Une interview de Patrice Hauret

Des maths appliquées aux pneumatiques

Piste verte Le 12 décembre 2016  - Ecrit par  Romain Dujardin Voir les commentaires

Patrice Hauret, mathématicien et designer de pneus chez Michelin, répond à nos questions.

Si l’interview est piste verte, les blocs dépliants qui permettent d’approfondir les notions évoquées dans les réponses sont piste noire.

Images des Maths) Patrice Hauret, vous avez reçu le prix Félix Klein au 7e Congrès Européen des Mathématiciens, qui s’est tenu à Berlin en juillet dernier. Ce prix récompense “une solution originale à un problème industriel concret et difficile”. Pouvez-vous nous présenter brièvement votre parcours et vos activités ?

Patrice Hauret) Diplômé de l’École des Ponts en 2001, j’ai soutenu ma thèse de Doctorat à l’École Polytechnique sur des questions de mathématiques appliquées à la mécanique des solides, sous la direction de Patrick Le Tallec. J’ai ensuite travaillé deux ans au California Institute of Technology dans le groupe de Michael Ortiz, notamment sur la modélisation des matériaux. J’ai rejoint le Groupe Michelin en 2006, où j’ai successivement été responsable de projets en simulation, coordinateur de nos collaborations extérieures dans le domaine du Calcul Scientifique, puis responsable de l’équipe qui développe nos logiciels de calcul.

Je suis convaincu que la maîtrise des modèles et de leur simulation est un ingrédient indispensable de la maîtrise technologique et de la compétitivité. À ce titre, en collaboration avec les équipes de physiciens ou des infrastructures informatiques, nous concevons des modèles avancés et les codes de calculs qui les mettent en œuvre ; ils sont mis à disposition de l’ensemble des ingénieurs qui conçoivent nos pneumatiques. En outre, nous travaillons avec des laboratoires, partout dans le monde, pour améliorer continûment notre avance sur l’axe de la modélisation et du calcul ; il s’agit de contribuer in fine à la performance de nos produits et à l’efficacité de leur conception.

Depuis quelques mois, j’ai saisi l’opportunité de rejoindre une équipe qui développe les futurs pneumatiques de la marque, afin d’appréhender de plus près le processus de conception, les interactions avec le marketing et la production industrielle. L’occasion aussi d’apprendre la prise de décision dans un environnement de données multiples.

La notion de modèle.

La physique représente le monde qui nous entoure sous la forme de modèles. Ce sont des traductions mathématisées des phénomènes réels, dans le cadre d’hypothèses qui les rendent suffisamment prédictifs (tellement prédictifs qu’ils nous ont mis sur la trace des planètes du système solaire ! Voir cet article de Damien Gayet sur IdM).

Par exemple, Newton a établi qu’un objet indéformable ponctuel de masse $m$ auquel on applique la force $F$ pendant un temps $\tau$ voit varier sa vitesse de $v_0$ à $v_1$ selon le principe fondamental de la dynamique :
\[ m \, v_1 - m \, v_0 = F \, \tau. \]
Si l’objet se trouvait initialement à la position $u_0$, il arrive à la position $u_1$ qui par définition de sa vitesse vaut $u_1 = u_0 + v_1 \, \tau$ ; on obtient
\[ m \, \frac{\frac{u_1 - u_0}{\tau} - v_0}{\tau } = F. \]
C’est vraiment la description historique de Newton, même si on écrirait aujourd’hui, avec la notion de dérivée introduite par Leibniz, que
\[ m \, \frac{d^2u}{dt^2} = F. \]
Ce modèle, pourtant fondateur, possède plusieurs limites :

  • aux vitesses proches de celles de la lumière, Einstein a montré que ce modèle est limité par la contraction des intervalles de temps,
  • la mécanique quantique explique qu’aux très petites tailles (celle des électrons par exemple), les objets n’ont qu’une probabilité de présence qui rend difficile la stricte application de ce principe ; pour autant, on peut montrer qu’il reste vrai « en moyenne ».

Supposons maintenant que l’objet soit un segment élastique constitué de l’ensemble des points $x$ dans le segment $[a,b]$, et qu’on note $k$ le coefficient de raideur élastique, on obtient (sous l’hypothèse de « petites déformations ») que
\[ m \, \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = F \]
où $F= F(t,x)$ est la force appliquée
à tout instant $t \geq 0$ et en tout point $x \in [a,b]$. On trouve ici une version d’une équation connue sous le nom d’ équation des ondes.

IdM) Qu’est-ce qui a motivé vos choix de parcours scientifique ? Quelles sont les thématiques qui vous intéressent ?

