Une nouvelle convention de calcul ?

Le mathématicien a-t-il encore son mot à dire sur l’évolution des conventions de calcul de l’école secondaire ?

Le 17 décembre 2016  - Ecrit par  Christian Aebi Voir les commentaires (35)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques n’indiffèrent personne. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Introduction

Le but de cette note est de traiter de la pertinence de la convention : si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors on effectue les opérations de gauche à droite.

Il existe deux conventions internationales de calcul admises aussi bien par tous les mathématiciens professionnels que par tous les enseignants :

(1) Si dans un calcul il n’y a que des additions et des soustractions, sans aucune parenthèse alors les opérations s’effectuent de gauche à droite.

(2) La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction dans un calcul qui ne contient aucune parenthèse.

Les autres conventions concernant le produit, la puissance, la racine et la barre de fraction me semblent être d’avantage des conventions de notation :

(3) Le produit de $a$ par $b$ peut se noter par $ab$ au lieu de $a\cdot b$
 [1].

(4) Concernant les puissances, $ab^2$ signifie $a\cdot b \cdot b$, puisque l’exposant $2$ est « collé » contre le
coin Nord-Est de $b$
.

(5) La longueur de la barre (au-dessus ou en-dessous) délimite l’emplacement de parenthèses invisibles, aussi bien pour la racine que pour la division :
\[\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{(b^2-4ac)} \hskip0.2cm \hbox{et} \hskip0.2cm {{ax+b}\over {cx+d}}={{(ax+b)}\over {(cx+d)}}= (ax+b)\div (cx+d) .\]

Remarquons pour commencer que (2) et (3) sont reliés, car non seulement $ab$ est une simplification d’écriture avec l’opération qui disparaît, mais de plus, dans un calcul comme $c + ab$ , la proximité des deux facteurs incite à traiter d’abord le produit avant la somme. L’origine de la règle (1) pourrait éventuellement être que l’addition et la soustraction peuvent être modélisées comme des déplacements sur une droite numérique dans le sens positif et négatif, avec l’enchaînement des calculs de gauche à droite donnant la même réponse que si l’on effectue la différence entre respectivement la somme des déplacements positifs et la valeur absolue des négatifs.

Avec ces cinq conventions est-il possible alors de répondre à la question : Que vaut $48/2(9 + 3)$ ? Une recherche sur le moteur de recherche Google, sous la forme $48/2(9+3)$ indique plus de 1.940.000 d’URL en réponse au problème posé ! Une telle avalanche de liens devrait susciter un doute sur la pertinence de la dite question, vu que les deux seules solutions possibles sont
$2={{48}\over {2\cdot(9+3)}}$ et $288=(48\div2)\cdot(9+3)$. Certains internautes ont imaginé alors qu’il suffit d’introduire la convention du haut de la page pour mettre tout le monde d’accord. Ainsi l’unique réponse, que fournit même le logiciel calculateur de Google, serait $288$. Une autre possibilité consiste à dire « La question n’a pas de sens. » comme affirme justement le prof. George M. Bergman de l’Université de Berkeley dans sa réponse [1] : « There is no standard convention as to which of these two ways the expression should be interpreted, so, in fact, 48/2(9+3) is ambiguous. [2] » Ce dernier me l’a encore confirmé dans un e-mail personnel et précise de surcroît que le prof. Alan Schoenfeld, « who is the intersection of the Math Department and the School of Education here, also agrees that such expressions are simply ambiguous [3] ».

Comment se fait-il alors que l’on voie fleurir la convention de calcul du haut de la page dans les manuels scolaires de la Suisse Romande [2, 3], dans le livre Math $1/2$ de Belgique [12], dans des moyens d’enseignement de Sesamath [5, 6], sur des sites français dédiés à l’enseignement des mathématiques [7, 8, 9, 10], sur le calculateur de Google.com et même dans des revues de recherche en didactique des mathématiques [11, 12] ?

Trois raisons me semblent être derrière cette floraison :

  • Une utilisation (abusive ?) des calculatrices 4 opérations (genre téléphone portable) qui appliquent justement la logique « gauche-droite »
    pourrait être une des causes. En fait, toute calculatrice, quelle qu’elle soit se doit de fournir une réponse à un calcul comme $20 \div 10 \div 2$. Aucun utilisateur n’apprécierait la réponse « Nonsense (idiot) ! »
  • Dans certains des cas cités ci-dessus, les auteurs des manuels ou des pages Web n’étaient pas des mathématiciens de formation, mais des
    enseignants de maths désireux de rendre leur matière à la fois compréhensible et intéressante, quitte à la déformer sans prendre peut-être
    toutes les précautions nécessaires.
  • Grâce à Internet (ou à cause de ?) des allégations de toutes sortes peuvent se répandre à une vitesse phénoménale et tous azimuts,
    sans contenir forcément une once de vérité [4].

Pour garantir la légitimité d’une nouvelle convention de calcul il faudrait s’assurer au moins qu’elle :

  • se justifie pour de bonnes raisons ;
  • n’entre pas en contradiction avec les conventions déjà établies et acceptées ;
  • permette si possible aux élèves de mieux comprendre les concepts en jeu et non le contraire ;
  • soit admise par la grande majorité de la communauté des mathématiciens.

Or il semble que ces quatre critères sont loin d’être vérifiés.

Arguments contre une introduction de la convention ci-dessus

(1) Une convention qui ne peut justifier son existence que par l’existence d’une autre convention,
celle de l’addition et de la soustraction, ne convainc guère de sa pertinence.

(2) Une convention qui ne pourrait s’appliquer que localement, c’est-à-dire au programme de math de l’école secondaire I, semble indéfendable.
Au secondaire II et à l’université les signes opératoires « ${\cdot \over \cdot }$ » et «  : » disparaissent totalement pour laisser place à l’écriture sous forme de barres de fraction, dont la longueur indique clairement l’ordre des opérations.

(3) Une convention obligeant les élèves à apprendre un « truc » supplémentaire, inutile et permettant aux enseignants de les évaluer sur des exercices farfelus du style :

Est-il vrai que $\quad 240 \div 2 \cdot 5 \div 8 \div 4 = 5 \div 2 \div 2 \div 4 \div 8 \cdot 240$ ?

est une mauvaise convention.

Remarquez, que si on se permettait de prolonger la convention au secondaire II on pourrait proposer d’autres exercices saugrenus du type :
Si « $/$ » représente une barre de fraction, démontrer que :

\[\lim_{x\to 0} \sin(2x) / 2x \neq \lim_{x \to 0} \sin(2x) : 2x.\]

(4) Une convention (horizontale) qui pourrait justifier l’introduction encore d’une nouvelle convention (verticale) :

\[\matrix{a\cr -\cr b\cr -\cr c}\quad\textit{ n'est autre que le nombre } a:b:c \quad \text{( gulp ! )} \]

entre en conflit avec la convention usuelle des barres de fraction d’aujourd’hui.

(5) Une difficulté majeure que rencontrent nos élèves est justement la compréhension, l’utilisation et l’identification de parenthèses visibles et invisibles. Inventer une règle qui permettrait d’éviter un obstacle cognitif va donc totalement à l’encontre du bon sens pédagogique.

