Une ficelle, un nœud

Tout le monde voit à peu près ce qu’est un nœud dans la vraie vie. En mathématiques, ce n’est pas très différent : un nœud est le modèle mathématique d’un morceau de ficelle, possiblement entortillée, et on demande simplement que les deux bouts soient recollés [1].

Le nœud le plus simple est le cercle, que l’on appellera nœud trivial. Il est représenté dans la figure ci-dessous et souvent noté $U$, pour unknot en anglais.

Le nœud trivial : une ficelle dont les deux bouts sont recollés, et sans aucun croisement.

Comme on travaille/lit le plus souvent sur un papier/écran, il est plus commode de disposer d’une représentation du nœud en deux dimensions [2] : c’est là le rôle des diagrammes. Un diagramme est une courbe tracée sur une feuille, avec des croisements autorisés, et où à chaque intersection on indique quel brin passe sous l’autre en interrompant le tracé. La difficulté réside alors dans le fait qu’à un même nœud peuvent correspondre plusieurs diagrammes. Le cercle peut ainsi être déformé en un ovale, ou bien être « tordu », « plié » en deux, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

D’autres diagrammes du nœud trivial $U$

Bien évidemment, on peut faire des figures plus compliquées que le nœud trivial. Par exemple le nœud de trèfle est représenté plus bas. On le note souvent $T$ (en anglais, trefoil commence également par la lettre t !).

Diagramme du nœud de trèfle $T$ : une ficelle où on a fait un demi-nœud dont les deux bouts sont recollés.

Quelques minutes passées à manipuler des ficelles suffisent pour se persuader que le nœud de trèfle ne peut pas être défait, et est différent du nœud trivial. Mais les mathématiciens se méfient des résultats dont la preuve consiste à dire qu’on voit bien qu’ils sont vrais, et aiment avoir des éléments plus tangibles. Alors, existe-t-il un argument imparable pour justifier cette affirmation ?

Pour poser un peu les choses, commençons par une précision de vocabulaire : deux nœuds, ou deux diagrammes de nœuds, qui peuvent être déformés l’un en l’autre en bougeant la ficelle — sans la couper, évidemment — sont dits équivalents [3].

La première question qui nous intéresse est donc la suivante.

Surprenamment, y apporter une réponse mathématique est difficile. Il n’y a pas d’inquiétude à avoir pour autant : en mathématiques comme dans la vraie vie, on ne peut pas déformer le trèfle en un cercle. Mais les arguments élémentaires auxquels on pourrait penser (il n’y a pas le même nombre de croisements ; si on suit le trèfle, on fait plusieurs tours sur soi-même...) ne permettent généralement pas d’arriver à une conclusion solide, du moins sans effort important [4].

La preuve qu’on va donner dans cet article, même si elle repose sur des objets élémentaires, est loin d’être évidente, et c’est pourtant l’une des plus simples connues.
Une manière d’appréhender la difficulté de cette question est de la transposer avec des diagrammes de nœuds d’apparences plus compliquées : on peut penser au temps passé à démêler des écouteurs que l’on sort de la poche. Ils peuvent alors dessiner un diagramme d’une complexité inouïe tout en étant totalement démêlables. Dans notre cas, pouvez-vous dire si les nœuds suivants sont équivalents au nœud trivial ou au nœud de trèfle ?

Quelques diagrammes équivalents au nœud trivial ou au nœud de trèfle.

