Une horloge à l’Institute for Advanced Study

Piste bleue 4 octobre 2014  - Ecrit par  Serge Cantat Voir les commentaires (6)

L’Institute for Advanced Studies est situé à Princeton, entre New-York et Philadelphie.
C’est un institut de recherche pour les mathématiques, les sciences naturelles, l’histoire et les sciences sociales... J’y ai trouvé une horloge mathématique.

Au département de mathématique de l’Institute for Advanced Studies (IAS) se trouve une salle commune où l’on peut venir prendre le café (pas très bon), passer le temps devant un problème d’échecs, ou réfléchir en groupe assis autour d’une table à proximité d’un tableau noir. À l’heure où j’écris ces lignes, début septembre, il n’y a pas encore grand monde qui la fréquente [1]. On s’y trouve donc un peu seul, en intimité avec une sculpture représentant André Weil.

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André Weil est un mathématicien français qui a passé une large partie de sa carrière aux Etats-Unis, la terminant d’ailleurs à l’IAS. Il travaillait dans le domaine de la géométrie et de la théorie des nombres et aurait très certainement apprécié les mathématiques développées par Manjul Bhargava et Maryam Mirzakhani (voir ici et pour des articles récents !). Dans cette salle commune, André Weil fait face à une horloge :

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C’est la première horloge de ce type que j’ai été amené à contempler. J’en connaissais d’autres d’allure semblable mais en fait très différentes. Un des modèles standards propose des formules pour les nombres de $1$ à $12$ (par exemple $\sqrt{9}+9/9$ ou encore $\ln(e^4)$ pour quatre heures) ; un autre propose un petit quiz pour chaque heure de la journée (par exemple, résoudre une équation du second degré).
Le modèle de Princeton est doublement original : les nombres employés ne correspondent pas aux heures rondes et ne sont donc pas répartis régulièrement autour de l’horloge ; plusieurs d’entre eux utilisent des « constantes mathématiques classiques », mais il faut une culture solide pour les reconnaître. Il y a le nombre $\pi$, qui vaut environ $3.141592$, et correspond au périmètre d’un cercle de diamètre une unité. Ce n’est pas le plus difficile !
Il y a aussi la constante $\gamma$, et c’est d’elle dont il sera question dorénavant.

La constante $\gamma$ d’Euler-Mascheroni

Pour cela, considérons le graphe de la fonction qui à un nombre réel $x$ (on prendra
$x$ strictement positif) associe son inverse $1/x$. Afin de tracer ce graphe, on fixe les deux axes de coordonnées : l’axe des abscisses (l’axe des $x$) sera tracé horizontalement ; l’axe des ordonnées (l’axe des $y$) lui est perpendiculaire. Le graphe de la fonction $1/x$ est la courbe constituée des points dont l’ordonnée est inverse de l’abscisse. C’est une branche d’hyperbole.

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Graphe
Voici, en bleu, le graphe de la fonction 1/x pour x inférieur à 7. Un point est sur la courbe si le produit de son abscisse x par son ordonnée y vaut 1.

Nous nous intéressons maintenant à l’aire de la zone bordée par l’axe des abscisses, la droite verticale d’abscisse égale à $1$ et le graphe précédent. L’aire totale est infinie. On tronque donc la superficie étudiée en ne considérant que les points
d’abscisse au plus $x$ : l’aire obtenue est, par définition, le logarithme de $x$,
noté $\ln(x)$. Sur la figure suivante, on a choisi $x=4,87$.

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Aire et logarithme
L’aire à calculer est hachurée : c’est l’aire sous la courbe bleue entre la verticale verte à gauche et celle de droite. Puisque l’abscisse du segment de droite est égale à 4,87 cette aire est le logarithme de 4,87.

La fonction qui à $x$ associe $\ln(x)$ n’est pas facile à calculer. Avant l’apparition des calculatrices et ordinateurs, les scientifiques utilisaient d’ailleurs des
« tables de logarithmes » volumineuses :

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Table de logarithmes (Henry Briggs)

Nous pouvons toutefois tenter un calcul approximatif de l’aire $\ln(x)$. Pour simplifier, supposons que $x$ est un nombre entier, par exemple $6$, et cherchons une valeur approchée de $\ln(6)$.