Ma perception

En réalité, le mathématicien n’applique qu’une seule convention de calcul (celle concernant la priorité de la multiplication sur l’addition), puisqu’il respecte d’office les axiomes du corps de base dans lequel figure l’énoncé. Tout le reste n’est que conventions de notation déjà décrites antérieurement. Alors pourquoi doit-on faire apprendre toutes ces règles de priorité des opérations aux élèves du Secondaire I ? L’unique raison est que ces règles leur servent de béquilles provisoires pour s’aventurer et comprendre comment travailler dans l’anneau $({\Bbb Z} ; + ; \cdot )$, puis dans le corps $({\Bbb Q} ; + ; \cdot )$ et enfin dans $({\Bbb R} ; + ; \cdot )$. Dès l’instant qu’ils comprennent que soustraire est équivalent à additionner l’opposé, diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse, ainsi que la commutativité, l"associativité, les éléments neutres et symétriques et la distributivité, ils peuvent se débarrasser totalement de leurs béquilles et jouer au mathématicien amateur. Il me semble donc parfaitement inutile de leur fournir une règle supplémentaire à la fois superflue et bancale. L’enjeu principal est selon moi, de tout mettre en œuvre pour permettre aux élèves de donner du sens aux axiomes d’un corps, de leur demander de se les approprier afin de pouvoir s’y référer avec précision lorsqu’ils réalisent des exercices algébriques, en particulier du type calcul réfléchi.

Et la vôtre ?

Quelle position adoptez-vous concernant cette convention ? Faut-il s’en alarmer et tenter d’empêcher sa propagation ? Si oui, quels moyens peut-on imaginer pour la contrer ? Pétition disposée sur Images Mathématiques ? Prise de position des mathématicien(ne)s du CNRS ? Charte de référence des conventions mathématiques scolaires de base signée par une poignée de médaillés Fields ? Ou au contraire, estimez-vous que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ?

Bibliographie

[1] G. M. Bergman, Order of arithmetic operations ; in particular, the 48/2(9+3) question.
https://math.berkeley.edu/~gbergman...

[2] M. Chastelain, J.-A. Calame, M. Br chet , Aide-Mémoire de la collection Mathématiques 7-8-9, Editions LEP, 2003

[3] I. Corminboeuf, T. Hostettler, C. Lecoultre, D. Odiet, Aide-Mémoire de la collection Mathématiques 9-10-11, Éditions LEP, 2011.

[4] A. Adam, M. Castiaux, P. Close, R. Janssens, Math 1/2, - Manuel -, Editeur de Boeck

[5] Collectif d’auteurs 9ème,Chapitre 3, page 42,
http://sesamath.ch/projet-manuel-co...

[6]
Collectif d’auteurs 1ère, page 12,
http://www.sesamath.ch/manuel-matug...

[7] http://www.mathematiquesfaciles.com...

[8] http://www.educastream.com/operatio...

[9] http://maths-andre.e-monsite.com/me...

[10] http://www.logamaths.fr/spip/IMG/do...

[11] Glidden, P. L., Prospective elementary teachers’ understanding of the order of operations., School Science and Mathematics, (2008). 108(4), 130-136.

[12] Pappanastos, E., Hall, M. A., & Honan, A. S., Order of operations : Do business students understand the correct order ?, Journal for Education for Business. (2002). November/December, 81-84.

Post-scriptum :

Un grand merci à tous ceux qui ont participé de près ou de loin à l’élaboration du texte ci-dessus et en particulier à Grant, Jaques, Jean-Marie, Laure, Martin, Nicolas, Stéphane et à Thérèse, sans oublier de mentionner évidemment l’équipe de la rubrique Débat du 18 du site Images des Mathématiques.

Article édité par Aziz El Kacimi

Notes

[1La convention précédente s’étend aussi à la théorie des groupes, où l’on abrège souvent l’opération $a \ast b$ par $ab$, pour des éléments $a$ et $b$ appartenant à un groupe $(G ; \ast)$.

[2Il n’y a aucune convention standard permettant de lever l’ambiguïté de l’expression 48/2(9+3).

[3...qui se situe à l’intersection du Département de Math. et de l’Enseignement des Math. à Berkeley, confirme que de telles expressions sont simplement ambivalentes.

[4L’élection américaine avec les rumeurs qui circulaient sur Facebook concernant Hillary Clinton illustre parfaitement la chose, même si c’est dans un autre domaine !

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Pour citer cet article :

Christian Aebi — «Une nouvelle convention de calcul ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 17 décembre 2016 à 07:53, par Julien Puydt

    On peut du coup se poser tout simplement la question de la pertinence d’apprendre en petites classes des signes de division inusités par la suite...

    SInon, j’ai eu deux doutes orthographiques :
    « comment se fait-il que l’on voit » -> « comment se fait-il que l’on voie » ?
    « médaillers » -> « médaillés » ?

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 19 décembre 2016 à 12:29, par Carole Gaboriau

      En effet ! Je corrige.... Merci pour votre vigilance.
      Bien cordialement,
      Carole Gaboriau, secrétaire de rédaction

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 17 décembre 2016 à 10:31, par mesmaker

    Je suis tout à fait d’accord avec le dernier point de donner à comprendre le calcul dans les anneaux et corps. Il faut par exemple que les élèves ne voit plus le signe ’-’ comme une opération mais comme la marque d’un nombre relatif. Cela simplifie grandement les calculs car on passe d’une opération, la soustraction, non associative et non commutative à un opération l’addition, associative et commutative. On simplifie les règles et on perd des règles inutiles. On simplifie aussi les relations à connaître. Ainsi il n’y a pas trois identités remarquables mais deux. Les relations (a+b)^2=... et (a-b)^2=... se résume à (a+b)^2=... lorsque ’a’ et ’b’ sont des relatifs et non pas des entiers naturels.

    Quant à la calculatrice, le problème est technique. L’écriture de relations mathématiques demande plusieurs lignes pour les fractions alors qu’aujourd’hui les calculatrices ne permettent que d’utiliser une ligne de calcul. Il y a donc de fait deux systèmes de convention, un qui requiert moins de parenthèse et est plus élégant, et un autre que comprennent les calculatrices. Il faut apprendre aux élèves à convertir un calcul écrit sur plusieurs lignes dans un calcul écrit sur une ligne. L’exercice de remettre les parenthèses cachées est donc très utile pour cela. Il faut évidemment la suppression de l’ancien signe de la division remplacé par la barre de fraction. Je ne comprend pas que l’on utilise encore ce signe. Avec l’avancé de la technologie, je prévois que nos calculatrices pourront écrire sur plusieurs lignes et alors il n’y aura plus deux systèmes de conventions mais un seul. Je suis peut être trop optimiste sur ce dernier point.

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 17 décembre 2016 à 12:18, par orion8

      « Avec l’avancé de la technologie, je prévois que nos calculatrices pourront écrire sur plusieurs lignes »
      Euh... cela fait déjà pas mal d’années que c’est le cas...
      Et encore un fois : à quoi sert une calculatrice en mathématiques ?
      Les quelques avantages qu’elles peuvent apporter à leur enseignement sont détruits par les immenses inconvénients que leur utilisation présente.

