Une nouvelle convention de calcul ?

Le mathématicien a-t-il encore son mot à dire sur l’évolution des conventions de calcul de l’école secondaire ?

Le 17 décembre 2016  - Ecrit par  Christian Aebi Voir les commentaires (35)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Introduction

Le but de cette note est de traiter de la pertinence de la convention : si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors on effectue les opérations de gauche à droite.

Il existe deux conventions internationales de calcul admises aussi bien par tous les mathématiciens professionnels que par tous les enseignants :

(1) Si dans un calcul il n’y a que des additions et des soustractions, sans aucune parenthèse alors les opérations s’effectuent de gauche à droite.

(2) La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction dans un calcul qui ne contient aucune parenthèse.

Les autres conventions concernant le produit, la puissance, la racine et la barre de fraction me semblent être d’avantage des conventions de notation :

(3) Le produit de $a$ par $b$ peut se noter par $ab$ au lieu de $a\cdot b$
 [1].

(4) Concernant les puissances, $ab^2$ signifie $a\cdot b \cdot b$, puisque l’exposant $2$ est « collé » contre le
coin Nord-Est de $b$
.

(5) La longueur de la barre (au-dessus ou en-dessous) délimite l’emplacement de parenthèses invisibles, aussi bien pour la racine que pour la division :
\[\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{(b^2-4ac)} \hskip0.2cm \hbox{et} \hskip0.2cm {{ax+b}\over {cx+d}}={{(ax+b)}\over {(cx+d)}}= (ax+b)\div (cx+d) .\]

Remarquons pour commencer que (2) et (3) sont reliés, car non seulement $ab$ est une simplification d’écriture avec l’opération qui disparaît, mais de plus, dans un calcul comme $c + ab$ , la proximité des deux facteurs incite à traiter d’abord le produit avant la somme. L’origine de la règle (1) pourrait éventuellement être que l’addition et la soustraction peuvent être modélisées comme des déplacements sur une droite numérique dans le sens positif et négatif, avec l’enchaînement des calculs de gauche à droite donnant la même réponse que si l’on effectue la différence entre respectivement la somme des déplacements positifs et la valeur absolue des négatifs.

Avec ces cinq conventions est-il possible alors de répondre à la question : Que vaut $48/2(9 + 3)$ ? Une recherche sur le moteur de recherche Google, sous la forme $48/2(9+3)$ indique plus de 1.940.000 d’URL en réponse au problème posé ! Une telle avalanche de liens devrait susciter un doute sur la pertinence de la dite question, vu que les deux seules solutions possibles sont
$2={{48}\over {2\cdot(9+3)}}$ et $288=(48\div2)\cdot(9+3)$. Certains internautes ont imaginé alors qu’il suffit d’introduire la convention du haut de la page pour mettre tout le monde d’accord. Ainsi l’unique réponse, que fournit même le logiciel calculateur de Google, serait $288$. Une autre possibilité consiste à dire « La question n’a pas de sens. » comme affirme justement le prof. George M. Bergman de l’Université de Berkeley dans sa réponse [1] : « There is no standard convention as to which of these two ways the expression should be interpreted, so, in fact, 48/2(9+3) is ambiguous. [2] » Ce dernier me l’a encore confirmé dans un e-mail personnel et précise de surcroît que le prof. Alan Schoenfeld, « who is the intersection of the Math Department and the School of Education here, also agrees that such expressions are simply ambiguous [3] ».

Comment se fait-il alors que l’on voie fleurir la convention de calcul du haut de la page dans les manuels scolaires de la Suisse Romande [2, 3], dans le livre Math $1/2$ de Belgique [12], dans des moyens d’enseignement de Sesamath [5, 6], sur des sites français dédiés à l’enseignement des mathématiques [7, 8, 9, 10], sur le calculateur de Google.com et même dans des revues de recherche en didactique des mathématiques [11, 12] ?

