Une géométrie de l’ordre et de la situation au XIXe siècle. Polygones et théorie des nombres chez Louis Poinsot

Piste verte 5 juillet 2016  - Ecrit par  Jenny Boucard Voir les commentaires

Louis Poinsot est un des géomètres proposant une réalisation du projet de géométrie de situation proposé par Leibniz à la fin du XVIIe siècle. L’objectif de cet article est de montrer comment cette géométrie de situation participe d’une vision plus générale des mathématiques reposant sur ce que Poinsot appelle la théorie de l’ordre.

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Louis Poinsot (1777-1859)

Gottfried Wilhelm Leibniz, dans une lettre à Christian Huygens datée du 8 septembre 1679, écrit :

 Je croys qu’il nous faut encore une autre analyse proprement géométrique linéaire, qui exprime directement la situation comme l’algèbre exprime la grandeur. 

Plusieurs géomètres, tout au long des XVIIIe et XIXe siècles, se sont inspirés de ces propos pour justifier l’étude d’une géométrie de situation, dont la définition et le contenu sont instables selon les protagonistes [1]. Ici, nous nous intéressons à un de ces auteurs faisant la promotion d’un avatar de cette géométrie de la situation : Louis Poinsot (1777-1859).

Fils de marchand né à Clermont-en-Beauvoisis, Poinsot [2] étudie au collège Louis-Le-Grand et se présente en 1794 au premier concours d’admission à l’École centrale des Travaux publics, future École polytechnique. Il y est admis malgré sa méconnaissance de l’algèbre. Après trois années à Polytechnique, Poinsot est reçu à l’École des Ponts-et-Chaussées. Son titre d’ingénieur en poche, il embrasse une carrière d’enseignant en mathématiques spéciales au lycée Bonaparte dès la création des lycées en 1804.

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Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) a joué un rôle important dans la carrière de Poinsot.

Ayant rapidement comblé ses lacunes en algèbre, Poinsot s’intéresse à la question de la résolution algébrique des équations. C’est dans ce cadre qu’il publie en 1808 un compte-rendu de la seconde édition du Traité de la résolution des équations numériques de Joseph-Louis Lagrange dans le Magasin encyclopédique. Lagrange lui-même reconnaît la qualité du travail de Poinsot. Ce dernier a alors déjà acquis une solide réputation de géomètre pour ses écrits de mécanique [3], remarqués par Lagrange ou encore Joseph Fourier. Ainsi, ses Éléments de statique dont la première version paraît en 1803, seront réédités tout au long du XIXe siècle. Lagrange recommande d’ailleurs Poinsot auprès de Louis de Fontanes, Grand-Maître de l’Université [4], qui le nomme Inspecteur des universités et professeur assistant à l’École polytechnique en 1809. Il prendra la succession de Lagrange à l’Académie des sciences quelques années plus tard, en 1813. Son Mémoire sur les polygones et les polyèdres, présenté à l’Académie le 24 juillet 1809, est approuvé et publié dans le Journal de l’École polytechnique en 1810, ainsi que dans les Mémoires des savants étrangers en 1811. Ce travail, selon les dires de Joseph Bertrand, « le plaça à un rang élevé dans l’estime des amis de la géométrie » [5]. C’est justement dans ce texte que Poinsot introduit sa définition de la géométrie de situation. Ce texte est régulièrement évoqué dans les récits relatant les origines de la théorie des graphes ou de la topologie, qui acquièrent le statut de discipline au siècle suivant seulement. Ici, l’objectif est plutôt de considérer ce texte comme participant d’une vision plus générale des mathématiques reposant sur ce que Poinsot appelle la théorie de l’ordre [6].

Le Mémoire sur les polygones et les polyèdres de Poinsot (1810)

1. Une géométrie « de l’ordre et de la situation »

Son mémoire s’ouvre sur une définition de la géométrie de situation où l’on « considère moins la grandeur et la proportion des figures, que l’ordre et la situation des divers élémens [sic] qui les composent » [7]. Poinsot liste les quelques auteurs ayant étudié cette géométrie : son initiateur Leibniz, en lien avec des jeux mathématiques comme les dames et les échecs, Euler, pour ses mémoires sur le problème de la marche du cavalier et sur les ponts de Königsberg [8], Vandermonde, pour son approche arithmétique de questions textiles ou encore Condorcet. Poinsot donne ici l’image d’une géométrie fortement ancrée dans la tradition des récréations mathématiques [9]. Dans son mémoire de 1810, la géométrie de situation sert cependant à obtenir des résultats de géométrie pure, sur la théorie des polygones et polyèdres réguliers [10].

