Une famille infinie de nœuds (II)

Pista negra El 6 septiembre 2020  - Escrito por  Thibault Godin, Hoel Queffelec Ver los comentarios

Pour créer de nouveaux nœuds, on peut répéter à l’envi le même nœud sur une ficelle. Pourtant les tables de nœuds marins montrent de nombreux motifs de nœuds basiques réellement différents. Mais le sont-ils vraiment ? Et y en a-t-il une infinité ?
On va voir que oui, en parlant de nœuds premiers et en utilisant beaucoup de couleurs !

Nœuds premiers

On a vu dans un premier article (dont la lecture est recommandée pour mieux suivre celui-ci) qu’il existe une famille infinie de nœuds non-équivalents: il suffit de choisir son nœud préféré non-trivial (le nœud de trèfle $T$ dans l’article) puis de le répéter en utilisant une opération appelée la somme connexe.

Cependant on pourrait penser que l’on a un peu triché en répétant le même nœud une infinité de fois. Les mathématiciens pensent de même, et ont pour cela introduit la notion de primalité. Cette idée de primalité se rencontre en général pour les nombres : on sait qu’il existe des entiers particuliers, les nombres premiers, et que l’on peut décomposer tout entier en un produit de nombres premiers de manière unique (à l’ordre près). Ces nombres premiers jouent ainsi le rôle de briques fondamentales, et leur étude est d’une richesse peu commune. Pour les nœuds, un phénomène analogue se produit si on remplace le produit par la somme connexe.

Formellement on dira qu’un nœud est premier s’il ne peut pas être décomposé comme la somme connexe de deux nœuds non-triviaux [1]. On a alors une situation très semblable à celle des entiers, énoncée dans le théorème suivant.

Théorème (Schubert, 1949) : Tout nœud non-trivial [2] se décompose de manière unique (à l’ordre près) en une somme connexe de nœuds premiers.
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Listes des nœuds premiers à moins de 7 croisements.

La famille $\{T^{\#n}\}_n$ que l’on a obtenue par somme connexe ($T^{\#i}$ représente la somme connexe de $i$ nœuds de trèfles) n’est clairement pas une famille de nœuds premiers (seul $ T$ l’est, puisque tous les autres sont justement construits comme sommes connexes de trèfles). Pour revenir sur le parallèle avec l’arithmétique, l’article précédent reviendrait à avoir prouvé qu’il existe une infinité d’entiers en considérant la famille $ \{2^n\}_{n \in \mathbb{N}}$ : c’est vrai mais c’est encore plus intéressant de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers ! C’est donc le but de cet article que de présenter une preuve de l’infinité des nœuds premiers. Pour cela, on va introduire un invariant qui généralise les 3-coloriages de Fox, et on l’utilisera sur une famille de nœuds dits toriques.

$ c$-coloriages

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Le nœud de 8 ne peut être 3-colorié avec plus d’une couleur.

On l’a dit précédemment : on ne connaît pas d’invariant total facilement calculable pour les nœuds. Les $3$-coloriages, en particulier, sont loin de donner un invariant total, et certains nœuds pourtant simples ne sont pas distingués par ceux-ci : le nœud trivial $ U$ et le nœud de huit $ H$ sont par exemple indistinguables pour les 3-coloriages.

3-coloriages du nœud de 8 :

Rappelons les règles des croisements pour qu’un 3-coloriage soit valide :

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Si l’on veut colorier le nœud de 8, on commence par choisir un brin et lui donner une couleur (ici bleu, mais ce n’est pas important, tout est symétrique). Ensuite on suit le brin jusqu’à un croisement, alors trois choix s’offrent à nous, et on les étudie un par un : soit on garde la même couleur après le croisement, soit on en change (et on a deux possibilités pour ce choix, ici rouge ou vert). Après cela, on n’a plus de choix pour les croisements suivants, les couleurs suivantes sont imposées par les règles, et il ne reste plus qu’à voir si le coloriage est valide.

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En finissant de colorier le nœud, on s’aperçoit donc que les seuls 3-coloriages possibles sont monochromes !