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 19 décembre 2016 à 16:16, par mesmaker

        Oui cela existe déjà sur les calculatrices les plus chères ou des logiciels mais ce n’est pas utilisé dans les calculatrices de poche ou même scientifique de moyenne gamme. Ma TI 83+ ne fait que des calculs sur une ligne.

        L’utilisation d’une calculatrice scientifique est vraiment utile quand on maîtrise bien le calcul sur papier. Elle ne doit pas se substituer à cela. Elle est pourtant utile. Elle permet de tracer des courbes, faire des calculs laborieux plus rapidement et s’initier à la programmation. Elle peut faire un pont pour aller vers l’informatique. Elle est de toute façon fondamentale pour les autres domaines scientifique : physique, chimie, biologie où il faut faire plein de calculs numériques.

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        • Une nouvelle convention de calcul ?

          le 19 décembre 2016 à 16:36, par orion8

          Les CASIO, même « collège », le font depuis des années. Je posais, en tant que prof de maths, la question sérieuse et fondamentale : « à quoi sert une calculatrice en mathématiques ? »...
          Pour ma part, je l’interdis totalement en classe de 2de (sauf séances de programmation dans le cadre de l’initiation à l’algorithmique, sur des machines prêtées), et j’en use et abuse en 1ère/Tale, dans le but principal de les convaincre qu’elles sont inutiles, voire nuisibles ! Et le message passe... Je caricature, bien sûr, mais à peine...
          Par ailleurs, concernant la programmation, le langage utilisé aussi bien par CASIO que TI, soit un basic, bien que simple d’utilisation, donne une vision un peu simpliste de la programmation, notamment en empêchant la récursivité.

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 17 décembre 2016 à 11:54, par projetmbc

    Bonjour.

    Comme vous l’avez indiqué, a - c + d - e - f s’interprète comme a + (-c) + d + (-e) + (-f) dès lors on fait les calculs comme l’on veut et on vérifie que la convention usuelle est en fait une façon « légale » d’effectuer les calculs.

    De même, une division est en fait une multiplication par un inverse. Et là on voit le lien direct avec l’addition et la soustraction.

    Dans les deux cas, on a une convention applicable dans tout groupe donc cela justifie pleinement la convention de gauche à droite pour les multiplications et les divisions.

    Il est vrai que l’utilisation de : pour les élèves n’est pas terrible car souvent il associe ce symbole à l’algorithme de calcul approché d’une division. Ceci justifie au passage l’usage de cet opérateur en école primaire. On pourrait sinon opter pour des écritures à la sauce anglo-saxonne mais ceci serait une révolution culturelle majeure bien que pratique.

    De plus, au lycée je n’utilise le symbole : que dans des cas comme x = a/b et y = c/d (deux fractions) pour obtenir x / y = a/b : c/d = a/b * d/c car ici l’usage d’un grand trait de fraction est juste source d’erreur (les élèves finissant pas tracer des traits de fractions tous de même longeuur on tombe sur quelque chose ne signifiant plus rien).

    En tant qu’enseignant je ne rencontre jamais de calculs comme ceux que vous indiquez ! Je n’aborde jamais ce genre de calcul car c’est inutile ! Je passe toujours par des fractions (sauf dans le cas particulier que j’ai indiqué).

    Ensuite, concernant 48/2*(9+3), WolframAlpha renvoie 48/2*(9+3) tandis que SageCell n’accepte pas l’écriture ce qui est à mon avis la meilleure chose à faire.

    Dans le même ordre d’idée on utilise souvent à tors cos 2x pour abréviation de cos(2x). Inacceptable !

    Plus gênant, beaucoup de logiciels de calculs acceptent des choses comme 2^3^4. Certains vont de gauche à droite et d’autre de droite à gauche comme le feraient la plus part des humains. Là aussi des parenthèses s’imposent !

    Enfin concernant l’exercice sur la limite, vous utilisez une autre convention très mauvaise consistant à ne pas mettre de parenthèses. En effet, que signifie lim sin x / (2x) ? Est-ce (lim sin x) / (2x) = (lim sin t) / (2x) ou bien lim (sin x / (2x)) ? Je rappelle que dans lim sin x la variable x est muette.

    En résumé, comme disent les programmeurs Python, dont je suis, « explicite est mieux qu’implicite ». Pour les opérations de base, utiliser des règles est juste un choix d’efficacité mais pour le reste, à l’usage, mettre des parethèses explicites ne fait perdre que peu de temps !

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 17 décembre 2016 à 12:58, par Christian Aebi

      Bonjour,

      Oui, en effet si on se place dans le groupe multiplicatif on pourrait décréter que /b := b^-1, mais pour nos élèves de 13-14 ans je ne suis pas convaincu de les aider.
      Je pense comme vous que mes exemples de calcul sont aberrants.
      Merci de m’apprendre que Sagecell refuse d’effectuer 48/2*(9+3).
      En fait, si l’on introduit dans le moteur de recherche de Google le calcul 48/2(9+3) alors il répond 288, tout en précisant dans son menu au-dessus, qu’il s’agit du résultat de (48/2)*(9+3). Cependant, si l’on introduit directement dans la calculatrice Google 20/10*2 alors on obtient une réponse (4) sans plus de précision. Dommage, selon moi.
      Pire encore que $\cos 2x$, il y a $\cos^2(x)$ qui me semble encore plus dérangeant ( $= \cos(\cos(x)$ ?) sans oublier la confusion que cela peut créer avec $\cos^{-1}(x)$ des calculatrices !
      Bizarrement je suis moins gêné par $2^{3^4}$, car, dans ma tête, il s’agit de 2^quelque chose et ce quelque chose est $3^4$. Mais, j’ai peut-être tort.
      Dans tous les cas la devise Python me plait bien !

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 20 décembre 2016 à 11:55, par projetmbc

        Oups, voir mon « oups » juste un peu plus bas. Juste une faute de frappe mais qui ne change rien à mon pros.

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 20 décembre 2016 à 10:45, par B !gre

      Ensuite, concernant 48/2*(9+3), WolframAlpha renvoie 48/2*(9+3) tandis que SageCell n’accepte pas l’écriture ce qui est à mon avis la meilleure chose à faire.

      Ce n’est pas vrai pour SageCell : exemple.

      Cela a déjà été évoqué plusieurs fois d’une manière ou d’une autre, mais je pense qu’on ne peut pas vraiment se passer dans cette discussion de regarder du côté des logiciels de calcul formel. Peut-être peut-on trouver cela dommage, mais parmi ceux de nos élèves qui utiliseront les mathématiques de manière régulière, nombreux sont ceux qui le feront au travers d’un tel logiciel. Je ne connais aucun logiciel de calcul formel qui interprète l’expression 48/2*(9+3) autrement que sous la forme (48/2)*(9+3). Cela est dû au fait que les programmeurs desdits logiciels ont dû lever l’ambiguïté et que le plus logique (ou simple ?) consiste à associer aux opérateurs de multiplication et de division la même priorité, et de parenthéser « depuis la gauche ». L’introduction de la programmation dans les programmes de mathématiques rendra peut-être à terme ce genre de règle parfaitement évidente pour les élèves : elle l’est d’un point de vue algorithmique !