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Méthode des rectangles
Attention, les échelles pour les ordonnées et les abscisses sont distinctes (le premier
rectangle devrait être un carré si les échelles étaient identiques).

Les valeurs successives de la fonction $1/x$ aux entiers sont
$1$, $1/2=0,5$, $1/3=0,333...$, $1/4=0,25$, $1/5=0,2$, etc. Lorsque $x$ est entre
deux entiers consécutifs $a$ et $a+1$, par exemple entre $a=4$ et $a+1=5$, les valeurs prises par $1/x$ sont inférieures ou égales à l’inverse du premier entier, ici à
$1/a=1/4$ ; géométriquement, ceci signifie que le graphe de $1/x$ est situé sous la droite horizontale située à l’altitude (à l’ordonnée) $1/a$. Les rectangles représentés sur la figure précédente recouvrent donc la zone dont on cherche à calculer l’aire ; ainsi
\[ \ln(6)\leq 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5\]
car les aires respectives de ces rectangles valent $1$, $1/2$, $1/3$, ... (la base du
rectangle vaut toujours $1$). En effectuant l’addition, nous obtenons donc
\[ \ln(6)\leq 2,1833...\]
En fait, la valeur exacte à la quatrième décimale est $\ln(6)= 1.7917...$

Notre méthode d’approximation est assez grossière, et l’erreur est donc conséquente.
Que se passe-t-il lorsque l’on applique cette méthode à un nombre entier très grand, par exemple à $x=12744784317$ ? Les erreurs effectuées s’additionnent. À chaque rectangle correspond une petite erreur, égale à l’aire qui « dépasse » entre le graphe de $1/x$ et la partie supérieure du rectangle ; l’erreur totale effectuée est la somme de ces petites aires : elle est donc toujours inférieure à $1$ et est un peu plus grande qu’un demi (pourquoi ? [2]).
Cette erreur totale, lorsque $x$ devient arbitrairement grand, est la constante $\gamma$ d’Euler et Mascheroni [3]. Un calcul précis nous apprend qu’elle vaut approximativement $0,5772156$.

La constante $\gamma$ apparait régulièrement en mathématiques : elle a déjà été mentionnée sur ce site pour un problème qui intéressera les collectionneurs ; elle apparait en statistiques, en théorie des nombres lorsqu’on cherche à évaluer la proportion de nombres entiers satisfaisant une propriété arithmétique donnée [4], dans l’évaluation de certaines intégrales, etc. Elle est difficile à évaluer numériquement mais l’on connait tout de même les $10^{12}$ premières décimales de $\gamma$ depuis 2013. On ne sait pas si c’est un nombre rationnel ...

Retour à l’horloge

Ainsi, lorsque la petite aiguille de l’horloge de l’IAS passe devant $\gamma$, il est
$0,5772...$ heure de l’après midi : il est donc en fait midi et $34$ minutes et quelques secondes. Lorsque l’aiguille passe devant $\ln 10$, nous devons calculer le logarithme
de $10$ (il vaut à peu près $2,30$) pour en déduire qu’il est $2$ heures et $18$ minutes environ.

Le nombre $e$ qui apparait sur l’horloge est défini par le fait que
son logarithme vaut $1$ : c’est le nombre pour lequel l’aire sous le graphe de $1/x$
entre $1$ et $e$ vaut une unité. Ce nombre $e$ est la constante d’Euler, il vaut à peu près $2.71828$, et est donc convenablement situé entre $\ln (10) $ et $\pi$ sur l’horloge. Reste le nombre $\phi$ : c’est le nombre d’or ! (voir ici, , ou pour des
apparitions de $\phi$ sur Images des Mathématiques)

Puisqu’on sait lire l’heure sur une horloge même non graduée, on peut aussi utiliser l’horloge pour évaluer ces constantes. Par exemple, lorsqu’il est 2 heures et 20 minutes, l’aiguille des heures est en face de $\ln 10$ ; la valeur approchée
$\ln 10 = 2,3$ s’en déduit. L’horloge est donc en fait une sorte de calculette.