Pourtant ces deux nœuds sont bien différents. Pour le voir, on va introduire une généralisation des $3$-coloriages en s’autorisant plus de couleurs, avec l’espoir qu’avec ces nouveaux invariants, on ait plus d’outils en main pour produire une famille infinie de nœuds premiers. On va d’ailleurs arrêter d’utiliser de vraies couleurs, et on va les remplacer par des nombres entiers compris entre ${\color{blue}{0}}$ et le nombre de couleurs ${\color{blue}{c}}$ moins un (on notera ces «couleurs» en bleu pour bien voir la différence). Les règles [3] sont, si l’on dispose de $ c$ couleurs :

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Les $ 3-$coloriages sont bien de cette forme, en prenant par exemple ${\color{red}{rouge}} \leftrightarrow 0$, ${\color{blue}{bleu}} \leftrightarrow 1$ et ${\color{green}{vert}} \leftrightarrow 2$ (on peut vérifier que les $ 3-$coloriages vus précédemment vérifient bien la règle $ 2x \equiv y+z \mod(3)$).

Pour traiter un autre exemple, choisissons maintenant $c=4$ et supposons qu’on ait fixé le brin du dessus avec la «couleur» ${\color{blue}{3}}$. D’après la formule on doit donc trouver deux couleurs dont la somme est égale modulo 4 à $2 \times {\color{blue}{3}} \equiv 6 \equiv 2 \mod(4)$. Donc, par exemple, on a le droit aux croisements [4]

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Un $4-$coloriage admissible

et

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Un autre $4-$coloriage admissible

mais pas

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Ceci n’est pas un $4−$coloriage admissible.

car $2\times {\color{blue}{3}} \not \equiv {\color{blue}{1}}+{\color{blue}{3}} \mod(4)$.

On notera $ F_c(K)$ le nombre de $ c-$coloriages d’un nœud $ K$. En particulier pour le nœud trivial $ F_c(U)=c$, puisque tous les coloriages sont monochromes. Le nombre de $ c-$coloriages est un invariant de nœuds pour tout $ c$ (la preuve se fait comme dans le cas de $ 3$ couleurs).

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Un $5-$coloriage non trivial du nœud de 8.

Revenons au nœud de $8$ : si les $3-$coloriages ne permettent pas de le distinguer du nœud trivial, peut-être que d’autres valeurs de $c$ seront plus efficaces. C’est bien le cas, et la figure ci-dessus représente un $5-$coloriage admissible [5].

Le calcul :

Sur la figure, on voit quatre croisements auxquels correspondent les équations (la disposition suit celle des croisements) :

\[ \begin{array} \quad& 2\times {\color{blue}{3}} \equiv {\color{blue}{2}} +{\color{blue}{4}} &\quad \\ &&\\ \quad&2\times{\color{blue}{4}} \equiv {\color{blue}{0}} + {\color{blue}{3}} &\quad\\ &&\\ 2\times {\color{blue}{0}} \equiv {\color{blue}{3}} +{\color{blue}{2}} &\quad & 2\times {\color{blue}{2}}\equiv {\color{blue}{0}} + {\color{blue}{4}} \\ \end{array} \]

On a donc au moins six $5-$coloriages du nœud de 8 : les cinq coloriages monochromes (qui fonctionnent pour tous les nœuds) et le coloriage que l’on vient de décrire [6]. Donc $ F_5(H) \geq 5+1 > F_5(U)=5$. Ainsi, le nœud trivial et le nœud de huit n’ont pas le même nombre de $5-$coloriages, d’où l’on déduit l’énoncé suivant.

Théorème : Le nœud trivial $ U$ et le nœud de huit $ H$ sont indistinguables pour les 3-coloriages mais ne sont pas équivalents.

Nœuds et tresses

Pour produire notre famille infinie, nous avons besoin d’une nouvelle manière de créer des nœuds qui n’utilise pas la somme connexe.

Là encore on peut s’inspirer du monde réel, en partant des tresses. En quelques mots, une tresse est constituée de plusieurs brins (de ficelle, de cheveux) que l’on croise (comme pour les cheveux, on prendra la convention que l’on tresse de haut en bas).
Mais une tresse n’est pas (encore) un nœud : il y a plusieurs ficelles et ces ficelles ont des bouts. Que faire ? Recoller ces bouts ! Une jolie vidéo d’E. Dalvit l’explique en image (en même temps que beaucoup d’autres choses).