      Quant aux discussions sur les calculatrices, elles me semblent d’un autre temps (malheureusement non révolu !). À l’heure où nombre d’établissements scolaires sont pourvus en matériel informatique, que c’est le cas d’une grande partie des élèves (que ce soit des ordinateurs fixes ou portables à la maison, ou même leurs smartphones !), je trouve assez anachronique et dommage de continuer à faire s’équiper les élèves en calculatrices très limitées à des prix exorbitants (90€¹ pour une TI83, le double pour une TI89 !). Ces calculatrices n’ont pas de bon logiciel de calcul formel (comparer leurs capacités à celles de SageMath, logiciel libre et gratuit), ne permettent pas l’apprentissage correct de la programmation (qui entre au programme de maths), etc.

      ¹ Prix relevés sur le site d’une grande enseigne française aujourd’hui, sans recherche de meilleures offres qui existent peut-être chez des concurrents.

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 20 décembre 2016 à 11:39, par projetmbc

        Oups, il ya eu une erreur de frappe de ma part.

        Je voulais parler de 48/2(9+3) et non de 48/2*(9+3).

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        • Une nouvelle convention de calcul ?

          le 20 décembre 2016 à 11:44, par B !gre

          OK, je vois. Pour info, c’est possible de faire fonctionner ce genre d’expression dans SageMath (apparemment pas dans SageCell pour l’instant) en utilisant implicit_multiplication(True) en début de session :

          sage : implicit_multiplication(True)
          sage : 48/2(9+3)
          288

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          • Une nouvelle convention de calcul ?

            le 20 décembre 2016 à 11:57, par projetmbc

            Je ne connaissais pas. Ceci a de toute façon l’avantage de montrer clairement que l’on demande d’ajouter implicitement quelque chose même si je n’utiliserais jamais ceci en bon « pythonien ».

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 20 décembre 2016 à 11:54, par projetmbc

        Du coup, la discussion reste ouverte car au final c’est la façon dont on va analyser syntaxiquement les choses qui vont décider ce que signifie 48/2(9+3). C’est un choix d’analyse syntaxique et non de l’algorithmique !

        En effet, si je reprends l’exemple de puissances successives 10^2^3, il est bien plus simple de coder une analyse du type (10^2)^3, c’est ce que fait une calculatrice TI par exemple, or la plupart (tous ?) des programmes de calcul formel font la calcul 10^(2^3). Or le 2nd choix demande plus de boulot côté programmation que le premier.

        Pour ce qui est de l’utilité des calculatrices, on sera d’accord le jour où toutes les classes auront un accès par exemple à des tabl(ett)es numériques. L’usage du smartphone en classe est très problématique à moins que l’on accepte d’être pris ou enregistrer en plein cours.

        En fait, il faudrait des calculatrices très basiques pour les élèves afin de leur faire travailler les statistiques et les probabilités et tracer des graphiques. Rien de plus !

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 28 décembre 2016 à 02:42, par Michel Delord

      « On pourrait sinon opter pour des écritures à la sauce anglo-saxonne mais ceci serait une révolution culturelle majeure bien que pratique. »(projetmbc)

      Si dans l’écriture dite supra anglo-saxonne, on s’intéresse au fait qu’elle sépare dans l’écriture fractionnelle d’un nombre sa partie entière et sa partie fractionnaire, l’idée n’est pas spécifiquement anglo-saxonne puisqu’on la trouve systématiquement dans quasiment tous les manuels d’arithmétique français d’avant les années soixante et que je l’ai moi-même enseignée systématiquement jusqu’à la fin des années 80 et si je l’ai abandonnée ce n’est pas que lui trouvais des défauts mais simplement parce que je n’avais plus le temps de l’enseigner.
      Suite dans « Notation (anglo-saxonne ?) des fractions », pour avoir une bon rendu des écritures fractionnares
      Michel Delord

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 28 décembre 2016 à 11:23, par projetmbc

        Merci pour les compléments. Je ne savais pas que cela avait été enseigné en France.

        J’ai parlé de révolution culturelle peut-être de façon exagérée, mais c’est mon tempérament. En fait, si l’on faisait cela, on va créer une coupure culturelle entre deux générations : celle des enfants qui apprendraient cette nouveauté et celle de leurs parents qui ne la connaissent pas pour la majorité. C’est d’ailleurs ce qu’il se passe avec ce que l’on ose appeler « algorithmique » au collège mais je n’en dirais pas plus car je suis sous calmant. ;-)

        Quant aux choix des programmes je viens d’apprendre un proverbe africain qui dit : « Si dans un village tout le monde marche sur la tête, marche sur la tête. »

        On a critiqué les excès des maths modernes mais je trouve que depuis les excès ont changé de cap...

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 17 décembre 2016 à 13:29, par ROUX

    J’ai un peu de mal à comprendre le débat...
    S’agit-il de cette convention : « si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors on effectue les opérations de gauche à droite » ?
    N’est-ce pas une convention sortie de son contexte ?
    Je suis gros consommateur de calculs du type : 1,25/(2,7*10^2), égal à 5% près à 4,62*10^(-3).
    Et mes élèves frappent trop souvent 1,25/2,7*10^2, égal à 5% près à 46,2, et je suis obligé de leur dire que la calculatrice effectuant les opérations de gauche à droite, il faut écrire les parenthèses dans le cahier puis les frapper sur la calculatrice.
    Le contexte de cette convention ne serait-il pas : «  attention, si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors la calculatrice effectue les opérations de gauche à droite ».
    En gros, les calculatrices suivent cette convention et je me bagarre pour faire écrire les parenthèses.
    Ai-je compris le débat ?

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 17 décembre 2016 à 18:20, par Christian Aebi

      Bonsoir,
      En effet, apprendre à nos élèves à utiliser correctement les parenthèses n’est pas une tâche facile. Alors introduire une convention qui permettrait justement de les omettre me paraît contre-productif, pédagogiquement parlant.

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 19 décembre 2016 à 14:25, par ROUX

        Nous sommes bien d’accord sur le fait que cette phrase, rédigée ainsi, peut laisser supposer qu’il s’agit d’une nouvelle convention et qu’alors, c’est très dommage.
        Non, selon moi il s’agit de prévenir les élèves que, en absence de parenthèses, les calculatrices vont faire cela, d’où la nécessité absolue d’en mettre, des parenthèses, dans l’écriture sur la feuille du calcul à frapper avant de le frapper sur la calculatrice. Dès lors, ce n’est plus une convention, c’est une monstration de ce que la calculatrice va faire...
        Tiens, autre combat : contraindre les élèves à écrire le calcul sur la feuille (avec les parenthèses aux bons endroits) : « Mais, monsieur, ça ne sert à rien puisque je vais le calculer et que j’aurai le résultat... ».
        Je suis vraiment très curieux de connaitre le contexte de cette phrase que vous souhaitez justement ne pas voir acquérir le statut de convention.