PH) Pendant mes études, j’ai eu la chance de faire la rencontre de Claude Le Bris et Eric Cancès au laboratoire de Mathématiques Appliquées de l’École des Ponts ; ils s’intéressent à diverses questions en mécanique quantique et en simulation moléculaire. Ingénieur de formation et fasciné de physique théorique, ce fut pour moi le début de l’aventure.

C’est une passion pour les modèles, leur structure, leur analyse et leur simulation qui a été au cœur de mon parcours. En effet, la physique se représente la réalité sous la forme d’équations qui traduisent des propriétés élémentaires de conservation —masse, énergie— ou variationnelles —un système minimise ou maximise souvent un coût global, d’énergie ou de désordre par exemple.
Les mathématiques appliquées se préoccupent d’analyser ces équations, l’existence de solutions, et la capacité à calculer des solutions approchées sur ordinateur avec une garantie sur la qualité de la prédiction.

Mes propres contributions ont porté sur la mécanique des solides, les méthodes d’approximation, et le rendu des phénomènes multi-échelles. En effet, les systèmes sont parfois bien connus à des échelles assez fines (l’échelle la plus fine d’un matériau composite par exemple) alors qu’on cherche généralement à prédire des grandeurs moyennes à de grandes échelles en espace ou en temps.

Problèmes variationnels

Un problème variationnel est un problème dont la solution s’obtient en optimisant (le plus souvent, en minimisant) une certaine quantité. L’archétype est celui de la
recherche du plus court chemin (géodésique) entre deux points, ou plus généralement entre deux états d’un système abstrait. Voici un exemple en géométrie
élémentaire : le petit Jean voudrait bien aller se rafraichir dans la rivière $R$ en rentrant de l’école $E$ à la maison $M$.
Où doit-il se baigner pour minimiser son temps de trajet ?

En physique, le principe variationnel a été introduit comme fondement de l’optique géométrique par Pierre de Fermat : « La nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples ». Laissant de coté les sous-entendus philosophiques, ceci peut s’interpréter comme :
« la lumière se propage d’un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit (localement) minimale ». Verrez-vous le lien avec notre problème de géométrie élémentaire ?

Pour aller plus loin, allez voir cette brève de Jacques Féjoz sur IdM sur le principe de moindre action et cette magnifique vidéo (en anglais) sur le brachistochrone.

Pour revenir à nos pneumatiques, une propriété fondamentale des solutions de l’équation des ondes (voir le dépliant précédent) est qu’elles annulent la dérivée de la quantité suivante, appelée action :
\[ u\mapsto \int_0^T \int_a^b \left\{ m \, \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2(s,y) - k \, \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2(s,y) \right\} \, dy \, ds,\]
où la « variable » $u$ est une fonction
dont les valeurs sont fixées pour $t=0$ et $t=T$ ainsi qu’éventuellement en $x=a$ et/ou $x=b$.
Cette propriété, identifiée par Lagrange, est riche de conséquences : elle explique notamment la conservation de l’énergie totale
au cours de la dynamique.

IdM) Qu’est-ce qui vous attire dans la recherche industrielle par rapport à la recherche académique ?

PH) Précisément, je trouve un grand intérêt au lien entre recherche industrielle et académique, tant je suis convaincu que leurs destins sont liés. Pour ma part, j’ai contribué aux questions de simulation chez Michelin pendant 10 ans, tout en continuant —certes à mes heures perdues— à écrire des articles de recherche, et à soutenir une habilitation [1] en 2011. En outre, j’ai eu la chance de pouvoir accomplir mes missions dans un contexte très ouvert vers l’extérieur. Vous l’aurez compris, je me suis toujours efforcé de conserver un équilibre entre préoccupations industrielles et intérêts académiques.

Ceci étant dit, mon choix du Groupe Michelin a été guidé par l’envie de répondre à des challenges industriels, la force de son département de R&D (NdE : recherche-développement), et l’attrait d’un groupe de simulation dont je connaissais déjà l’activité et la profondeur scientifique.

IdM) Pouvez-vous nous expliquer plus précisément pourquoi et comment les maths interviennent dans la conception d’un pneumatique ?

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Simulation des pressions de contact au sol d’un pneu en roulage

PH) La simulation est la possibilité, à travers des logiciels de calcul, d’anticiper le comportement des systèmes (la météo, les performances des avions, des voitures, ou des pneumatiques). En particulier,
nous prédisons les performances de nos pneumatiques en adhérence sur sol sec ou mouillé, en usure,
en résistance au roulement, en acoustique, ou encore leurs capacités à endurer les chocs et les
conditions d’usage sévère. Pour ce faire, il faut maîtriser les modèles physiques, être capable de comprendre les propriétés des équations qui les constituent, et de concevoir des méthodes mathématiques pour en approcher les solutions ; leur mise en œuvre passe par une implémentation informatique. En outre, un pneumatique doit satisfaire à des compromis de performance, et l’identification des « optimums » est au cœur des décisions à prendre.