À partir d’une tresse, en recollant les deux bouts de chaque brin, on obtient un nœud [7], comme illustré sur la figure ci-dessous (où la tresse apparaît en traits pleins et le recollement en pointillés).

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Le nœud torique $T(2,3)$. En traits pleins la tresse : trois brins et deux répétitions du motif ; en pointillés les brins servant à refermer le nœud. C’est une construction du nœud de trèfle $T$.

Certaines tresses sont particulièrement simples. Une opération élémentaire est par exemple de considérer $ p$ brins parallèles, et de faire passer celui de gauche par-dessus tous les autres. On peut répéter plusieurs fois (disons $\ell$ fois) une telle opération, et si l’on referme le résultat en connectant les brins du haut à ceux du bas (par la gauche ou par la droite, ça revient au même), on obtient ce qu’on appelle l’entrelacs torique [8] $T(\ell,p)$, qui est également l’ingrédient clef de cet article.

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Le nœud torique $ T(2,5)$ : cinq brins et deux répétitions ; et un $ 5-$coloriage valide.
Lemme : L’entrelacs $T(2,p)$ avec $p$ impair est un nœud.

Une fois n’est pas coutume, dans l’énoncé précédent, on ne confond pas les mots nœuds et entrelacs : le résultat énoncé est bien qu’il n’y a qu’une seule composante (c’est-à-dire que l’on a en fait besoin d’une unique ficelle pour faire le dessin).

Preuve

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Pour prouver cet énoncé, on va partir d’un point (en l’occurrence, l’extrémité supérieure tout à droite) et montrer qu’on peut suivre le nœud en passant par tous les brins de la tresse : on aura ainsi montré qu’il n’y a bien qu’une seule composante.

Pour ce faire, numérotons les points en haut de la tresse de $1$ à $p$, comme ci-dessus (où $p=5$), et faisons de même en bas. Si on suit le brin qui part du point du point $p$ en haut, on arrive en bas au point numéroté $p-2$. On peut alors faire le tour par l’extérieur (puisqu’on a refermé la tresse), ce qui nous ramène en haut, au point $p-2$, d’où l’on peut redescendre. On prétend que si on continue ce processus, on finira par revenir au point $p$ en étant passé par tous les brins.

D’abord, puisqu’à chaque point du haut correspond un unique brin de la tresse, et inversement, il suffit de prouver que si on répète le processus qui consiste à descendre par la tresse et remonter par l’extérieur, on va visiter tous les points du haut.

Ainsi armés, commençons par traiter à fond l’exemple du dessin : en partant du point $5$, on arrive à $3$ (c’est la partie en gras), puis à $1$, puis à $4$, puis à $2$, et on revient enfin à $5$ en ayant bien visité tous les points. [9]

Ce raisonnement s’étend au cas où $p$ est un nombre impair quelconque en remarquant que le point $ i$ est transformé en le brin $ i-2$ par une étape du processus. (Cette numérotation est encore à considérer modulo $p$ : $1$ devient $p-1$ et $2$ devient $p$).

En partant du point $p$ tout à fait à droite, on va donc passer à $p-2$, puis $p-4$... jusqu’à arriver à $1$ en étant passé par tous les nombres impairs. Mais $1$ nous renvoie sur $p-1$, qui est pair, et on va alors descendre en passant par tous les nombres pairs jusqu’à arriver à $2$ qui se reconnecte à $p$. Ce faisant, on aura couvert tous les brins : il n’y a donc bien qu’une seule composante.

On dispose donc d’une nouvelle famille de nœuds : l’ensemble des nœuds toriques $T(2,p)$ pour toutes les valeurs impaires de $p$, qui se décrivent en plus de manière relativement simple. Il y a bien une infinité d’entiers impairs, donc nous sommes sur la bonne voie, mais il nous reste à voir que tous ces nœuds sont bien différents, et en plus qu’ils sont tous premiers.

La famille est infinie

Nous allons maintenant appliquer les invariants construits précédemment à notre famille de nœuds.

En généralisant la figure qui présente un $5-$coloriage du nœud torique $T(2,5)$, on obtient sans difficulté :

Lemme : Pour $p>2$, le nœud $ T(2,p)$ est $ p-$coloriable de manière non monochromatique.