La question 1 (ou sa généralisation) a été formalisée mathématiquement dès la fin du $XIX^{\text{ème}}$ siècle, et peut s’exprimer de la manière suivante : étant donnés deux diagrammes [5], comment déterminer s’ils représentent le même nœud ?
Bonne nouvelle : on peut décomposer n’importe quelle transformation qui mène d’un diagramme de ce nœud à un autre diagramme qui le représente en une série de transformations très simples. C’est ce que dit le théorème suivant :

Les dessins du théorème donnent des règles locales : deux diagrammes qui sont identiques partout sauf dans une petite région dans laquelle ils diffèrent de l’une des trois manières présentées précédemment représentent le même nœud. Dit dans ce sens, c’est assez évident : il n’est pas compliqué de voir que les mouvements de Reidemeister peuvent se réaliser sans couper une ficelle. Le premier consiste à rajouter une petite boucle, qui se défait sans soucis, le second à faire passer un brin au-dessus d’un autre, et le troisième se visualise bien avec trois bouts de ficelle. La figure suivante donne un exemple d’utilisation de ces mouvements pour simplifier un diagramme du nœud de trèfle.

Deux mouvements de Reidemeister pour simplifier un diagramme du trèfle

La puissance de ce théorème réside dans la réciproque : ces trois mouvements suffisent à relier n’importe quels diagrammes d’un même nœud.

Par contre, mauvaise nouvelle : trouver la bonne suite de mouvements peut être difficile [7].

Pour pallier cette difficulté, les mathématiciens utilisent des invariants de nœud, c’est-à-dire des quantités qui ne dépendent que du nœud et pas de sa représentation. Les invariants classiques sont souvent des nombres ou des polynômes que l’on calcule à partir d’un diagramme. Si deux diagrammes produisent deux valeurs différentes, on est assurés d’être en présence de deux nœuds véritablement différents.

En pratique, comment peut-on trouver un invariant ? La première étape demande, le plus souvent, de disposer d’une recette qui permette de calculer la valeur de l’invariant à partir d’un diagramme. La condition d’invariance fait alors appel au théorème de Reidemeister : aujourd’hui encore, on vérifie souvent à la main qu’appliquer l’un des trois mouvements de Reidemeister ne change pas le résultat. Il suffit ainsi d’étudier les diagrammes, ce qui peut être bien plus simple que de se représenter le nœud en trois dimensions. Et comme l’invariant ne dépend que du nœud et pas du diagramme, on peut même choisir de calculer l’invariant avec le diagramme du nœud qui nous parait le plus adapté !

Attention cependant, un invariant ne distingue pas nécessairement tous les nœuds : deux nœuds pour lesquels un invariant prend la même valeur peuvent ne pas être équivalents. Aujourd’hui, on ne connaît pas d’invariant calculable de manière raisonnable qui soit total, c’est-à-dire qui distingue toute paire de nœuds non-équivalents.

Dans la suite, on va utiliser un invariant combinatoire relativement simple à calculer, qui va nous permettre de répondre à la question 1, ainsi qu’à des généralisations de celle-ci.

Compter les couleurs

On va commencer par compter les manières de colorier un nœud (ou plutôt, un diagramme) avec trois couleurs (disons ${\color{red}{rouge}}$ , ${\color{blue}{bleu}}$ et ${\color{green}{vert}}$). Cette méthode, dite des 3-coloriages de Fox, a déjà pointé le bout de son nez sur Images des Maths ici.

L’idée est de passer avec un pinceau de couleur sur le diagramme, avec comme règles [8] :

1. on ne peut pas changer de pinceau le long d’une ligne (donc on ne change que pour les croisements par dessous) ;
2. à un croisement, on voit soit les trois couleurs, soit une seule.

Les différents croisements autorisés pour un 3-coloriage.

Pour y voir un peu plus clair, voici des exemples de coloriages autorisés ou non.

De gauche à droite : deux colorations non-valides du nœud de trèfle, et une valide.

On peut alors compter le nombre $F_3(D)$ de 3-coloriages autorisés pour un diagramme $D$ : par exemple le nœud trivial n’a aucun croisement (pour le diagramme « naturel »), donc $F_3(U)=3$.

Les 3-coloriages du nœud trivial.

Ce nombre est intéressant car c’est un invariant :

À première vue, le nombre de coloriages semble être fortement lié au nombre que croisements du diagramme. En réalité ce n’est pas le cas, et un bon moyen de s’en convaincre est d’essayer le colorier le diagramme du nœud trivial à trois croisements qui a déjà fait son apparition un peu plus haut, et qu’on reproduit ici : un bon exercice est de chercher tous les coloriages possibles (et de constater qu’il n’en existe que trois, tous monochromes, comme l’affirme le théorème précédent).