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction d’lmages des Mathématiques remercient les relecteurs Matthieu Jacquemet et Romain Bondil pour leur relecture attentive et leurs commentaires constructifs.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Je triche un peu : les photographies, elles, datent de ma dernière visite en Avril

[2La zone correspondant à chaque erreur élémentaire peut être translatée horizontalement sur la gauche de la figure, au sein du rectangle initiale de
hauteur $1$. Ces zones ne se chevauchent pas, et leur aire totale est donc inférieure
à l’aire du premier rectangle, soit $1$.

[3Euler a étudié cette constante aux alentours de 1730, et ne la notait d’ailleurs pas $\gamma$ (il utilisait la lettre $C$). Mascheroni, un moine italien né en 1750 a rédigé des Adnotationes ad calculum integrale Euleri qui furent ajoutées en annexe des œuvres d’Euler : puisqu’une part importante des textes de Mascheroni concerne la constante $\gamma$ (il a par exemple déterminé une vingtaine de décimales de $\gamma$), le nom d’Euler-Mascheroni a été donné à cette constante. Il faut dire aussi qu’Euler avait déjà donné son nom à pas mal de choses ... Mascheroni notait d’ailleurs $\gamma$ par la lettre $A$. Il semblerait que l’un des premiers à utiliser la lettre $\gamma$ soit Carl A. Bretschneider. (voir « How Euler did it ? Gamma the constant », par Ed Sandifer)

[4Par exemple, le théorème des nombres premiers stipule que la proportion de nombres premiers entre $0$ et $n$ décroit comme $1/\ln(n)$

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Pour citer cet article :

Serge Cantat — «Une horloge à l’Institute for Advanced Study» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Commentaire sur l'article

  • Une horloge à l’Institute for Advanced Study

    le 4 octobre 2014 à 16:34, par ewill

    Bonjour
    j’avais trouvé ce genre d’horloge sur un site américain mais je n’ai jamais réussi à en commander une. Est-ce possible ??
    Cordialement
    Emmanuel Will

    Répondre à ce message
    • Une horloge à l’Institute for Advanced Study

      le 5 octobre 2014 à 04:02, par Jean-Paul Allouche

      Bonjour

      Avez-vous essayé ce site pour une horloge un peu différente mais ayant aussi des graduations inégales ?

      Répondre à ce message
      • Une horloge à l’Institute for Advanced Study

        le 5 octobre 2014 à 04:09, par Jean-Paul Allouche

        PS il y a aussi ce site. Certes je ne sais pas si l’un ou l’autre de ces sites sont fiables.

        Répondre à ce message
    • Une horloge à l’Institute for Advanced Study

      le 5 octobre 2014 à 19:14, par Serge Cantat

      Merci Emmanuel pour la question, et merci à Jean-Paul pour la réponse ! J’avais également cherché ce type d’horloge sur internet, sans trouver de site qui la vende.

      Serge

      Répondre à ce message
  • Une horloge à l’Institute for Advanced Study

    le 7 octobre 2014 à 17:51, par Quentin

    Bonjour,

    si j’en crois la photo de Weil, on peut jouer à autre chose qu’aux échecs dans cette salle. ;-) (est ce tic tac boum ?)

    Et pour la rationnalité de gamma : est ce juste un problème ouvert amusant que l’on peut expliquer en première année d’université ou est ce que ca aurait des conséquences intéressantes dans les domaines cités dans l’article (en particulier théorie des nombres) ?

    Cordialement,

    Quentin

    Répondre à ce message
    • Une horloge à l’Institute for Advanced Study

      le 15 novembre 2014 à 02:08, par Serge Cantat

      C’est un jeu qui s’appelle ’ticket to ride’ ou qqch. comme cela en anglais . En français, il s’agit du jeu ’les aventuriers du rail’. Un jeu sympa !

      Pour la constante gamma, je ne pense pas que le problème de l’irrationalité soit lié ´a d’autres questions intéressantes (par exemple, pi est une période en géométrie algébrique, ou de manière plus concrète est le périmètre d’un cercle de rayon un demi ; pour gamma, rien de ce genre que je connaisses). Mais justement, cela montre qu’il faut de nouvelles idées pour comprendre la structure arithmétique de gamma.

      Merci pour les questions, et désolé pour le réponse tardive,

      Serge

      Répondre à ce message

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