En revanche on a

Lemme : Supposons que $p$ est un nombre premier plus grand que $2$. Alors le nœud $ T(2,p)$ n’admet que des $ c-$ coloriages monochromes pour $ c < p$.

Preuve

Supposons que l’on ait $c < p$ couleurs, et que $p>3$ (le cas $p=3$, c’est-à-dire le nœud de trèfle, a déjà été vu précédemment). On va montrer que tout coloriage valide est monochrome [10].
Comme le nombre de couleurs $ c$ est inférieur au nombre de brins $ p$, on a forcément deux des extrémités supérieures des brins qui partagent la même couleur, mettons $ {\color{blue}{k}}$. On a alors :

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Donc [11] deux autres brins partagent la même couleur $ {\color{blue}{k''}}$ à leur extrémité supérieure. On pourrait alors utiliser un argument similaire à celui de la preuve précédente pour montrer que ${\color{blue}{k''}} = {\color{blue}{k}}$, mais on en propose un autre.

Mettons que les brins coloriés de la même manière à leur extrémité soient les brins $i$ et $j$ (sur le dessin $i=3$ et $j=5$, coloriés en ${\color{blue}{k}}$). Alors d’après le raisonnement précédent, les brins $i-2$ et $j-2$ ont aussi leurs extrémités supérieures coloriées de la même manière (en
${\color{blue}{k''}}$). En réitérant l’argument, on voit que pour chaque valeur de $n$, les brins $i-2\times n$ et $j-2\times n$ ont la même couleur en haut (qui dépend a priori de l’entier $n$). Remarquons maintenant qu’en faisant varier $n$, $i-2\times n$ prend toutes les valeurs comprises entre $1$ et $p$ (c’est le même principe que pour la preuve précédente). Cela veut dire que si une couleur est utilisée pour le coloriage des parties supérieures des brins, elle est utilisée pour au moins deux brins de la tresse. Le cas extrême serait que chaque couleur apparaisse exactement deux fois. Mais dans ce cas, on aurait un nombre total de brins égal à deux fois le nombre de couleurs utilisées, or $ 2$ ne divise pas $ p$, qui est premier. Donc on a forcément une couleur qui est utilisée pour au moins $ 3$ extrémités de brins, mettons $i$, $j$ et $\ell$.

On peut alors utiliser le même raisonnement pour montrer que les brins $i-2\times n$, $j-2\times n$ et $\ell-2\times n$ partagent la même couleur à leur extrémité, et donc que là encore que si une couleur est utilisée pour le coloriage, elle est utilisée pour au moins trois brins de la tresse. Encore une fois, $i-2\times n$ parcourt toutes les valeurs, donc chaque couleur qui apparaît est utilisée pour au moins trois extrémités de brins. Comme $ 3$ ne divise pas non plus $ p$ (qui s’entête à être premier), on a forcément une couleur qui est utilisée sur au moins $ 4$ extrémités de brins.

On voit que l’on peut recommencer cet argument et conclure que chaque couleur utilisée doit apparaître sur $5$ extrémités de brins, et ainsi de suite jusqu’à arriver à $p$. Le coloriage n’utilise donc qu’une seule couleur !

Le lemme précédent permet ainsi de distinguer tous les $T(2,p)$ avec $p>2$ premier (ce qui est un peu moins qu’annoncé, mais comme il y a une infinité de nombres premiers, c’est suffisant !). Prenons en effet deux nombres premiers $p$ et $p'$, avec $p < p' $. Alors $T(2,p)$ n’admet aucun $p'$-coloriage non monochrome, donc il admet exactement $p'$ $p'$-coloriages, alors que d’après le lemme, $T(2,p')$ admet au moins $p'+1$ $p'$-coloriages. Ces deux nœuds sont donc différents, et puisqu’on peut faire ça pour n’importe quel couple, on en déduit le résultat suivant.

Théorème : La famille $ \{T_{2,p}\}_{p>2 \text{ est premier}}$ est une famille de nœuds premiers deux à deux non équivalents.

En d’autres termes, on vient bien de montrer qu’il existe un nombre infini de nœuds premiers.

Et la primalité ?

