvé est en ce lieu et je ne le savais pas”... Levé de bon matin, il prit la pierre qui lui avait servi de chevet, il la dressa comme une stèle et répandit de l’huile sur son sommet » (Genèse, 28.16, 28.18).

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Une échelle pour que vive la géométrie» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Crédits image :

Image à la une - Le logo provient de la page des Éditions Cassini.

Commentaire sur l'article

  • Références

    le 28 novembre 2010 à 18:47, par Rémi Peyre

    Je me permets de citer les références de ce livre, l’auteur ayant omis de le faire.

    Je note au passage que le prix est très élevé (quoique cette affirmation mérite d’être tempérée au regard du nombre de pages). J’apprécierais pour ma part que l’auteur nous donne un avis plus précis sur le public auquel s’adresse ce livre : « aux intérêts très variés », soit, mais quel est, d’un part le niveau de technicité requis, d’autre part le niveau de culture mathématique à partir duquel l’ouvrage sera pour l’essentiel du déjà-vu ?

    Les références :
    Géométrie vivante ou L’échelle de Jacob [Broché]
    Marcel Berger (Auteur)
    Prix conseillé : EUR 70,00
    * Broché : 974 pages
    * Editeur : Cassini (15 septembre 2009)
    * Collection : Nouvelle Bibliothèque Mathématique
    * Langue : Français
    * ISBN-10 : 2842250354
    * ISBN-13 : 978-2842250355

    Répondre à ce message
    • Précisions sur le public

      le 28 novembre 2010 à 21:14, par Patrick Popescu-Pampu

      Bonjour,

      Et merci pour les références éditoriales précises, qui seront, j’en suis
      sûr, utiles à certains lecteurs. J’avais juste placé un lien vers la page de
      la maison d’édition, sur laquelle la couverture du livre est facilement visible.

      Quant aux lecteurs potentiels, j’avais cru en dire suffisamment à la fin de
      mon article. Mais pour répondre à votre question, le niveau de technicité
      requis pour comprendre TOUTES les explications et TOUTES les preuves
      esquissées est au moins celui d’un thésard en géométrie. Par contre,
      les ÉNONCÉS de quasiment tous les théorèmes sont compréhensibles
      par toute personne ayant appris les maths du lycée. Car le livre ressemble,
      disons, à un ouvrage illustré sur l’architecture, que l’on peut apprécier sans
      avoir suivi des études d’architecture.

      Je pense que l’ouvrage sera « pour l’essentiel du déjà vu » pour très peu de
      personnes. Car, même si on comprend les objets, les histoires racontées à
      leur sujet sont très rapidement insolites pendant la grimpée à l’échelle.

      Je vais donner juste un exemple. En partant du théorème affirmant que
      si un ensemble fini de points dans le plan réel vérifie le fait que chaque
      droite joignant deux d’entre eux passe par un troisième, alors ils sont
      tous alignés (répondant à une question de Sylvester), et du fait que ceci
      est faux dans le plan complexe (comme le montre l’ensemble des 9 points
      d’inflexion d’une cubique lisse), on apprend qu’un ensemble fini de points
      vérifiant cette propriété dans un espace projectif complexe est
      nécessairement contenu dans un plan complexe (répondant à une question
      de Serre). Bien sûr, la démonstration est juste esquissée (page 54), mais on
      apprend à quel point elle utilise des maths sophistiquées (inégalité sur les
      nombres de Chern des surfaces algébriques, conséquence d’un théorème
      de Yau) et des références précises sont données pour le lecteur ayant les
      connaissances nécessaires pour la décortiquer. Mais un lycéen peut
      néanmoins apprécier les énoncés et rêver à ces espaces « complexes » de
      dimension arbitraire, ou à la jolie configuration des points d’inflexion d’une
      cubique, reproduite page 53.

      Bref, le public-cible est celui qui aime la géométrie, les vastes paysages et
      la culture générale, et non seulement la technique et les preuves parfaitement
      ficelées.

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