Un diagramme du nœud trivial avec trois croisements.

Retour sur le nœud de trèfle :

Cet invariant nous permet de répondre à la question 1. En effet, si on fait le compte des coloriages $F_3(T)$ pour le nœud de trèfle, on trouve :

Les 3-coloriages du trèfle.

Comparons maintenant les nombres de 3-coloriages que l’on a calculés jusqu’à présent. On a donc $3=F_3(U) \neq F_3(T) = 9$ et, puisque le nombre de 3-coloriages est un invariant de nœuds, on en déduit :

On peut maintenant être plus ambitieux et se demander s’il existe un nombre infini de nœuds différents.

Somme connexe et une famille infinie

Pour trouver une famille infinie, il nous faut une infinité de nœuds candidats. Dans la vie courante, une manière de faire des nœuds « plus compliqués » consiste simplement à faire un nœud sur le début de la ficelle, puis à en faire un deuxième à la suite. Cette opération se formalise mathématiquement par la somme connexe. Prenons deux nœuds. Comme les nœuds mathématiques sont refermés, il faut d’abord « couper » chacun des nœuds en un point pour les ouvrir. On se retrouve ainsi avec quatre extrémités, deux par nœud, et il ne reste plus qu’à refermer le nœud en connectant les bouts. Si $ K_1$ et $ K_2$ sont deux nœuds, on notera $ K_1 \# K_2$ leur somme connexe.

Somme connexe $T \# T = T^{\# 2}$ de deux nœuds de trèfles.

On remarque que faire la somme connexe avec le nœud trivial ne change pas un nœud.

On peut s’interroger sur l’effet de la somme connexe sur le nombre de 3-coloriages. La réponse n’est pas très compliquée, mais la preuve est particulièrement élégante.

[Preuve]

Cette preuve, proposée par Józef Przytycki [11], est un joli exemple d’un principe contre-intuitif mais qu’on utilise souvent en mathématiques : il faut parfois étudier un objet plus compliqué pour comprendre un objet simple. Ici, au lieu de considérer le nœud $ K_1 \# K_2$, on va s’intéresser au nœud [12] $ K_1 \#K_2 \sqcup U$, c’est-à-dire aux nœuds $ K_1 \# K_2$ et $U$ mis côte-à-côte, comme dans la figure ci-dessous :

Clairement, on peut colorier $ K_1 \# K_2$ et $U$ indépendamment. Donc :
\[F_3( K_1 \# K_2 \sqcup U) = F_3( K_1 \# K_2 )\times F_3(U) = 3F_3( K_1 \# K_2 )\]
On a un diagramme équivalent si on élargit le nœud trivial et qu’on le fait passer sous la somme connexe :

En zoomant sur les nouveaux croisements que l’on obtient, on voit :

Étudions les 3-coloriages possibles de ce motif. On remarque tout d’abord que les deux extrémité de la ligne verticale doivent avoir la même couleur, car il n’y a pas de croisement qui mette en jeu l’arc de cercle qui les relie par l’extérieur. Mettons que cette couleur soit rouge. Les possibilités de coloriages sont :

Les brins verticaux du nœud trivial $U$ forcent les brins horizontaux de la somme connexe $K_1 \# K_2$ à être de la même couleur.

On remarque que dans chacun des cas, les deux lignes horizontales ont la même couleur. De plus, si on fixe la couleur des lignes horizontales, on a alors exactement 3 choix pour colorier $U$ (soit monochromatiquement, soit en utilisant les deux autres couleurs), comme l’illustre la figure suivante.

Si on fixe les brins horizontaux de la somme connexe $K_1 \# K_2$, on a exactement 3 choix pour colorier le nœud trivial $U$.