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Les ponts de Königsberg. Illustration issue de la traduction française du mémoire d’Euler publiée dans les Nouvelles annales de mathématiques en 1851

2. Des « nouveaux » polygones et polyèdres réguliers

Dans ce texte, Poinsot introduit son texte par une définition d’un polygone :

 Soient m points a, b, c, d, e, &c. rangés comme on voudra dans un plan : j’appelle polygone la figure formée par la suite continue des m droites ab, bc, cd, &c., qui joignent tous ces points deux à deux, de manière que la figure soit fermée [11].

Ici, son objectif est d’inclure, parmi les polygones convexes, les polygones étoilés [12]. Pour cela, il considère les polygones convexes comme ceux n’ayant aucun angle rentrant [13], sans se limiter aux polygones « dont le contour ne peut être traversé par une droite en plus de deux points » [14]. Ainsi, pour chaque ordre de polygone - l’ordre correspondant au nombre de côtés -, il est possible de dénombrer les espèces de polygones, une espèce regroupant les polygones dont la somme des angles est la même : pour un ordre m donné, il existe autant d’espèces de polygones qu’il y a de nombres premiers à m et inférieurs à (m-1)/2. En effet, obtenir un polygone convexe régulier de m côtés à partir de m points rangés régulièrement en cercle revient à joindre ces m points de h en h, où h est premier à m, afin de passer une fois par chaque point avant de revenir au point de départ. Or joindre les points de h en h ou de m-h en m-h permet d’obtenir le même polygone. Ainsi, dans le cas de l’heptagone, il existe trois espèces différentes : l’heptagone non étoilé, obtenu en joignant les points de un en un - ou de six en six -, l’heptagone de deuxième espèce, en joignant les points de deux en deux - ou de cinq en cinq -, et l’heptagone de troisième espèce, en joignant les points de trois en trois - ou de quatre en quatre (voir figure ci-dessous).

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Les trois espèces d’heptagones réguliers selon Poinsot (1810)

Dans la suite de son mémoire, Poinsot énonce des propositions relatives à la « construction des nouveaux polyèdres réguliers » [15]. Comme la question de la construction à la règle et au compas des polygones réguliers, la détermination de tous les polyèdres réguliers est une question ancienne, déjà présente dans les Éléments d’Euclide (IIIe siècle avant J.-C.). Par exemple, dans ses Éléments de géométrie, Legendre démontre qu’il n’existe que cinq polyèdres réguliers [16] : le tétraèdre, l’octaèdre, l’icosaèdre, le cube et le dodécaèdre. Par polyèdre régulier, Legendre entend un polyèdre dont toutes les faces sont des polygones réguliers égaux, dont tous les angles solides sont égaux, et qui est convexe dans le sens suivant :

 Tous les polyèdres que nous considérons sont des polyèdres à angles saillants ou polyèdres convexes. Nous appelons ainsi ceux dont la surface ne peut être rencontrée par une ligne droite en plus de deux points.  [17]

Poinsot s’appuie à nouveau sur une définition légèrement différente de la convexité, en considérant qu’un polyèdre est convexe lorsque tous ses angles dièdres sont inférieurs à deux angles droits. Cela lui permet de construire quatre nouveaux polyèdres réguliers, étoilés, dont les faces sont des polygones réguliers, étoilés ou non. Notons d’ailleurs que le 11 février 1811, le jeune Louis-Augustin Cauchy lit à son tour un mémoire à l’Académie dans lequel il démontre justement qu’il n’existe pas d’autres polyèdres réguliers que ceux listés par Poinsot deux ans plus tôt [18].

3. Des liens avec l’algèbre, la théorie des nombres et la mécanique

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Illustration de la définition géométrique de nombre premier par Poinsot dans le cas où m=11 et h=3. Si, à partir de a, on joint les points de 3 en 3, on passe par les onze points avant de revenir à a. C’est le cas pour tout nombre h inférieur à 11, donc le nombre 11 est premier.