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  • De l’importance du symbole

    le 17 décembre 2016 à 13:30, par Christophe Boilley

    Bonjour. Je ne reviendrai pas sur la nécessité de lever l’ambiguïté en situation de communication (dans l’enseignement comme en recherche). Mais dans un contexte d’écriture personnelle avec un bloc note informatique (donc avec une écriture en ligne), je fais la distinction entre la multiplication avec croix et la multiplication par accolement. Par exemple, j’interprète 1/2a comme 1/(2×a) mais je lis 1/2×a comme (1/2)×a.
    Accessoirement, je m’interroge sur l’usage du point médian comme opérateur de la multiplication. Je ne l’ai jamais vu employé comme tel en écriture à la main. Pourquoi l’utiliser en remplacement de la croix de multiplication ?

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    • De l’importance du symbole

      le 17 décembre 2016 à 14:33, par aunryz

      [Me contentant ici d’évoquer le niveau d’enseignement basique
      celui qui structure ... classe de cinquième, lorsque ces « conventions » apparaissent.]

      Comprendre et dire qu’il s’agit d’une convention
      ne va déjà pas de soi
      ...
      lorsqu’un certain nombre d’enseignants
      considèrent précisément que
      la priorité de la multiplication sur l’addition n’est pas une convention
      mais « va de soi » et que c’est par ignorance, ou imperfection que la calculatrice du commerçant ne la « respecte pas ».

      Quant à 6:2:3
      la « convention » effectuer les calculs « de la gauche vers la droite »
      serait une manière de mettre de la chronologie dans un lieu (les maths) où elle n’existe pas.
      (on ferait les calculs, en l’absence de toute priorité de calcul définie par ailleurs, dans l’ordre dans lesquels ils se sont « posés » sur la feuille)
      Rien ne le justifie.
      Car en cuisine, si la recette dit
      incorporer 100g de bloubiboulga à quatre blancs d’oeufs battus en neige
      il est clair qu’il faut commencer par battre les blanc en neige avant leur incorporation.

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    • De l’importance du symbole

      le 17 décembre 2016 à 16:21, par ROUX

      Je ne sais plus où en sont les calculatrices, désormais, mais, il y a quelques années, j’ai été confronté à des calculatrices qui, lorsqu’on y frappait 1/2π calculaient pour certaines 1/(2*π) et pour d’autres (1/2)*π : souvenir cuisant de ces deux élèves me montrant exactement la même chose frappée sur leurs deux calculatrices avec un résultat différent.
      C’était déroutant car mes élèves avaient une erreur à un facteur 10 près (oui, π^2 de tête et à bien mieux que 5% près est égal à 10).

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 17 décembre 2016 à 13:57, par Arnaud Chéritat

    Aux calculatrices on peut ajouter les langages de programmation.
    Par exemple sur http://en.cppreference.com/w/c/language/operator_precedence je lis qu’en langage C les opérateurs * et / on la même précédence et une « associativité » left-to-right.
    Si je comprend bien, c’est la même convention que celle débattue ici.
    Je viens de tester avec Python 2.7 : la ligne 4 / 2 / 2 renvoie 1.

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 18 décembre 2016 à 19:21, par annexy

    Bonjour
    M. Aebi, est-ce que vous ne faites pas de parallèle entre 20 - 10 - 2 et 20 div 10 div 2, en dehors de tout parenthésage et de toute considération typographique ou électronique ?

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 19 décembre 2016 à 17:20, par Christian Aebi

      Bonsoir annexy,

      Evidemment qu’il y a une « similitude », mais est-ce une raison suffisante pour appliquer la même convention gauche-droite. La préoccupation pédagogique d’une utilisation judicieuse des parenthèses n’est-elle pas pas bien plus importante ?
      En tout cas, c’est mon point de vue.

      Sans oublier de mentionner l’aspect minimal (analogie avec un système d’axiomes) : ajouter des règles ne clarifie pas la chose, bien au contraire.

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 19 décembre 2016 à 10:55, par Didier Roche

    Bonjour,
    Je me demande si l’ambiguïté du calcul ne vient pas de ce que le trait de division est penché au lieu d’être horizontal ?
    Si le trait de fraction est horizontal ,on pourra faire la différence entre

    48/2×(9+3) et 48/(2×(9+3)) (je ne suis pas parvenu à écrire le calcul avec un trait de fraction horizontal...)
    Si le trait de fraction est penché ,en effet il faut rajouter des parenthèses pour éviter toute ambiguïté.
    Cordialement.
    Didier Roche.

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 19 décembre 2016 à 10:55, par ROUX

    Votre avis est très clair :

    Il me semble donc parfaitement inutile de leur fournir une règle supplémentaire à la fois superflue et bancale.

    Votre question l’est tout autant :

    Ou au contraire, estimez-vous que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ?

    Et finalement, j’ai compris le débat dont la réponse me semble devoir être : attention, compte-tenu des choix de programmation des calculatrices 4 opérations (qui n’ont aucune raison d’être au beau sens du mot raison), si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et que vous n’écrivez aucune parenthèse alors la calculatrice effectue les opérations de gauche à droite .

    Voilà un énoncé possible de la convention (nécessaire vis à vis des calculatrices, je le répète).

    Les choix de programmation des calculatrices posent régulièrement des problèmes et, parmi toutes les propositions d’action que vous suggérez, je vous propose de prendre n’importe laquelle dès l’instant où vos interlocuteurs seront les fabricants de calculatrices.

    Parmi les problèmes assez récents, je rencontre des calculatrices qui possèdent désormais le signe moins d’opération et le signe (moins) de signe sur deux touches différentes : les appels pour erreur de syntaxe de la part des élèves sont nombreux.

    D’une manière plus générale, les mathématicien-ne-s devraient organiser une veille techno-pédagogique sur les outils informatiques utilisés par les élèves : je fais remonter en mémoire que, par exemple, un tableur célèbre attribue la valeur zéro à une case vide (dans laquelle aucune valeur n’a été frappée) plutôt que de signaler comme erreur de syntaxe qu’aucune valeur n’a été frappée dans la case pourtant utilisée ailleurs afin de faire un calcul...

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 21 décembre 2016 à 02:56, par Jérôme SALMON