Au-delà, comme tout objet industriel, les pneumatiques possèdent une variabilité liée aux matériaux qui les constituent, aux tolérances du procédé, ou à différents effets d’environnement ; leurs performances peuvent donc être légèrement dispersées. Les statistiques nous permettent de quantifier et de contrôler ces dispersions pour garantir la qualité de nos produits.

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Simulation de l’interaction entre un pneumatique en roulage et l’écoulement de l’eau à la surface de la route (crédit Michelin - LHEEA Lab)

IdM) En quoi est-ce un problème difficile de simuler le comportement d’un pneumatique ? Est-ce qu’il ne suffit pas de laisser tourner l’ordinateur suffisamment longtemps ?

PH) Tout d’abord, on ne sait vraiment simuler que ce qu’on comprend bien, à la fois sur le plan du modèle, de ses hypothèses, que des propriétés de la méthode numérique. Quelques fois, la physique présente des instabilités (penser au flambement d’une longue règle en plastique lorsqu’on essaye de la comprimer [2]), d’autres fois ce sont les méthodes numériques. Faire la part des choses et réaliser des analyses pertinentes nécessite une expertise qui n’a rien à voir avec le temps de calcul.

Par ailleurs, les pneumatiques sont des objets composites d’une grande complexité, ce que peu de gens savent. Ils utilisent des matériaux métalliques, textiles et polymériques de très haute performance, et nos modèles, donc les méthodes mathématiques que nous mettons en œuvre, doivent évoluer autant que les technologies que nous utilisons.

En outre, le calcul occupe une place de plus en plus grande, avec la charge d’anticiper des performances de plus en plus fines.
Pour ce faire, il ne suffit pas de laisser tourner des ordinateurs ; il faut aussi leur apprendre des méthodes plus puissantes, et leur apprendre à collaborer plus efficacement en réseau, ce qui laisse ouverts de nombreux challenges. J’ai eu la chance de contribuer à certains d’entre eux.

Analyse numérique

L’analyse numérique est la branche des mathématiques qui vise à mettre en place des méthodes d’approximation des solutions des problèmes issus de l’analyse. De nos jours, ceci passe par des calculs faits par des ordinateurs, mais c’était déjà une question primordiale à l’époque de Newton ou Euler !

Comme on l’a vu dans l’encadré sur les modèles physiques, ces problèmes prennent souvent la forme d’équations faisant intervenir des fonctions et leurs dérivées. Pour rendre ces notions compréhensibles
par un ordinateur, il faut discrétiser le problème, c’est-à-dire remplacer les objets continus de l’analyse (comme les nombres réels et les fonctions) par des objets discrets (comme les nombres décimaux et les suites).

Par exemple pour l’équation des ondes
découpons le segment $[a,b]$
en sous-intervalles de taille $h = \frac{b-a}{I}$, et l’intervalle de temps en pas de temps
de durée $\tau$. Si alors
on note $u^i_n$ le déplacement du point
$x^i = a + i \, h$ du segment pour $0 \leq i \leq I$ au temps $t_n = n\, \tau$, une approximation du mouvement
est fournie par l’équation
\[ m \, \frac{u_{n+1}^i - 2 u_n^i + u_{n-1}^i}{\tau^2} - k \, \frac{u_{n}^{i+1} - 2 u_{n}^i + u_{n}^{i-1}}{h^2} = F(t_{n+1},x^i).\]
Ce schéma (algorithme de résolution) est explicite : si l’on regarde bien, il permet de calculer explicitement la solution approchée $u_{n+1}^i$
à l’instant $t_{n+1}$ en chaque point $x^i$ en fonction des valeurs aux instants $t_n$ et $t_{n-1}$.

À chacune de ces étapes de calcul (et il y en a en général beaucoup !)
se produisent des petites erreurs dans l’approximation : erreurs d’arrondi ou encore de troncature.
Tout l’art de l’analyste numéricien est de faire en sorte que le cumul de ces petites erreurs ne
conduise pas à des résultats aberrants : c’est le problème de la stabilité numérique. Voici un exemple de deux méthodes numériques pour une même équation : stable à gauche et instable à droite :

Sur ce sujet on pourra aussi consulter un article récent sur IdM de Pierre-Antoine Guihéneuf.