Pour être un peu plus honnêtes : nous avons bien construit une deuxième famille infinie, mais nous nous sommes bornés à affirmer sans preuve que ces nœuds sont premiers. Elles ne sont pas reproduites ici mais la lectrice/ le lecteur curieuse/x (et ayant de bonnes notions de topologie) trouvera deux preuves (dont une géométrique), à la page 95 de Knots
 [12].

Voici tout de même l’esquisse du raisonnement :
un nœud est, par définition, premier s’il n’est pas somme connexe de deux nœuds non triviaux. Pour prouver la primalité de $T(2,p)$, on va donc essayer de découper le nœud en deux et on verra qu’une des deux parties est toujours triviale. Prenons le nœud, et faisons l’intersection avec une boule. Sur le diagramme, cela revient à découper un patatoïde en 2D (attention, la projection de ce patatoïde ne sera pas toujours connexe sur le diagramme car l’on passe de la 3D à la 2D, mais cela ne sera pas très important pour la suite [13]).
On veut séparer le diagramme en deux « nœuds » ouverts, c’est-à-dire en deux morceaux de ficelles.

L’idée va être de partir de l’intérieur d’un rectangle (2D, qui correspondant à la projection une petite boule 3D) qui intersecte le diagramme et de voir ce qui se passe.

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S’il ne contient qu’un brin et pas de croisement, alors on se retrouve avec un nœud trivial ce qui ne contredit pas la primalité.

La première situation intéressante arrive quand la boule contient deux brins. Le problème est que l’on ne sépare alors pas le nœud en 2 ficelles mais en 3 ou plus.

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Il va donc falloir déformer le rectangle/la sphère (2D/3D) en un patatoïde/sphéroïde (2D/3D) pour obtenir une ficelle continue à l’intérieur. C’est ce qui est illustré dans les dessins suivants (attention, les couleurs n’ont ici rien à voir avec les coloriages de Fox, et servent uniquement à visualiser le procédé permettant de recoller les brins initialement à l’intérieur du rectangle).

On déforme donc le « rectangle » en suivant le fil...

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... jusqu’à n’obtenir qu’un bout de ficelle à l’intérieur du rectangle, que l’on peut donc oublier pour ne garder que la couleur.

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On obtient alors deux morceaux de ficelles (un bleu et un noir), qui sont nos candidats pour la somme connexe.
On peut maintenant voir quels nœuds on obtient si on recolle les bouts de ficelles noirs d’un côté, et coloré de l’autre.

Il est alors assez facile de remarquer qu’il y en a toujours un qui forme un nœud trivial.

Le gros du travail consiste alors à appliquer ce raisonnement de manière exhaustive, quand la boule contient deux brins, puis trois, et caetera. On ne le fera pas ici, et il est plus pratique d’utiliser des méthodes un peu plus avancées de topologie pour s’assurer de ne rien avoir oublié.

Pour aller plus loin

La théorie des nœuds est un domaine largement documenté et qui se prête facilement au partage avec un large public. Il y a donc une grande palette de ressources disponibles pour la lectrice ou le lecteur curieuse/x d’en savoir plus. Du côté des textes classiques, les livres de Gerhard Burde et Heiner Zieschang (déjà évoqués) et celui de Dale Rolfsen [14] sont parmi les plus lus. Le livre de Peter Cromwell [15] est peut-être un peu plus moderne dans son approche. Les Knot Knotes de Justin Roberts sont gratuites et couvrent l’essentiel des questions classiques.

Un numéro spécial du magazine Pour la science [16] est consacré à la théorie des nœuds et rassemble des contributions de nombre d’acteurs de la recherche académique (le tout en français). Youtube foisonne également de vidéos : on a déjà cité la vidéo d’introduction d’E. Dalvit , qui parle également des 3-coloriages de Fox. Pour en savoir plus du côté des tresses, le choix est peut-être encore plus large, au travers de contributions sur Images des maths (voir l’article d’A. Alvarez et les références données en introduction) ou de la vidéo de Z. Dancso par exemple (pour ceux doués de vision en 4 dimensions).

Post-scriptum :

Les auteurs remercient les relecteurs d’Images des Mathématiques Christophe Boilley, et Clément Caubel pour leurs remarques qui ont grandement amélioré la lisibilité de l’article.
Merci aussi à Pierre-Antoine Guihéneuf pour ses conseils durant la rédaction et Carole Gaboriau et Maï Sauvageot pour leur patience avant la publication.