    En réalité, je trouve que le problème vient d’une écriture qui n’a pas lieu d’être...
    Lorsqu’une expression ne contient que des nombres, il n’y a pas lieu de ne pas écrire le signe de la multiplication.
    Personne ne remplacerait 2 * 3 par 2.3 (ni même par 23 !).
    De la même manière, je ne me vois pas écrire 2 * (9 + 3) autrement que ce que je vient d’écrire même si je comprendrais aisément l’écriture 2(9 + 3) ou 2.(9 + 3). Ces écritures ont tout leur sens dans des expressions algébriques ou, au contraire, je n’écrirai pas 2 * ( x + 3) mais plutôt 2(x + 3).
    Aussi, avec l’écriture de tous les symboles utiles, l’expression 48 / 2 * (9 + 3) ne me semble plus laisser de doute quand à son résultat.
    De même qu’en algèbre l’écriture a/b(c + d) n’aura jamais la valeur de a/[b(c + d)].
    *
    Auriez-vous d’ailleurs interprété de la même manière les expressions ci-dessous ?
    48/2(9+3)
    48/(9+3)2
    48/2(x+3)
    48/(x+3)2
    Pour moi, les deux premières n’ont pas de sens du fait de l’absence (injustifiée à mes yeux du signe de la multiplication) alors que la troisième signifie clairement à mes yeux (48/2)(x+3) et je pense qu’il en est de même pour tout le monde. Je ne vois pas ce qui permettrait de l’interpréter comme 48/[2(x+3)]. D’ailleurs pour moi, la quatrième n’a pas de sens n’ont plus mais si je rétablissait le signe de multiplication manquant, je pense que personne ne l’interpréterait comme la troisième mais que tout le monde s’accorderait à lui donner le sens de [48 / (9 + 3)] * 2. Pourquoi alors une telle différence de traitement ?
    *
    Ce qui à mon sens démontre bien que tout le monde use de la priorité du sens de lecture quand il s’agit d’opération de même niveau de priorité.
    *
    Je pense que l’ambiguïté vient d’écritures, données en exemple plus haut, et que beaucoup semblent accepter comme telles :
    1/2x pour 1/(2x) (car sinon nous aurions écrit x/2 ou ½x)
    cos 2x pour cos (2x) (car sinon nous aurions écrit x.cos 2 ou (cos 2).x explicitement)
    Ces écritures sont tout de même souvent utilisées par tous et acceptées sans ambiguïtés car elles permettent d’éviter la lourdeur des parenthèses dans des calculs écrits en ligne mais il est clair que l’écriture des mathématiques n’est pas faite pour se faire sur une ligne et qu’alors l’ambiguïté est levée par d’autre stratagèmes comme les traits de fraction ou la barre de la racine.
    *
    Imaginons aussi le problème dans l’autre sens.
    Comment écririons-nous l’expression sur une seule ligne qui correspondrait au produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3 ? Et celle qui correspondrait au quotient de 48 par le produit de 2 par la somme 9 et de 3 ?
    Pour ma part, la réponse à la première expression est : 48 / 2 * (9 + 3).
    Et la réponse à la seconde : 48 / [2 * (9 + 3)].
    Si j’acceptais que ma première expression exprime le deuxième calcul alors comment pourrais-je écrire une expression qui exprime mon premier calcul ?
    Sauf à utiliser des propriétés des opérations ce qui à mon sens n’a pas lieu d’être ici car si je demande à un élève d’écrire le produit de 5 par 3, je n’attends pas qu’il m’écrive le produit de 3 par 5 même si, mathématiquement, les produits sont égaux.
    *
    Un autre biais, me semble-t-il, qui donne son ambiguïté au calcul proposé, vient du fait qu’avec l’habitude, nous prenons le soin de clarifier ce genre d’expression par sa présentation après l’avoir travaillée afin de lui donner un aspect plus explicite.
    Si je dois écrire en ligne une expression égale produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3, je pense que j’écrirai plutôt 48(9+3)/2 car nous savons tous que dans ce genre d’expression, il vaut mieux « effectuer » le produit avant de diviser afin d’avoir plus de chance d’obtenir un résultats exact.
    *
    Pour information, je viens de vérifier, avec la calculatrice que la majorité de mes élèves de collège utilisent que selon le calcul entré dans la machine, le résultat donné n’est pas le même !!!!!!
    48 : 2(9 + 3) = 2 mais 48 : (9 + 3)2 -> syntax error et 48 : 2 * (9 + 3) = 288 = 48 : (9 + 3) * 2 !!!!!!
    N’y aurait-il pas, là, matière à créer une nouvelle convention ?

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 22 décembre 2016 à 10:01, par Michel Delord

    Bonjour

    J’ai fait en cinquième pendant une trentaine d’années (1980-2010) un cours sur la priorité des opérations dans lequel je donnais diverses règles de calcul parmi lesquelles :

    « Si, en l’absence de parenthèses, une suite de calculs en ligne ne comporte que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions), on effectue les calculs de la gauche vers la droite (c’est-à-dire dans le sens de la lecture). »

    Il semblerait donc, puisque je pense avoir eu raison d’enseigner cette règle, que je suis censé « estimer que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ».

    Or si je pense que la « logique des calculatrices a sa raison d’être » – ce qui est difficilement niable –, j’ai une position plus que réservée sur le caractère supposé toujours positif de l’introduction systématique des calculettes en primaire et au début du collège [Note 1] et, surtout, je n’en déduis pas que c’est la « logique des calculatrices » qui doit, de manière plus ou moins explicite, guider la conception de l’enseignement du calcul à tous les niveaux de l’enseignement (et surtout en primaire).

    Je justifie donc l’enseignement « de la nouvelle convention [Note 2] » – au moins pour la période pendant laquelle je l’ai faite et « pour les élèves que j’avais » – tout en refusant d’avoir une position de soutien à l’utilisation systématique des calculettes.

    Cette position peut sembler illogique si l’on se place dans la problématique utilisée dans le dernier article du Débat du 18. Mais il me semble que c’est la problématique même de l’article qui est en cause pour une raison qui est assez courante : la question est mal posée car

    1) elle oublie une question fondamentale que l’on doit toujours se poser lorsque l’on cherche à savoir si une question doit être enseignée (bien que effectivement on la pose de moins en moins) : quelle est la place de cette question dans que l’on appelait le « plan d’études » c’est-à-dire sa place dans la structure du programme et dans la progression choisie ?

    2) elle confond notamment par ce biais deux choses

    • la nécessité d’enseigner cette convention dans les progressions actuelles qui sont à mon sens de vraies catastrophes [Note 3] ; il s’agit donc de l’enseigner « comme un moindre mal »
    • la nécessité d’enseigner cette notion dans une progression non pas idéale mais simplement pour le dire vite « mathématiquement et pédagogiquement correcte »

    3) elle oublie d’évoquer des éléments qui sont indispensables si l’on veut pouvoir avancer : quelles sont les connaissances possédées par les élèves à qui l’on fait ce cours ?

    Ceci dit

    ** Pour juger sur pièces le cadre dans lequel j’enseignais la « nouvelle convention », je vais mettre en ligne le polycopié du chapitre « Parenthèses – Priorités opératoires » et je donnerai quelques raisons qui me poussaient à agir ainsi, raisons qui ne figurent pas toutes dans le polycopié qui était destiné aux élèves.
    ** A partir de quand a-t-on besoin d’employer des parenthèses en primaire ?
    ** Etc.

    Globalement je pense que la question de fond n’est pas la convention en elle-même mais ce qui pousse un certain nombre d’enseignants à enseigner cette convention ; or tout le monde semble d’accord sur le fait que si certains enseignants jugent nécessaire cet enseignement c’est à cause « de la présence des calculettes » (j’emploie à dessein cette formulation ambigüe mais on la précisera). Dans ces conditions, je modifierai bien la conclusion du texte du 18 pour arriver à quelque chose du type :

    « On constate depuis de très nombreuses années, sûrement pour le primaire, une utilisation abusive des calculettes qui a de nombreuses conséquences négatives. Il serait donc utile, en s’intéressant d’abord au primaire [Note 4] à cause de son rôle fondateur, de tenter d’empêcher ce « type de pratiques » [Note 5]. Quels moyens peut-on imaginer pour la contrer ? Pétition disposée sur Images Mathématiques ? Prise de position des mathématicien(ne)s du CNRS ? Charte de référence des conventions mathématiques scolaires de base signée par une poignée de médaillés Fields ? »

    Bonne lecture. Je fournis les autres documents comme cadeaux de Noel :-)

    Michel Delord, 21 décembre 2016

    [Note 1] Et mon engagement critique dans la question « de l’informatisation de l’école » ne date pas d’hier puisque la revue « L’Inventaire » vient de republier une version remaniée de mon texte de 2002 « NTIC à l’école : un pas de plus dans l’enseignement taylorisé d’une pensée taylorisée ? »

    [Note 2] Elle n’est pas si « nouvelle » puisque je l’enseignais déjà il y a trente ans.

