Une formule pour les nombres premiers ?

5 décembre 2008  - Ecrit par  Louis Funar Voir les commentaires (2)

Comprendre la distribution des nombres premiers a été un défi pour les mathématiciens de tous les temps. Certains de ceux partis dans la quête du Graal ont cherché à les décrire à l’aide des formules mathématiques explicites. Il s’avère que toutes les formules construites à ce propos
n’ont pas été d’une grande utilité, car travailler avec ces formules est souvent
plus compliqué que de tester directement les nombres premiers...

Récemment, Eric Rowland un jeune étudiant en thèse de Doron Zeilberger a fait une découverte étonnante dans cette direction.

On définit la suite d’entiers qui commence par
[ a_1=7, ]
et dont chaque terme s’obtient du précedent par la récurrence :
[ a_n=a_n-1+gcd(n, a_n-1),]
où $gcd(a,b)$ signifie le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$.

Considèrons ensuite les différences des termes consécutifs, c’est-à-dire la suite
[ a_2-a_1, a_3-a_2, ..., a_n-a_n-1, ... ]
dont les premiers termes sont
[ 1,1,1,5,3, 1,1,1,1,11,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,23,3,1,...]

On ne voit apparaître que des 1 et des nombres premiers.

Et en effet, en 2008 Rowland a démontré, que chaque terme de cette suite est soit 1 soit un nombre premier !

Cette jolie découverte a été publiée dans Journal of Integer Sequences
en 2008, avec une présentation par Jeffrey Shalit, éditeur de cette publication,
que l’on peut trouver sur son blog : Recursivity

Les applications de cette formule à la construction des grands nombres premiers sont assez limitées car on peut prouver qu’il faut attendre « longtemps » avant de rencontrer le nombre premier $p$, le nombre de
pas de récurrence nécessaires étant du même ordre de grandeur que $p$.

Cependant la simplicité de cette formule de récurrence, en contraste avec la
complexité de la suite des nombres premiers, fait rêver l’amateur d’énigmes mathématiques...

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Pour citer cet article :

Louis Funar — «Une formule pour les nombres premiers ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2008

Commentaire sur l'article

  • Une formule pour les nombres premiers ?

    le 21 décembre 2008 à 01:53, par GassTon

    slt tt lmnd,

    Je suis en Terminale et G besoin de vtr aide, G trouver LA FORMULE EXPLICITE GENERATRICE DE NOMBRES PREMIERS. Elle donne ke des nombres premiers dans l’ordre, mais avec une certaine redondonce du chiffre 3. En fait, elle affiche 3 si pour le n dont en a calculer le nombre n’est pas premier. Le probleme est qu’elle se limite a nous donner tt les nbrs premiers sur un intervalle precis : [Uo= 1er Nbr prm ; Un=Uo^2[ et l’intervalle peut s’agrandir tant qu’on le veut. Je souligne encore une fois ke c’est une formule explicite et non une sorte d’algorithme ou autre,elle est faisable avec une simple calculatrice scientifique. J’aimerai que vous me poster un site spécialisé ou jpourrai présenter ma formule a la communauté mathématique et avoir l’avis d’un expert, mon email : Sniper_b747 hotmail.com.

    Répondre à ce message
  • Une formule pour les nombres premiers ?

    le 30 décembre 2013 à 02:47, par lionelngwem

    j ai trouve la formule qui defie tous les nombres premiers et leur distribution a qui dois je m adresser je suis eleve en master 2 ingénieur chimiste

    Répondre à ce message

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