Mais revenons à la partie du travail de Poinsot concernant les polygones, dans laquelle il développe des analogies avec l’algèbre, la théorie des nombres et la mécanique. Poinsot souligne le lien existant entre la formation des différents polygones réguliers d’ordre m et les relations entre les racines de l’équation binôme xm-1=0. Il dresse par exemple un parallèle entre l’équation x6-1=0 où « toutes les racines imaginaires ne sont pas propres à reproduire, par leurs puissances successives, toute la série des racines » [19] et le fait qu’il n’existe pas d’hexagone régulier étoilé. Il propose également plus loin une « définition géométrique d’un nombre premier » [20], établissant ainsi un lien entre géométrie des polygones et théorie des nombres : un nombre h est premier à m si et seulement si, lorsqu’on on joint « de h en h, m points rangés en cercle dans l’ordre a, b, c, d, e, & c., on [passe] par tous ces points avant de revenir au premier » [21]. Un nombre m est premier si cette situation se reproduit pour tous les nombres h inférieurs à m.

Enfin, il développe également une application à une question mécanique, liée aux polygones funiculaires que Poinsot aborde par ailleurs dans ses travaux de statique : « Il s’agit de conduire, entre des points situés comme on voudra dans l’espace, un même fil flexible qui les unisse deux à deux de toutes les manières possibles, de sorte que les deux bouts du fil viennent à la fin se rejoindre, et qu’ainsi la longueur totale soit égale à la somme de toutes les distances mutuelles » [22].

Ainsi, à partir de ce travail sur les polygones, Poinsot insiste sur des analogies existant entre certaines parties de la géométrie, de l’algèbre, de la théorie des nombres et de la mécanique, à travers les notions d’ordre et de situation. Cette mise en avant d’analogies représente plus généralement une constante dans ses publications ultérieures d’algèbre et de théorie des nombres. En particulier, il utilisera en 1845 sa définition géométrique de nombres premiers pour obtenir des démonstrations de théorèmes arithmétiques fondamentaux « tirées de la considération de l’ordre » [23].

Des démonstrations arithmétiques fondées sur l’ordre et la situation (1845)

Écarté de l’Inspection générale en 1824 pour des raisons politiques [24], Poinsot est à nouveau nommé à des positions liées à l’enseignement au début des années 1840 - membre du conseil royal de l’Instruction publique, juge pour le concours de l’agrégation et chargé des programmes d’enseignement de mathématiques pour les classes de grammaire et d’humanités des collèges. C’est également en 1841 que Poinsot présente à l’Académie l’introduction de ses Réflexions sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres, publiées dans leur totalité dans le Journal de mathématiques pures et appliquées en 1845.

1. Une promotion de la théorie des nombres

Ce mémoire d’une centaine de pages est un manifeste en faveur de la théorie des nombres, domaine qui devrait selon Poinsot intégrer l’enseignement. Pour aller contre l’idée de beaucoup de savants pour qui cette partie des mathématiques est une « spéculation singulière, qui ne se lie en rien ni dans l’Analyse ni dans la Géométrie, et qui n’offre ainsi à l’esprit que des vérités plus curieuses qu’utiles » [25], il rappelle des résultats qui mettent au contraire en valeur des liens entre ces différents domaines, comme par exemple la méthode de Gauss pour la résolution algébrique des équations binômes. Ce dernier a en effet publié en 1801 un traité de théorie des nombres - les Disquisitiones arithmeticae ou Recherches arithmétiques en français - dont la dernière section est consacrée à « la théorie de la division du cercle, ou des polygones réguliers » [26] Gauss y propose ainsi la solution d’un problème ancien de géométrie : déterminer si un polygone régulier de n côtés est constructible à la règle et au compas. Il traduit cette question en termes algébriques - des conditions sur la résolution algébrique de l’équation binôme xn=1 -, dont il propose une solution fondée sur la considération d’objets de la théorie des nombres : les racines primitives [27] de nombres premiers.