    [Note 3] : Lorsque je dis « vraies catastrophes » je ne parle pas seulement d’une question principalement quantitative qui serait l’allégement portant sur des questions essentielles des programmes du primaire et du collège (et l’effet de ces allègements sur les capacités des élèves), je vise une question qualitative qui faisait partie du titre de la pétition contre les programmes du primaire de 2002 qui accusait ces programmes – et ce n’était pas une provocation – de « proscrire toute forme de pensée cohérente »

    [Note 4] Vite dit, à mon sens, mais cela se discute, le primaire finit au moment où l’on introduit le calcul algébrique et la démonstration en géométrie.

    [Note 5] Au vu de la pression médiatique et pédagogique pour l’emploi systématique des calculatrices en primaire, je serais assez favorable à l’interdiction des calculettes en primaire mais ça empêche de poser des problèmes formateurs du type : en utilisant votre calculatrice, effectuez la division suivante (potence)

    3 7 3 5 4 7 3 1 2 | 4230316
    |

    |

    Ce qui fait que j’opterais plutôt, puisque avoir une position sur l’emploi des calculatrices implique d’en avoir une sur la connaissance des algorithmes des opérations, pour une position du type : la calculatrice n’est pas l’outil courant de calcul en primaire (les enseignants peuvent toujours choisir des données qui permettent un calcul sans calculettes) et son emploi est réservé à ce qui permet d’améliorer la connaissance du fonctionnement des calculatrices et la connaissance des algorithmes (et d’abord des algorithmes humains) des opérations.

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    • Une nouvelle convention de calcul ?

      le 23 décembre 2016 à 15:33, par Christian Aebi

      Merci pour votre réponse.

      Au vu de votre expérience pédagogique de plus de 30 ans, je comprends que ma position vous agace un tant soit peu. Sans vouloir polémiquer, pourriez-vous m’indiquer le livre de référence de math d’il y a 30 ans qui soutient cette convention gauche-droite, car presque tous ceux que j’ai consultés évitent d’aborder le sujet :

      « De question en question » (V1) (de Nicolas Rouche) utilise le calcul d’aire de périmètre pour dégager et justifier les propriétés de commutativité, d’associativité et distributivité des opérations. En revanche ne signale rien sur la convention gauche-doite.

      « Référentiel de mathématiques », de chez de Boeck (2002), donne des règles sommaires sur la priorité des opérations sans plus.

      La collection « Triangle » (des années 2000, de Michel Mante et d’autres), précise les règles classiques, mais « se tait » concernant la convention gauche-droite.

      L’exception est :« 5 sur 5 » (6e ou 5e ?) : ’Dans une suite de calculs sans parenthèses ne comportant que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions), on effectue les calculs dans l’ordre où ils se présentent, c’est-à-dire de gauche à droite.’

      Cependant il existe aussi un livre qui stipule que cette convention est fausse :
      - « Mathématiques 7e », DIP Genève, 1986 : chapitre 3 (relu et corrigé par Prof. John Steinig, Uni. Genève) :

      « Dans une suite de multiplications et de divisions , l’ordre doit être indiqué par des parenthèses, qu’on effectue d’abord et qu’on ne doit pas déplacer. »

      Il est vrai que J. Steinig est un spécialiste en théorie des nombres qui ne supporte pas l’imprécision et l’ambiguïté.

      Sur Wikipedia on trouve :
      en français : « Une telle convention n’est pas aussi explicite pour des mélanges de divisions et de multiplications. »
      en anglais : « Please note many academics consider PEMDAS as non-applicable with implied groupings that are ambiguous such as 1/2x where the lack of an explicit operator × between the 2 and the x implies a grouping of the 2 with the x »
      alors qu’en italien « Successivamente si svolgono moltiplicazioni e divisioni, da sinistra verso destra »
      \[\displaystyle 18/2\times 3=(18/2)\times 3=[9\times 3]=27 \]

      Bref, je découvre que si la convention n’est peut-être pas si nouvelle, elle n’est de loin pas universelle.

      Concernant « la logique des calculatrices - qui a sa raison d’être… » ce sont des informaticiens qui programment les machines et personnellement, je ne souhaiterais pas travailler avec mes élèves sur un livre de math rédigé que par une équipe d’ informaticiens.
      À chacun son domaine de compétence.

      $\quad$
      Et joyeuses fêtes à tous ceux qui ont participé à ce débat !

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      • Une nouvelle convention de calcul ?

        le 24 décembre 2016 à 01:34, par Michel Delord

        Merci pour votre réponse.

        Au vu de votre expérience pédagogique de plus de 30 ans, je comprends que ma position vous agace un tant soit peu.

        MD : Vos positions ne m’agacent pas du tout et, quant à ma pédagogie – je veux dire celle que j’ai pratiqué en étant enseignant et pas celle que je souhaitais – c’est comme je l’ai dit dans le message précédent, une « pédagogie du moindre mal », expression dans laquelle je fais remarquer qu’il y a le mot « mal » ce qui fait que je n’ai pas de raisons spéciales d’en être fier. Et d’ailleurs alors que j’ai des cours complets testés pendant des années de tous les niveaux disons de la sixième à la seconde, je ne les publie pas.

        Sans vouloir polémiquer,

        MD : à mon avis on a tout à fait le droit de polémiquer et vous l’avez donc.

        Pourriez-vous m’indiquer le livre de référence de math d’il y a 30 ans qui soutient cette convention gauche-droite, car presque tous ceux que j’ai consultés évitent d’aborder le sujet :

        MD : dans mon texte, je ne disais pas qu’il existait un livre de référence datant d’il y a trente ans qui enseignait la convention « gauche-droite » ; je disais simplement que, moi MD, je l’enseignais pendant 30 ans. Je voulais m’en tenir là mais j’ai finalement déplacé quelques piles de bouquins pour chercher parmi les manuels de 5éme ceux qui enseignaient la fameuse convention et pouvaient être considérés comme des références. Et j’en ai trouvé un il y a une ½ heure (il y en a peut-être d’autres mais il se faisait tard) , c’est le manuel rédigé par l’IREM de Strasbourg chez ISTRA en 1987 et dont les auteurs comportent des références pédagogiques et officielles telles que François Pluvinage (membre de la COPREM) ou Jean-Pierre Richeton ( ultérieurement président de l’APMEP).

        Cependant il existe aussi un livre qui stipule que cette convention est fausse :

        • « Mathématiques 7e », DIP Genève, 1986 : chapitre 3 (relu et corrigé par Prof. John Steinig, Uni. Genève) :
          « Dans une suite de multiplications et de divisions, l’ordre doit être indiqué par des parenthèses, qu’on effectue d’abord et qu’on ne doit pas déplacer. »
          Il est vrai que J. Steinig est un spécialiste en théorie des nombres qui ne supporte pas l’imprécision et l’ambiguïté

        .