Trois raisons me semblent être derrière cette floraison :

  • Une utilisation (abusive ?) des calculatrices 4 opérations (genre téléphone portable) qui appliquent justement la logique « gauche-droite »
    pourrait être une des causes. En fait, toute calculatrice, quelle qu’elle soit se doit de fournir une réponse à un calcul comme $20 \div 10 \div 2$. Aucun utilisateur n’apprécierait la réponse « Nonsense (idiot) ! »
  • Dans certains des cas cités ci-dessus, les auteurs des manuels ou des pages Web n’étaient pas des mathématiciens de formation, mais des
    enseignants de maths désireux de rendre leur matière à la fois compréhensible et intéressante, quitte à la déformer sans prendre peut-être
    toutes les précautions nécessaires.
  • Grâce à Internet (ou à cause de ?) des allégations de toutes sortes peuvent se répandre à une vitesse phénoménale et tous azimuts,
    sans contenir forcément une once de vérité [4].

Pour garantir la légitimité d’une nouvelle convention de calcul il faudrait s’assurer au moins qu’elle :

  • se justifie pour de bonnes raisons ;
  • n’entre pas en contradiction avec les conventions déjà établies et acceptées ;
  • permette si possible aux élèves de mieux comprendre les concepts en jeu et non le contraire ;
  • soit admise par la grande majorité de la communauté des mathématiciens.

Or il semble que ces quatre critères sont loin d’être vérifiés.

Arguments contre une introduction de la convention ci-dessus

(1) Une convention qui ne peut justifier son existence que par l’existence d’une autre convention,
celle de l’addition et de la soustraction, ne convainc guère de sa pertinence.

(2) Une convention qui ne pourrait s’appliquer que localement, c’est-à-dire au programme de math de l’école secondaire I, semble indéfendable.
Au secondaire II et à l’université les signes opératoires « ${\cdot \over \cdot }$ » et «  : » disparaissent totalement pour laisser place à l’écriture sous forme de barres de fraction, dont la longueur indique clairement l’ordre des opérations.

(3) Une convention obligeant les élèves à apprendre un « truc » supplémentaire, inutile et permettant aux enseignants de les évaluer sur des exercices farfelus du style :

Est-il vrai que $\quad 240 \div 2 \cdot 5 \div 8 \div 4 = 5 \div 2 \div 2 \div 4 \div 8 \cdot 240$ ?

est une mauvaise convention.

Remarquez, que si on se permettait de prolonger la convention au secondaire II on pourrait proposer d’autres exercices saugrenus du type :
Si « $/$ » représente une barre de fraction, démontrer que :

\[\lim_{x\to 0} \sin(2x) / 2x \neq \lim_{x \to 0} \sin(2x) : 2x.\]

(4) Une convention (horizontale) qui pourrait justifier l’introduction encore d’une nouvelle convention (verticale) :

\[\matrix{a\cr -\cr b\cr -\cr c}\quad\textit{ n'est autre que le nombre } a:b:c \quad \text{( gulp ! )} \]

entre en conflit avec la convention usuelle des barres de fraction d’aujourd’hui.

(5) Une difficulté majeure que rencontrent nos élèves est justement la compréhension, l’utilisation et l’identification de parenthèses visibles et invisibles. Inventer une règle qui permettrait d’éviter un obstacle cognitif va donc totalement à l’encontre du bon sens pédagogique.

Ma perception

En réalité, le mathématicien n’applique qu’une seule convention de calcul (celle concernant la priorité de la multiplication sur l’addition), puisqu’il respecte d’office les axiomes du corps de base dans lequel figure l’énoncé. Tout le reste n’est que conventions de notation déjà décrites antérieurement. Alors pourquoi doit-on faire apprendre toutes ces règles de priorité des opérations aux élèves du Secondaire I ? L’unique raison est que ces règles leur servent de béquilles provisoires pour s’aventurer et comprendre comment travailler dans l’anneau $({\Bbb Z} ; + ; \cdot )$, puis dans le corps $({\Bbb Q} ; + ; \cdot )$ et enfin dans $({\Bbb R} ; + ; \cdot )$. Dès l’instant qu’ils comprennent que soustraire est équivalent à additionner l’opposé, diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse, ainsi que la commutativité, l"associativité, les éléments neutres et symétriques et la distributivité, ils peuvent se débarrasser totalement de leurs béquilles et jouer au mathématicien amateur. Il me semble donc parfaitement inutile de leur fournir une règle supplémentaire à la fois superflue et bancale. L’enjeu principal est selon moi, de tout mettre en œuvre pour permettre aux élèves de donner du sens aux axiomes d’un corps, de leur demander de se les approprier afin de pouvoir s’y référer avec précision lorsqu’ils réalisent des exercices algébriques, en particulier du type calcul réfléchi.