Poinsot propose une classification binaire des mathématiques, dont une partie repose sur les notions de grandeurs, quantités et rapports quand l’autre est fondée sur les idées de nombre, ordre et situation. La science mathématique de l’ordre et de la situation comprend l’arithmétique transcendante qu’est la théorie des nombres, l’algèbre supérieure, la géométrie de situation et la mécanique basée sur la géométrie de situation. Nous retrouvons ainsi les sujets traités dans son mémoire de 1810.

2. Des démonstrations naturelles des principes fondamentaux de la théorie des nombres

L’objectif mathématique du mémoire de Poinsot est annoncé dès les premières lignes : donner des démonstrations des « principales propositions qui servent de base à la théorie des nombres », « qui [...] paraissent à la fois plus simples et plus directes » [28]. Son mémoire est en effet composé de quatre chapitres, dont les trois premiers contiennent des preuves de résultats arithmétiques considérés comme fondamentaux. Certaines de ces preuves sont reprises d’auteurs comme Euler ou Lagrange. Dans le deuxième chapitre, Poinsot expose de nouvelles démonstrations encore « plus simples et plus directes », fondées sur deux propositions fondamentales : la propriété de commutativité de la multiplication et le théorème selon lequel si deux nombres a et b sont premiers à un nombre entier c, alors leur produit ab est également premier à c. Il clôt ce chapitre par une preuve de ces deux résultats tout en remarquant que le second peut être « tiré […] de principes plus simples puisés dans la considération de l’ordre » [29]. Pour Poinsot, fonder l’arithmétique sur ces principes permet de justifier l’importance de cette partie des mathématiques. Ainsi, si, selon Poinsot, les preuves contenues dans le deuxième chapitre remplissent le critère de simplicité, Poinsot souhaite aller plus loin :

 Il semble que les démonstrations précédentes sur les premières propriétés des nombres soient aussi simples qu’on puisse le désirer. Elles rattachent les théorèmes à quelques principes élémentaires, et elles en font voir en quelque sorte la liaison et la dépendance mutuelle. […] Mais il me semble que ces théorèmes ont une source plus profonde dans la science des mathématiques, et qu’ils doivent tenir à des principes d’un ordre plus élevé, de manière à ce qu’on voit que ce n’est point un hasard que l’esprit s’est attaché à ces spéculations, qu’elles ne soient point de pure curiosité, mais puisées dans la nature même des choses, et qu’elles forment une partie fondamentale de la science mathématique considérée de la manière la plus générale [30].

Avec ses nouvelles preuves fondées sur l’ordre, la place fondamentale de la théorie des nombres dans les mathématiques est justifiée puisque ses principes élémentaires peuvent être obtenus à partir de la seule considération de l’ordre.

Ces démonstrations reposent justement sur l’application de la définition géométrique de nombre premier donnée par Poinsot en 1810 et sur les polygones étoilés. Il introduit la configuration sur laquelle il va s’appuyer dans tous ses raisonnements :

 Considérons donc plusieurs objets a, b, c, d, e, etc., situés d’une manière quelconque dans l’espace, et regardons-les d’abord dans un certain ordre tel que celui-ci : a, b, c, d, e, etc., de manière qu’après a vienne b, ensuite c ensuite d, etc. : et comme ici nous n’avons en vue que le nombre et l’ordre, supposons que tous ces objets soient égaux, à égale distance l’un de l’autre, et simplement représentés par N points a, b, c, d, e, etc., rangés en cercle, et formant ainsi les sommets d’un polygone régulier de N côtés [31].

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Poinsot ne joint pas d’illustration à sa démonstration. Voici cependant une représentation graphique de son raisonnement, dans le cas particulier où N=7, α=5 et β=2.

À partir de cette configuration, Poinsot obtient plusieurs résultats fondamentaux de théorie des nombres - comme une caractérisation du plus grand commun diviseur de deux nombres entiers par exemple. Pour donner une idée de la forme des raisonnements de Poinsot, voici la démonstration qu’il propose pour le principe utilisé dans les démonstrations du deuxième chapitre : si α et β sont deux nombres premiers à un même nombre N, alors le produit αβ est également premier à N. Il suffit de considérer un sommet de départ, puis de parcourir le polygone de N sommets de α en α. Comme, par hypothèse, α et Ν sont premiers entre eux, on forme ainsi un nouveau polygone à Ν côtés. Sur ce polygone à Ν côtés, on va de β sommets en β sommets : comme β et Ν sont premiers entre eux, on obtient à nouveau un autre polygone de Ν côtés, en étant passé une unique fois sur chaque sommet. Or, considérer des intervalles de α sommets, puis, à partir de ces intervalles, considérer des intervalles de β sommets, revient à considérer des intervalles de αβ sommets. Comme on obtient un polygone de Ν côtés, en passant une seule fois par chaque sommet, le produit αβ est bien premier à N.