Article édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

Notas

[1Une grosse différence avec l’arithmétique est que l’on ne dispose pas de méthode très efficace pour déterminer si un nœud est premier ou non. On peut construire un analogue au crible d’Ératosthène, mais comme déterminer si deux nœuds sont équivalents est déjà un problème difficile, en pratique cette méthode n’est raisonnable que pour les diagrammes n’ayant que très peu de croisements

[2Comme le $ 1$ en arithmétique, le nœud trivial est à part et n’est pas considéré comme étant premier. L’unicité nécessite que les nœuds soient orientés, c’est-à-dire que l’on choisisse un sens de parcours du cercle, mais ce n’est pas très important ici.

[3La notation $ x \equiv y \mod(c)$ signifie que $ x$ et $ y$ ont le même reste pour la division par $ c$. Par exemple $ 1 \equiv 6 \equiv 111 \mod (5)$.

[4Étonnamment, on peut ici avoir seulement deux couleurs mises en jeu au voisinage d’un croisement, alors que c’était interdit dans l’article précédent. On se convaincra sans difficulté que c’est lié à la parité de $c$. Justifier les règles de manière purement combinatoire est par contre plus délicat : signalons seulement qu’il y a une interprétation plus algébrique où elles puisent tout leur sens. C’est brièvement évoqué dans cet article (en anglais).

[5On remarque que l’on n’utilise pas toutes les $ 5$ couleurs. En revanche, et c’est important, on calcule modulo $ 5$, et on peut montrer qu’il n’y a que des $ 4-$coloriages triviaux (monochromes) pour ce nœud.

[6Pour les curieux·ses, le nombre de $5-$coloriages du nœud de 8 vaut $25$.

[7Là encore on pourrait obtenir plusieurs ficelles et donc un entrelacs. Mais en tous cas, le théorème d’Alexander montre que tout nœud peut se représenter comme une tresse recollée.

[8Pourquoi parle-t-on d’entrelacs torique ? La raison en est que l’entrelacs peut être obtenu de la manière suivante : on considère une bouée (le fameux tore) et on colle $p$ morceaux de ficelle sur le dessous, parallèles et à l’horizontale (pas orientés vers le trou central de la bouée). On peut alors faire passer le brin le plus à droite par-dessus la bouée, puis à travers le trou central, pour le ramener sous la bouée, côté gauche. Si on fait ça plusieurs fois et qu’on reconnecte les brins en faisant tout le tour, on réalise une sorte de dessin sur la surface de la bouée. Ce dessin ne comporte aucun croisement aucune ficelle ne passe par-dessus ou par-dessous une autre à la surface de la bouée. Par contre, si on dégonfle la bouée et qu’on la coupe en morceaux pour l’extraire, on obtient un véritable nœud ou entrelacs dans l’espace usuel. Les entrelacs obtenus à partir de dessins toriques tirent le nom de cette origine.

[9Ici, on exploite sans le dire le fait que les tresses sont un raffinement des permutations.

[10On va en fait montrer un peu plus, à savoir qu’un coloriage valide et pluri-chromatique de $T(2,p)$ doit utiliser des couleurs différentes pour chaque début des brins de la tresse.

[11Pour les deux premiers brins les dessins sont légèrement différents, mais ils fonctionnent cependant de la même façon.

[12G. Burde, H. Zieschang, H. Heusener, Knots, volume 5, Walter de Gruyter, 2013.

[13On peut aussi parler de diagrammes premiers, c’est-à-dire qui ne peuvent pas être coupés en deux composantes connexes non-triviales. Ce n’est pas en général la même chose que la primalité du nœud, mais cependant il se trouve en plus que pour les nœuds torique ça l’est.

[14D. Rolfsen, Knots and links, volume 346, AMS, 2003.

[15P. Cromwell, Knots and links, Cambridge University Press, 2004.

[16La science des nœuds, Dossier numéro 15, Avril 1997.

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Para citar este artículo:

Thibault Godin, Hoel Queffelec — «Une famille infinie de nœuds (II)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Listes des nœuds premiers à moins de 7 croisements. - source : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Knot_table.svg + modif 3_1 4_1

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