Des personnes aux intérêts variés pourront trouver un peu de bonheur grâce à un pavé jeté par Marcel Berger dans la mare de ceux qui pensent qu’à l’âge où les ordinateurs aident à faire de belles images, il n’est plus nécessaire d’enseigner la géométrie.
Au milieu de la dernière décennie du siècle passé, en flânant un jour dans Paris, je suis entré dans une épicerie plutôt sombre, à l’aspect suranné. Cela ressemblait plus à un musée sans ressources qu’à un magasin se proposant d’allécher ses clients : les murs étaient couverts de jolies boites d’antan, hélas poussiéreuses, serrées les unes contre les autres. Au fond de ce musée, dans la pénombre, se trouvait le vendeur, absorbé visiblement par quelque chose d’important. En fait tellement absorbé que j’ai été vivement intrigué, et que je me suis approché pour voir ce qu’il faisait.
Quelle ne fut pas ma surprise en découvrant qu’il étudiait, crayon à la main, un livre contenant des formules compliquées ! J’ai osé le distraire de sa concentration, en lui demandant ce qui le captivait tellement. « Oh, un livre de physique... je veux juste comprendre pourquoi la lumière et l’électricité, c’est la même chose ». Et il me montra la couverture du livre : il s’agissait de l’un des tomes du fameux cours de physique de Richard Feynman.
Je bavardai un peu avec lui, et j’appris qu’il n’avait plus suivi de cours scientifiques depuis le lycée, mais que certaines grandes découvertes le fascinaient, et qu’il essayait de les comprendre, lentement, à son rythme. Mené visiblement par une curiosité que tout enseignant rêverait de voir chez ses élèves.
En repassant par là-bas quelques années plus tard, je n’ai plus trouvé l’épicerie. Peut-être avait-elle fait faillite, car porté par le souci d’augmenter ses lumières, l’épicier avait oublié de mettre en lumière ses produits, et n’eut plus finalement de quoi payer l’électricité.
Depuis, je me suis toujours demandé quels textes mathématiques pouvaient aussi tenir en haleine des gens qui n’avaient plus suivi des cours de science depuis le lycée, sans être des recueils d’énigmes, mais en allant au cœur des grands problèmes de recherche. À l’époque j’en connaissais un : « Geometry and the Imagination », de David Hilbert et Stephan Cohn-Vossen, paru en 1932 en allemand [1]. Un fabuleux voyage intuitif dans le pays de la géométrie, se voulant une présentation de certains de ses plus beaux objets, et de ses principaux domaines de recherche.
Et voici que Marcel Berger publia en 2009 aux éditions Cassini un pavé de 973 pages [2], intitulé « Géométrie vivante ou L’échelle de Jacob », qui se veut un continuateur de l’esprit du livre de Hilbert et Cohn-Vossen. L’auteur essaye de décrire cet esprit dès l’introduction :
Il semble que la géométrie soit apparue pour beaucoup d’une importance toute relative dans l’ensemble des mathématiques. La réalité est tout autre : le langage de la géométrie, les métaphores géométriques, ont investi par le biais des mathématiques modernes l’ensemble des mathématiques. [...]
Pour Alain Connes, « un géomètre est [quelqu’un] qui a suffisamment de vision pour pouvoir créer suffisamment d’images mentales qui lui permettront de traiter des problèmes de mathématiques variés ». Car « le difficile, l’essentiel, en mathématiques, c’est de créer assez d’images mentales pour que le cerveau puisse fonctionner ».
[...] nous suivons la démarche inaugurée par le livre absolument remarquable de Hilbert et Cohn-Vossen [...], qui remplissait ce besoin d’une culture géométrique à la fois moderne et facilement abordable. Ce livre, dont nous espérons avoir été dignes, demandait un analogue actuel. Cela n’a pu être possible qu’au prix d’un gros accroissement de dimension, vu la croissance exponentielle des résultats mathématiques [...].
Toujours dans l’introduction, nous lisons l’explication suivante du titre de l’ouvrage (les termes en caractères gras ont été soulignés par moi) :
De nombreux problèmes de géométrie, d’apparence simple, que l’on peut présenter de façon très intuitive, ont en commun une ou plusieurs des propriétés suivantes :
- il sont toujours non résolus, ou ils n’ont été résolus que récemment, après des efforts considérables ;
- pour être bien compris (et éventuellement résolus en tout ou partie), ils ont nécessité la création de concepts et d’outils d’un degré d’abstraction variable, mais bien supérieur à celui de leur énoncé ;
- les outils mathématiques utilisés pour les résoudre ont été conçus dans de tout autres buts.