Il s’appuie sur la même méthode pour résoudre une équation indéterminée du premier degré à deux inconnues. Notons d’ailleurs que ce sujet est intégré dans les programmes de mathématiques spéciales depuis 1843. Poinsot commence par rappeler que la résolution de l’équation Lx-My=NL et M sont premiers entre eux, se ramène à celle de l’équation Lx-My=1, où L et M sont toujours premiers entre eux. Pour déterminer une valeur de x, il suffit de considérer M points a, b, c, ..., m rangés en cercle et de les joindre de L en L : puisque L et M sont premiers entre eux, on obtient un polygone étoilé. Une valeur de x est alors donnée par l’écart λ séparant a et b dans ce nouveau polygone. En effet, prendre les points de L en L, puis de λ en λ, revient à les joindre de en , c’est-à-dire de 1 en 1. Donc Lλ=1+kM, où k est un nombre entier. On peut en déduire la valeur de y, ou bien la déterminer directement en utilisant le même procédé. Poinsot propose un exemple, avec l’équation 12x-7y=1. À partir des points a, b, c, d, e, f, g rangés dans cet ordre, on obtient un nouvel ordre en les prenant de 12 en 12, soit de 5 en 5 : a, f, d, b, g, e, c. L’intervalle séparant a de b étant de 3, on en déduit qu’une valeur de x est 3, puis on obtient la valeur correspondante de y : 5.

Ces démonstrations permettent donc à Poinsot d’affirmer que :

 la théorie de l’ordre est la source naturelle des propriétés des nombres, et des principes fondamentaux de l’analyse. [32]

Ici, la théorie de l’ordre est placée comme fondement permettant d’obtenir les principes élémentaires de la théorie des nombres, en s’appuyant sur la représentation modèle d’objets disposés en cercle et sur la définition géométrique de nombre premier introduite en 1810. Il est intéressant de souligner la rhétorique utilisée ici par Poinsot dans ses discours de justification : des preuves fondées sur quelques « principes élémentaires » pour des résultats dont l’étude est « puisée dans la nature même des choses ». Ainsi, des principes élémentaires permettent de donner une image unifiée d’un ensemble de résultats souvent qualifiés de disparates et sont fondées sur des notions naturelles, dont la plus générale est la notion d’ordre [33].

La géométrie de situation, un « Protée » des mathématiques

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La liste des huit géométries publiée par Terquem dans les Nouvelles annales de mathématiques en 1859 (Série I, Volume 18, p. 445-446)

Si cette approche de Poinsot connaîtra une postérité limitée, ces deux textes ont été cités par plusieurs auteurs au XIXe siècle, pour les résultats qu’ils contiennent et pour le programme d’une mathématique de l’ordre que Poinsot y propose, en théorie des nombres, en algèbre ou encore en géométrie de situation. Par exemple, les démonstrations arithmétiques fondées sur la géométrie de situation sont reprises par plusieurs mathématiciens comme Johann August Grünert (1846), Henry J. S. Smith (1859) ou encore Paul Bachmann (1892). D’autres auteurs, évoluant dans différents milieux mathématiques, soulignent l’importance de la géométrie de situation. Par exemple, Camille Jordan [34] s’y réfère dans sa Notice sur travaux alors qu’il se présente à l’Académie des sciences en 1881. Plusieurs savants convoquent également la géométrie de situation dans le cadre de l’enseignement et la diffusion des mathématiques. Ainsi, Olry Terquem, un des fondateurs du journal Nouvelles annales de mathématiques à destination des enseignants et étudiants préparant les concours d’admission aux Écoles polytechnique et normale, publie plusieurs textes en lien avec la géométrie de situation dans son journal. Il résume par exemple le mémoire de Poinsot de 1810 ou encore un texte de Cayley publié en 1846 dans le Journal für die reine und angewandte Mathematik [35]. Il publie également une liste de huit géométries dont la géométrie de situation qui mériteraient de voir leurs principes présentés dans les traités élémentaires.

