Une école d’été ergodique... à Göttingen

Le 3 septembre 2009  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires (4)

A mi-chemin entre Bonn et Berlin, Göttingen est une charmante ville de Basse-Saxe, comptant surtout l’une des plus célèbres universités d’Allemagne : pas moins de 42 prix Nobel y ont étudié ou enseigné !

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On peut lire les noms de très grands scientifiques un peu partout dans la ville : nom de rue bien sûr, petite plaque sur un mur pour indiquer une ancienne maison ou l’appartement de l’étudiant Riemann par exemple, établissement scolaire

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et même bistrot !

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Avec en fond musical la célèbre chanson de Barbara, quoi de plus beau cadre que le pays de Gauss pour une école d’été ?

Cette école a eu lieu la semaine dernière sous les regards vigilants de Gauss et Weber. Pour la petite histoire, lorsqu’un étudiant obtient son diplôme de doctorat, traditionnellement il doit grimper s’asseoir sur les genoux de Gauss

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et offrir un baiser à Gänseliesel, la jeune gardienne d’oies (ce qui en fait la jeune femme la plus embrassée du pays !).

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Pour cette école d’été [1], quatre maîtres de cérémonie pour quatre mini-cours passionnants autour de la théorie ergodique. Nous étions une trentaine (dont une vingtaine d’étudiants) et c’est dans une ambiance excellente que nous avons pu discuter de systèmes dynamiques mesurés, d’algèbres de von Neumann et de théorie géométrique des groupes : 4h de cours par jour, entrecoupés de discussions afin d’alimenter la séance de questions/exercices qui venaient clôturer chaque fin d’après-midi.

La théorie ergodique est probablement née dans les années 1871 lorsque Bolztmann travaillait à la théorie cinétique des gaz. Comme bien souvent, les mathématiciens se sont progressivement emparés de ce concept devenu central dans l’étude des systèmes dynamiques préservant une mesure. Commençons par un exemple simple : les translations sur la droite réelle. Il est intuitivement clair que si on considère un intervalle de $\mathbf{R}$, disons $[-1,1]$ de longueur 2, et qu’on le translate par un nombre réel, par exemple $\pi$, on obtient le nouvel intervalle $[\pi-1,\pi+1]$, toujours de longueur 2. Ainsi les translations préservent les longueurs des intervalles et si on s’amuse à itérer cette translation par $\pi$, l’intervalle initial $[-1,1]$ va se déplacer progressivement sur la droite réelle mais sa longueur restera quant à elle échangée : c’est un premier exemple de système dynamique préservant une mesure, ici la longueur des intervalles.

Intéressons-nous maintenant au cercle de rayon 1 dans le plan euclidien et à une rotation d’angle $\alpha$ sur ce cercle : c’est un autre exemple de système dynamique préservant une mesure (en fait, il ressemble beaucoup au précédent). Là encore, si on prend un petit intervalle sur le cercle et qu’on lui fait subir des rotations successives, sa longueur ne changera pas au cours du temps. Plus intéressant encore, selon la valeur de $\alpha$, il se passe toujours l’un des deux phénomènes suivants :

- si $\alpha/\pi$ est un nombre rationnel ( i.e. de la forme $p/q$), alors après un nombre fini d’itérations, n’importe quel point du cercle revient sur lui-même : il s’agit d’un système dynamique périodique ;

- si $\alpha/\pi$ est un nombre irrationnel, alors aucun point du cercle n’est périodique. Plus intéressant encore, n’importe quel point du cercle a en fait tendance à se répartir tout autour du cercle, c’est-à-dire aussi proche que l’on veut de n’importe quel autre point de son choix.

La première situation est relativement simple à comprendre ; la deuxième est quant à elle beaucoup plus intéressante : c’est un prototype de système dynamique ergodique et il en existe bien entendu de très nombreux exemples, souvent extrêmement difficiles à analyser.

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Notes

[1Voir ici l’affiche.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Une école d’été ergodique... à Göttingen» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

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  • Une école d’été ergodique... à Göttingen

    le 4 septembre 2009 à 08:55, par Ludmila

    Bonjour Monsieur Alvarez

    J’aime beaucoup votre article avec ses belles photos.

    Je crois que j’ai compris ce que vous dites avec les intervalle. J’ai un peu plus de mal avec le cercle : je ne comprends pas ce que représente la dernière photo.

    Respectueusement

    Ludmila

    PS. Une petite question : comment font les femmes qui passent une thèse à Göttingen ? Elles embrassent aussi la gardeuse d’oie ? ou il y a aussi une statue de gardien de cochons sur une autre place ?

    Répondre à ce message

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