En résumé, si on met le nœud trivial dessous, on observe que $F_3(K_1\#K_2 \sqcup U) = 3F^{\star}_3(K_1 \# K_2)$, avec $F^{\star}_3(K_1 \# K_2)$ le nombre de 3-coloriages de $K_1 \# K_2$ ayant la même couleur à l’endroit où on effectue la somme connexe.

Comme on avait remarqué, en mettant le nœud trivial à côté de la somme connexe, que l’on a $F_3(K_1\#K_2 \sqcup U) = 3F_3(K_1 \# K_2)$, on en déduit que $F^{\star}_3(K_1 \# K_2) = F_3(K_1 \# K_2) $, c’est-à-dire que les coloriages valides de $K_1 \# K_2$ ont forcément la même couleur à l’endroit où on effectue la somme connexe.

Cela force plusieurs choses :

• les coloriages de la somme connexe induisent des coloriages des nœuds $K_1$ et $K_2$. En effet, en se focalisant uniquement sur ce qui était le nœud $K_1$, les deux extrémités de la partie qui a été coupée pendant la somme connexe sont coloriées de la même manière, et peuvent donc être recollées.
• les paires de coloriages induites de cette manière doivent avoir la même couleur à l’endroit où on effectue la somme connexe.
• toute paire de coloriages de $ K_1, K_2$ ayant la même couleur à l’endroit où on effectue la somme connexe induit un coloriage de la somme connexe.

À partir des informations ci-dessus, déterminons le nombre de coloriages possibles. Pour cela, commençons par remarquer un phénomène de symétrie. Pour un nœud $K$ quelconque et un point particulier repéré sur un diagramme de celui-ci (on s’intéressera au point où l’on coupe le nœud $K_2$), notons $F_{r}(K)$ le nombre de coloriages de $K$ qui sont rouges à l’endroit repéré. Alors $F_3(K)=3F_r(K)$. En effet, on a :
\[ F_3(K)=F_r(K)+F_b(K)+F_v(K) \]
où $F_b(K)$ ne compte que les coloriages qui sont bleus au point où l’on coupe, et $F_v(K)$ ceux qui sont verts. Mais puisque les trois couleurs jouent le même rôle, on voit que $F_r(K)=F_b(K)=F_v(K)$ (on peut échanger n’importe quel couple sans dommage), d’où la formule $F_3(K)=3F_r(K)=3F_b(K)=3F_v(K)$.

Maintenant, on peut étendre chaque coloriage de $K_1$ en un coloriage de $K_1\# K_2$ en regardant la couleur au point de découpage, et en choisissant un coloriage de $F_r(K_2)$, $F_v(K_2)$ ou $F_b(K_2)$ selon la réponse. Ce faisant, on couvre bien l’ensemble des coloriages de $K_1\# K_2$. Puisque $F_r(K_2)=F_b(K_2)=F_v(K_2)=\frac{1}{3}F_3(K_2)$, pour chaque coloriage de $K_1$ on obtient un nombre de coloriages de $K_1\# K_2$égal à $\frac{1}{3}F_3(K_2)$. On en déduit :
\[F_3(K_1\# K_2)=F_3(K_1)\times (\frac{1}{3} F_3(K_2))=\frac{1}{3}F_3(K_1)\times F_3(K_2). \]

Cette formule est cohérente avec la remarque précédente : \[3F_3(K_1 \# U) = F_3(K_1)\times F_3(U) = F_3(K_1)\times 3 \:.\]

Puisque le nombre de 3-coloriages est un invariant de nœud, on en déduit le théorème suivant :

$T^{\# 5}$

En d’autres termes, $ T^{\# i} \neq T^{\# j}$ dès que $ i \neq j$. Si on repasse sur les nœuds physiques, cela n’est pas très surprenant : quand on fait des demi-nœuds à la suite sur une ficelle on ne revient jamais à une ficelle droite ni à une ficelle avec moins de nœuds !

Un des $729$ coloriages possibles.