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Édouard Lucas (1842-1891)

La géométrie de situation permet, sous des formes variées selon les auteurs, de lier entre eux des résultats relevant de la théorie des nombres, de la combinatoire, de l’algèbre et de la géométrie. Elle est également le plus souvent associée à des problèmes relevant de ce qui est souvent qualifié de récréations mathématiques, comme le problème de la marche du cavalier ou celui des huit reines [36]. Si la géométrie de situation est un pan de ce qui relève de la théorie de l’ordre chez Poinsot, d’autres travaux illustrant cette approche des mathématiques sont développés par Lucas ou Laisant notamment. Chez Lucas, elle est l’objet de l’introduction de ses Récréations mathématiques (1891) et elle constitue le septième chapitre de sa Théorie des nombres (1891), qui regroupe des résultats sur les échiquiers arithmétiques, les polygones et polyèdres ou encore les réseaux.

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Charles-Ange Laisant (1841-1920)

Laisant produit également de nombreux résultats fondés sur une approche graphique de la théorie des nombres ; il donne d’ailleurs une jolie description de ce « Protée » des mathématiques :

 cette branche si intéressante de la mathématique [...] se rattache à la géométrie par son titre, à l’analyse des combinaisons, et par conséquent à l’Algèbre, par une grande partie des objets qu’elle étudie, à l’Arithmologie par plusieurs de ses conséquences. Enfin, elle rend des services importants dans la Théorie des fonctions et dans les applications géométriques du Calcul infinitésimal. [...] C’est une sorte de Protée affectant des formes diverses, suivant le but poursuivi [37].

Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement les différents relecteurs de cet article : Sébastien Gauthier, Baptiste Mélès, Gérard Meyer et Stéphane Vinatier.

Article édité par Sébastien Gauthier

Notes

[3À ce sujet, voir par exemple Grattan-Guinness, Igor. 2014. « From anomaly to fundament  : Louis Poinsot’s theories of the couple in mechanics », Historia Mathematica, vol. 41, p. 83‑102.

[4La loi du 10 mai 1806 réalise le projet napoléonien d’une Université impériale, définie comme « un corps chargé exclusivement de l’enseignement et de l’éducation publique dans tout l’Empire ». Louis de Fontanes est nommé en 1808 Grand-Maître de l’Université et a pour rôle d’assurer la gouvernance de l’Université impériale.

[5Bertrand, Joseph, op. cit., p. 15.

[6Sur la théorie de l’ordre de Louis Poinsot, voir notamment : Boucard, Jenny. 2011. « Louis Poinsot et la théorie de l’ordre   : un chaînon manquant entre Gauss et Galois  ? », Revue d’histoire des mathématiques, vol. 17(1), p. 41‑138 et Boucard, Jenny et Eckes, Christophe. 2015. « La théorie de l’ordre de Poinsot à Bourgoin   : mathématiques, philosophie, art ornemental », Revue de synthèse, VI. 136, p. 403‑447.

[8Le problème de la marche du cavalier consiste à déplacer un cavalier sur un jeu d’échecs tel qu’il passe une et une seule fois sur chaque case. Dans son mémoire intitulé « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis », Euler expose une méthode relevant de la géométrie de situation pour montrer qu’il est impossible de traverser les sept ponts d’un fleuve dont les bras entourent une île de Königsberg, une et une seule fois et de revenir à son point de départ.

[9Sur la question des récréations mathématiques dans l’histoire, nous renvoyons au récent volume d’Historia mathematica intitulé « Explorations on the History of Recreational Mathematics » : http://www.sciencedirect.com/scienc....

[10Notons par ailleurs que Poinsot distingue son approche de la géométrie de position, alors développée par Lazare Carnot. Plus généralement, des débats sont menés autour de différents projets de géométrie dans la première moitié du XIXe siècle. À ce sujet, voir par exemple : Nabonnand, Philippe. 2011. « L’argument de la généralité chez Carnot, Poncelet et Chasles », in Flament et Nabonnand (dir.), Justifier en mathématiques, Paris : Éditions de la Maison des Sciences de l’Homme, p. 11‑42.
et Lorenat, Jemma. 2015. « Die Freude an der Gestalt »  : méthodes, figures et pratiques de la géométrie au début du dix-neuvième siècle, Thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie & Simon Fraser University.