Pour notre équation des ondes, le schéma précédent est instable dans certaines conditions.
On lui préfèrera alors la variante
suivante :
\[ m \, \frac{u_{n+1}^i - 2 u_n^i + u_{n-1}^i}{\tau^2} - k \, \frac{u_{n+1}^{i+1} - 2 u_{n+1}^i + u_{n+1}^{i-1}}{h^2} = F(t_{n+1},x^i).\]
C’est maintenant un schéma implicite : on peut calculer la solution approchée à l’instant $t= t_{n+1}$
moyennant la résolution d’un système linéaire qui fait intervenir les valeurs de $u_{n+1}^i$ pour tous les entiers $i$. Cette
complexité supplémentaire est le prix à payer pour la stabilité !

IdM) Pouvez-vous nous en dire davantage à ce sujet ?

PH) Imaginez que vous ayez à résoudre une équation tout seul. Si elle n’est pas trop compliquée et que vous disposez d’une bonne méthode, vous y arriverez. Si on se met à plusieurs, il y a certains problèmes qu’on sait résoudre beaucoup plus vite. Au contraire, si chacun a besoin, à tout instant, d’informations détenues par les autres, 50 personnes n’iront pas forcément beaucoup plus vite qu’une seule. Faire coopérer des ordinateurs pour résoudre un problème, c’est pareil.

La décomposition de domaines est la branche de l’analyse numérique qui conçoit de telles méthodes et analyse leur efficacité. En outre, ces techniques ont beaucoup en commun avec les méthodes d’analyse multi-échelle, que j’évoquais précédemment. Celles-ci décrivent les interactions entre toutes les échelles, en espace et en temps, d’un système complexe. On peut comprendre intuitivement qu’il y a une similitude entre ces questions.

IdM) Avez-vous parfois besoin de développer de nouveaux résultats théoriques ?

PH) Assurément. Nos travaux donnent lieu à de nombreuses thèses en partenariat pour éclairer des problèmes difficiles sur le long terme. Or, il n’est pas de nouveau problème qui ne génère de nouvelles questions, et de nouvelles nécessités théoriques pour éclairer les choix à réaliser. Au quotidien, il est vrai que le temps presse parfois, et la complexité des questions traitées dépasse régulièrement ce qui peut être déduit par l’analyse mathématique la plus rigoureuse. Pour autant, pour faire ce travail avec la plus grande efficacité, il faut avoir à l’esprit les résultats théoriques existants, et la manière dont ils s’adaptent à des modèles, même simplifiés, issus de nos réflexions. Nombre de bonnes idées en dépendent.

IdM) Une dernière question : quels conseils donneriez-vous à un jeune intéressé par les maths appliquées ?

PH) Je lui dirais, d’abord, que c’est un domaine passionnant riche d’interactions entre des scientifiques remarquables de tous les pays. Dire qu’il faut être curieux, ouvert d’esprit et passionné ne serait pas original, mais c’est vrai. Il faut ensuite, bien sûr, avoir le goût des mathématiques et du mariage entre les structures abstraites et l’analyse de problèmes spécifiques. Je conseille aussi généralement aux étudiants de maîtriser un ou plusieurs domaines d’application, les raisonnements sous-jacents, et la manière d’en établir les modèles ; c’est souvent dans l’interaction avec ces domaines que viennent les découvertes. Ensuite, il importe d’avoir le point de vue le plus large possible, d’avoir à l’esprit l’ensemble des cadres mathématiques qui peuvent s’appliquer. Enfin, il faut sans doute avoir un intérêt pour la mise en œuvre informatique, car les idées des mathématiques appliquées se traduisent souvent dans des codes de calcul.

Les mathématiques appliquées, comme toutes les sciences, grandissent de l’interaction entre les scientifiques et de la confrontation des idées. On attend des futurs talents qu’ils entretiennent un réseau académique et industriel puissant, en étant capables d’affronter par eux-mêmes de nouveaux problèmes.

Post-scriptum :

Propos recueillis par Romain Dujardin. Merci à Patrice Hauret pour sa réactivité et disponibilité. Merci également à Nina Aguillon pour son assistance en analyse numérique.

Enfin, l’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs
Clément Caubel, LALANNE, et Laurent Bétermin pour leur relecture attentive et leurs commentaires judicieux.

Article édité par Romain Dujardin

Notes

[1L’habilitation à diriger des recherches (HDR pour les initiés) est le diplôme le plus élevé de l’enseignement supérieur français. Il est requis pour pouvoir encadrer des thèses et accéder au grade de professeur des universités.

[2En mécanique, le flambement ou flambage désigne le fléchissement d’une structure rectiligne soumise à une compression

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Pour citer cet article :

Romain Dujardin — «Une interview de Patrice Hauret» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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