        MD : je partage tout à fait la nécessité de la précision et le refus de l’ambigüité. Pour les références en anglais je conseille aussi : Hung-Hsi Wu de Berkeley (https://math.berkeley.edu/ wu/ ) dont pratiquement tous les textes sont passionnants et en particulier pour ce qui nous intéresse
        ““Order of operations" and other oddities in school mathematics”
        J’avais eu l’occasion d’en discuter avec lui à Banff en 2006. Il s’intéresse à la situation de l’enseignement des maths en Europe puisqu’il avait signé la pétition contre les programmes du primaire français de 2002.

        Bref, je découvre que si la convention n’est peut-être pas si nouvelle, elle n’est de loin pas universelle.

        MD : Ce qui serait intéressant – mais il est un peu tard ce soir pour en parler – serait de comprendre pourquoi cette nouvelle convention est apparue à partir des années 70 (pour la France) puisque par contre, je pense pouvoir certifier qu’elle n’existait pas au moins jusqu’à la fin des années 60.

        Concernant « la logique des calculatrices - qui a sa raison d’être… » ce sont des informaticiens qui programment les machines et personnellement, je ne souhaiterais pas travailler avec mes élèves sur un livre de math rédigé que par une équipe d’ informaticiens.
        À chacun son domaine de compétence.

        MD : là, je pense que le problème est plus compliqué et plus « structurel », ce qui n’annule pas ce que vous dites. Et notamment parce la logique des calculettes est celle du calcul sur les nombres purs (quels qu’en soient les programmeurs) et pas celle du calcul sur les nombres concrets. Or le calcul sur les nombres concrets (entre autres la physique) a été explicitement interdit au moment des maths modernes (et n’a pas été rétabli depuis si ce n’est sous des formes qui empêchent qu’il soit compris) et curieusement les calculatrices envahissent le primaire une fois que le contenu de l’apprentissage du calcul est réduit au calcul qui peut être fait par une calculatrice… Quelle est la cause ? Quel est l’effet ? Trop tard pour continuer ce soir.

        Et joyeuses fêtes à tous ceux qui ont participé à ce débat !

        MD : on ne va pas s’en priver. Merci.
        Une remarque : Je ne peux pas répondre plus précisément tant que je n’ai pas pu vous présenter le cours que je faisais pour juger sur pièces. Or il se trouve qu’il fait 9 pages bien tassées mais que je ne possède le fichier qu’au format lwp (c’est-à-dire celui d’AmiPro) que je ne peux plus ouvrir et je suis donc quasiment obligé de tout retaper.
        MD

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        • Une nouvelle convention de calcul ?

          le 24 décembre 2016 à 11:08, par Michel Delord

          Suite de la quête parmi les auteurs « de référence »

          Manuel de cinquième publié par le CEDIC en 1982. L’auteur est André Deledicq ( Le père du Kangourou des maths) ; il introduit la convention gauche vers droite non pas comme une convention portant sur les suites d’opérations ne comportant que des additions et des soustractions ou que des multiplications et les divisions , mais comme une convention générale qu’il appelle explicitement « La convention du sens de la lecture » et qui dit « En l’’absence de parenthèses et si aucune des conventions précédentes ne s’applique, les opérations doivent être faites dans l’ordre normal* d’écriture, c’est-à dire de gauche à droite »

          Je continue mes recherches mais, déjà, si un président de l’APMEP, un membre de la COPREM et le père du Kangourou défendent cette cette convention gauche vers droite depuis les années 1980 et sans qu’il y ait , à ma connaissance**,d’oppositions provenant de l’APMEP, des IREM, de l’IG ( qui au contraire participent à la publication de tels manuels ) , on peut dire que l’idée est à la fois ancienne et massivement répandue.

          MD

          * Si c’est « normal » de gauche à droite et que cette normalité de l’écriture des calculs est donc liée au fait que le français s’écrit de gauche à droite, il y a donc des langues « anormales » - celles qui s’écrivent dans l’autre sens - dans lesquelles « les opérations doivent être faites dans l’ordre normal d’écriture, c’est-à-dire de droite à gauche » Là , l’universalité des mathématiques en prend un coup et je crains bien que le commerce mondial mondial soit immédiatement bloqué. Plaisanterie mise à part , il est tout à faut judicieux de parler de sens de la lecture et de l’écriture en Français - qui sont des faits - ....mais en évitant le mot « normal »

          ** Je vais essayer de vérifier.

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          • Une nouvelle convention de calcul ?

            le 10 janvier à 07:36, par Michel Delord

            Bonjour

            Un peu vaincu par diverses grippes, je me réveille cependant. Il m’a semblé utile pour la clarté de la du débat de publier diverses versions des programmes de cinquième pour retrouver le contexte dans lequel étaient étudiées les fameuses priorités opératoires et autres conventions d’écriture.

            Vous trouverez donc les programmes de cinquième de 1957 (à quelques variations près en gros valables jusqu’aux maths modernes), ceux de 1982 et ceux de 1987 à l’adresse
            http://micheldelord.info/pg-maths-5eme.pdf

            A mon sens, et pas seulement pour la question qui nous préoccupe, si les programmes de collège d’avant 1987 (et la problématique qui les sous-tend) sont certes déficients – mais moins qu’en primaire où la catastrophe théorique est totale depuis 1970 –, ceux de 1987 représentent un point de non-retour pour de nombreuses raisons dont une, peu souvent relevée, est pour la première fois l’organisation du programme selon le triptyque maintenant aussi généralisé que néfaste : « Travaux géométriques », « Travaux numériques », « Organisation et gestion de données ».

            Ceci dit, je crois que, comme la question du collège est importante, il serait judicieux d’avoir au moins* à disposition les différentes versions des programmes depuis 1945. Si vous me faites passer (en commençant par ceux de 5ème) des scan des premières pages des manuels qui contenaient en général les programmes, je peux les passer à l’OCR et les mettre en ligne.

            MD

            * au moins car il serait utile d’avoir aussi les IO mais on peut commencer par les programmes.

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 23 décembre 2016 à 08:49, par Michel Delord

    Et justement, il est question de calculatrices dans le dernier numéro de « The Atlantic », intitulé « The Common High-School Tool That’s Banned in College »
    Bonne lecture

    MD

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 26 décembre 2016 à 23:18, par Jérôme Buzzi

    De telles difficultés sont à mon avis l’occasion de (se) rappeler qu’il s’agit là de conventions, c’est-à-dire de choix fondamentalement arbitraires, qu’on espère pratiques. L’exemple des langages informatiques montre la variété des choix jugés raisonnables par leurs auteurs (exécution de gauche à droite ou bien... de droite à gauche ou encore notation postfix). Cela peut aider les élèves à se défaire de l’illusion selon laquelle tout énoncé d’allure mathématique possèderait un sens a priori.

    « Bien des vérités auxquelles nous nous accrochons dépendent de notre point de vue. »

    (Obi Wan Kenobi, wookipedia)

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