[11Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 18.

[12Poinsot qualifie ces polygones de « figures nouvelles » ; elles ont néanmoins été étudiées antérieurement, et tout particulièrement par Johannes Kepler dans son Harmonices Mundi Libri (1619).

[13Un angle est dit rentrant lorsque sa mesure est comprise entre 180 et 360 degrés, ou, pour reprendre les termes de Poinsot, lorsqu’il est « supérieur à deux droits » (Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 19).

[14Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 19.

[15Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 34.

[17Legendre, Adrien-Marie, op. cit., p. 168.

[18Belhoste, Bruno. 1985. Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle, Paris : Belin.

[19Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 27.

[20Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 28.

[21Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 27-28.

[22Poinsot, Louis, 1810, op. cit., p. 28.

[24Depuis 1820, les ultra-royalistes sont revenus au pouvoir et les sanctions administratives envers les hommes jugés trop libéraux tombent. Poinsot fait partie des trois inspecteurs généraux congédiés en 1824. Ainsi, Joseph Bertrand commente : « L’inspection générale fut enlevée à Poinsot lors de l’avènement de Charles X : il n’affichait pour le trône et pour l’autel, ni hostilité ni dédain ; il regardait la royauté comme un mal nécessaire et la religion comme un bien pour les croyants, dont il n’était pas. Cela ne suffisait pas » (Bertrand, Joseph, op. cit., p. lxxxvij). Par ailleurs, Poinsot soupçonne également que son éviction n’est pas sans lien avec la présence de Poisson - avec qui ses relations étaient tendues - au Conseil royal de l’Instruction publique depuis 1820.

[25Poinsot, Louis, 1845, op. cit., p. 2.

[26Gauss, Carl Friedrich. 1801. Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig : Fleischer, Préface. Cette citation est issue de la traduction française parue en 1807.

[27Un nombre g est dit racine primitive d’un nombre premier p lorsque les restes des puissances successives de g - 1, g, g2, ..., gp-2 - après division euclidienne par p donnent - pas nécessairement dans cet ordre - l’ensemble des nombres entiers de 1 à p-1.

[28Poinsot, Louis, op. cit., p. 1.

[29Poinsot, Louis, op. cit., p. 36.

[30Poinsot, Louis, op. cit., p. 45.

[31Poinsot, Louis, op. cit., p. 45-46. Si les manuscrits de Poinsot contiennent quelques croquis, Poinsot ne joint pas de figure représentant cette configuration dans ses mémoires publiés.

[32Poinsot, Louis, 1845, op. cit., p. 53.

[33Notons que d’autres auteurs du XIXe siècle proposent une imagé unifiée de la théorie des nombres à partir d’un nombre restreint d’objets et propriétés mathématiques. Le plus connu est Gauss, qui construit sesDisquisitiones arithmeticae autour des congruences et des formes quadratiques. Par ailleurs, on observe des caractéristiques semblables dans des travaux de géométrie de la même période (voir notamment : Nabonnand, Philippe, op. cit.).

[34Sur Jordan et ses rapports à la théorie de l’ordre et la géométrie de situation, voir par exemple : Un portrait kaléidoscopique du jeune Camille Jordan.

[36Ce problème consiste à placer huit reines sur un jeu d’échecs de manière à ce qu’aucune ne menace les autres, selon les règles usuelles des échecs.

[37Ces propos de Laisant sont issus de son ouvrage : La Mathématique : philosophie-enseignement publié en 1898 et sont cités dans : Auvinet, Jérôme. 2011. Charles-Ange Laisant. Itinéraires et engagements d’un mathématicien, d’un siècle à l’autre (1841-1920), Thèse de doctorat, Université de Nantes. J. Auvinet a analysé de manière approfondie les pratiques de Laisant en lien avec ce qu’il a nommé les « mathématiques discrètes ».

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Pour citer cet article :

Jenny Boucard — «Une géométrie de l’ordre et de la situation au XIXe siècle. Polygones et théorie des nombres chez Louis Poinsot» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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