Dans cet ouvrage, nous présentons toute une série de problèmes de cette nature, en montrant pourquoi des notions abstraites nouvelles ont été nécessaires pour les résoudre, et comment elles interviennent successivement dans la solution. Ce sont ces notions conceptuelles construites chacune « au-dessus » de la précédente et permettant de s’élever dans l’abstraction, qu’illustre, avec ses barreaux, l’image de l’échelle de Jacob [3]. [...]
Nous n’omettons pas de mentionner les problèmes toujours ouverts, « ouverture » qui peut paraître étonnante a priori, mais qui l’est moins quand on comprend la somme d’efforts et de progrès conceptuels qu’il a fallu pour résoudre des problèmes similaires. Ces problèmes classiques font l’objet de recherches toujours actives, en même temps que l’avancée des mathématiques en suggère constamment de nouveaux. Ainsi, la géométrie élémentaire se trouve-t-elle toujours bien vivante, au cœur des travaux de nombreux mathématiciens contemporains.
Afin d’illustrer la manière dont Berger grimpe à l’échelle de Jacob, je choisis les fragments suivants de la section II.6, présentant le « résultat de géométrie de l’espace ordinaire qui l’a le plus marqué dans sa vie avec, pour dire vrai, le théorème de Poncelet sur les coniques » :
Il s’agit des cercles dits de Villarceau [...]. On considère un tore de révolution et on le coupe par des plans bitangents à l’intérieur : l’ahurissant est que la section se compose toujours de deux cercles. [...] ces cercles « exotiques » sont des loxodromies du tore, ils coupent les méridiens selon un angle constant, le double de leur angle à leurs points de rencontre. Quitte à être très personnel, votre auteur, alors âgé de seize ans, fut tellement abasourdi qu’il tint absolument à scier un anneau en bois pour vérifier le théorème. [...] Puis, en classe préparatoire, il apprit la démonstration éclair et profonde que voici. Le tore contient l’ombilicale [...] comme ligne double, mais un plan bitangent le coupe suivant une courbe qui a deux points doubles (aux points de contact). D’où finalement pour cette courbe section quatre points doubles ; mais comme elle est de degré quatre, elle est décomposée en deux coniques [...], qui sont donc des cercles.
Bien sûr, les pages qui précèdent cet extrait expliquent ce qu’est l’ombilicale, pendant une grimpée à l’échelle de Jacob ayant comme but de mieux nous faire comprendre le monde des cercles. Et cela, comme partout ailleurs, illustré à profusion.
Ce va-et-vient le long de l’échelle se reflète aussi dans le contenu de l’index. En effet, on y découvre des objets ou des êtres concrets : des abrasifs, des balles de golf, des dominos, des engrenages, des fakirs, des galets, des kayaks, des lampions, des pandas, des saucisses, des tambours ou des voiles. Ainsi que des êtres mathématiques qui les éclairent de plus haut sur l’échelle : des anti-caustiques, des brachistochrones, des cyclides, des formes modulaires, des matroïdes, des octonions, des ombilics, des patchworks, des réseaux isospectraux, des séries de Fourier, des voisinages tubulaires ou des zonotopes.
Il y a des choses à déguster dans ce pavé pour tous les amoureux de géométrie :
Mais s’y promener serait aussi des plus utiles pour tous les décideurs qui pensent qu’à présent, le développement de l’imagerie informatique rend inutile l’enseignement de la géométrie.
Quant aux épiciers, je leur déconseille en fait ce livre : tout comme pour les cours de Feynman, y entrer menacerait fortement leur commerce !
Je tiens à remercier André Bellaiche, qui m’a fait découvrir ce livre en avant-première, en me proposant d’être relecteur de l’un de ses chapitres.
[1] Le titre original est « Anschauliche Geometrie ». La traduction anglaise date de 1952.
[2] Et 1503 grammes !
[3] Voici les extraits de la Bible qui se trouvent en exergue de l’Introduction : « Jacob eut un songe : et voici, une échelle était posée sur le sol et son sommet touchait au ciel, et voici, sur elle des anges de Dieu montaient et descendaient, et au haut se tenait Yahvé » (Genèse, 28.12, 28.13). « Jacob s’éveilla de son songe et dit : “En vérité, Yahvé est en ce lieu et je ne le savais pas”... Levé de bon matin, il prit la pierre qui lui avait servi de chevet, il la dressa comme une stèle et répandit de l’huile sur son sommet » (Genèse, 28.16, 28.18).
