Une image mathématique

22 janvier 2015  - Ecrit par  Sylvain Barré Voir les commentaires

C’est d’une image mathématique dans le sens métaphore dont je voudrais parler ici.

Pour commencer et pour introduire le sujet, signalons cette première plus connue il me semble : les anneaux borroméens. Trois cercles forment un entrelacs qui trouve sa cohésion grâce au concours de chacun de telle sorte que si l’un d’eux venait à se retirer, tout se déliterait. Nous avons besoin de chacun d’entre nous pour que l’édifice se tienne (en théorie des nœuds, on parle d’entrelacs brunnien).

Décrivons maintenant un premier objet mathématique qui va fournir à lui seul deux images.
Le TAQUIN : cet objet vous a été présenté sur ce site en novembre 2011.

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La conclusion est que si vous démontez le taquin, vous avez alors une chance sur deux, en le remontant de façon aléatoire qu’il soit faisable (c’est-à-dire qu’on puisse le ramener à sa position initiale par les glissements de carrés dans la case vide). Plus précisément, si vous échangez deux cases, vous transformez une situation faisable en une autre infaisable (et inversement :-).

Nous déduisons donc de cela que si un taquin comporte deux carrés indistinguables, il sera toujours faisable (échangez les deux carrés identiques si vous êtes bloqués !)

Je vois deux images dans cet objet.

Vous commencez à résoudre le taquin, il ne vous reste que les trois derniers carrés à placer et mince, ils ne sont pas dans le bon ordre cyclique. Vous êtes tentés de conclure que le taquin a été démonté et mal remonté, car vous connaissez la théorie du taquin. Or vous n’avez pas vu qu’il y avait deux cases identiques. Sans vous en apercevoir, vous avez placé l’une à un endroit et l’autre à l’autre et ce n’est pas anodin.

La première image est donc celle-là. Devant une impossibilité, vous pouvez

- soit apporter la preuve de cette impossibilité (sans vous apercevoir que vous faites une
hypothèse implicite sur les places des faces indifférenciées),

- soit vous vous autorisez une « astuce » qui semble vaine (échanger deux cases identiques !) qui apporte pourtant la solution.

Il y a des actions qui ne sont pas triviales, mais il faut être initié pour le voir.

Alors, ne dites plus : « Inutile de faire ça, ça ne sert à rien ! » Si on regardait de plus haut, l’action pourrait se révéler très utile !

Ce même objet nous donne une seconde image.
Si vous n’arrivez pas à résoudre un problème, on vous donne une indication, ou parfois on apporte une simplification au problème. « Placez-vous dans le cas particulier où ..., ce sera plus simple. » Ou bien, « faites comme si ... »
Pour le taquin, on pose des caches sur deux des faces (les 0 et 14 par exemple) et on présente cela comme une simplification, une aide :
« Ne vous souciez plus de placer ces deux-là, même s’ils sont inversés, nous considérerons que vous avez résolu le problème. »

Vous avez cru apporter une aide, alors que vous avez en fait compliqué le problème au point de le rendre parfois insoluble pour certains qui croyaient pourtant avoir compris !

Ceci du point de vue de celui qui pose les colles. Mais parfois, c’est celui qui cherche à résoudre qui se simplifie le problème lui-même, en cherchant des solutions dans un cas particulier. Il peut alors conclure à tort à l’impossibilité car son problème semble déjà sans solution dans une version allégée.

Pour finir, je donnerai un autre exemple, encore en théorie de groupes. Le Rubik’s cube remplace le taquin. Il existe des Rubik’s cubes qui ont des faces centrales indifférenciées (absentes complètement !)
Ce cube paraît donc plus simple à reconstruire... Il n’en est rien ! On peut assez facilement calculer le sous-groupe des permutations des faces centrales, il est d’ordre 24. Mais le sous-groupe composé des permutations des faces centrales qui fixent toutes les autres faces (coins et arêtes) est d’indice deux dans ce dernier. Ainsi, même si les faces centrales sont absentes, elles jouent un rôle et si vous les placez mal, il y a un risque (une chance sur deux, comme pour le taquin) que vous tombiez sur un os en cherchant à le reconstituer.
Comme indication sur ce dernier problème, je peux vous dire qu’il suffit de permuter cycliquement quatre centres (une opération élémentaire du cube) pour tout débloquer.

Voilà, deux objets qui chacun apportent deux images mathématiques. Vous avez certainement bien d’autres images comme celles-là en tête. Partagez, partagez donc !

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Pour citer cet article :

Sylvain Barré — «Une image mathématique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Sylvain Barré - Rubik’s cube
img_13396 - Sylvain Barré - taquin avec caches

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