Et la vôtre ?

Quelle position adoptez-vous concernant cette convention ? Faut-il s’en alarmer et tenter d’empêcher sa propagation ? Si oui, quels moyens peut-on imaginer pour la contrer ? Pétition disposée sur Images Mathématiques ? Prise de position des mathématicien(ne)s du CNRS ? Charte de référence des conventions mathématiques scolaires de base signée par une poignée de médaillés Fields ? Ou au contraire, estimez-vous que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ?

Bibliographie

[1] G. M. Bergman, Order of arithmetic operations ; in particular, the 48/2(9+3) question.
https://math.berkeley.edu/~gbergman...

[2] M. Chastelain, J.-A. Calame, M. Br chet , Aide-Mémoire de la collection Mathématiques 7-8-9, Editions LEP, 2003

[3] I. Corminboeuf, T. Hostettler, C. Lecoultre, D. Odiet, Aide-Mémoire de la collection Mathématiques 9-10-11, Éditions LEP, 2011.

[4] A. Adam, M. Castiaux, P. Close, R. Janssens, Math 1/2, - Manuel -, Editeur de Boeck

[5] Collectif d’auteurs 9ème,Chapitre 3, page 42,
http://sesamath.ch/projet-manuel-co...

[6]
Collectif d’auteurs 1ère, page 12,
http://www.sesamath.ch/manuel-matug...

[7] http://www.mathematiquesfaciles.com...

[8] http://www.educastream.com/operatio...

[9] http://maths-andre.e-monsite.com/me...

[10] http://www.logamaths.fr/spip/IMG/do...

[11] Glidden, P. L., Prospective elementary teachers’ understanding of the order of operations., School Science and Mathematics, (2008). 108(4), 130-136.

[12] Pappanastos, E., Hall, M. A., & Honan, A. S., Order of operations : Do business students understand the correct order ?, Journal for Education for Business. (2002). November/December, 81-84.

Post-scriptum :

Un grand merci à tous ceux qui ont participé de près ou de loin à l’élaboration du texte ci-dessus et en particulier à Grant, Jaques, Jean-Marie, Laure, Martin, Nicolas, Stéphane et à Thérèse, sans oublier de mentionner évidemment l’équipe de la rubrique Débat du 18 du site Images des Mathématiques.

Article édité par Aziz El Kacimi

Notes

[1La convention précédente s’étend aussi à la théorie des groupes, où l’on abrège souvent l’opération $a \ast b$ par $ab$, pour des éléments $a$ et $b$ appartenant à un groupe $(G ; \ast)$.

[2Il n’y a aucune convention standard permettant de lever l’ambiguïté de l’expression 48/2(9+3).

[3...qui se situe à l’intersection du Département de Math. et de l’Enseignement des Math. à Berkeley, confirme que de telles expressions sont simplement ambivalentes.

[4L’élection américaine avec les rumeurs qui circulaient sur Facebook concernant Hillary Clinton illustre parfaitement la chose, même si c’est dans un autre domaine !

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Pour citer cet article :

Christian Aebi — «Une nouvelle convention de calcul ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 21 décembre 2016 à 02:56, par Jérôme SALMON

    En réalité, je trouve que le problème vient d’une écriture qui n’a pas lieu d’être...
    Lorsqu’une expression ne contient que des nombres, il n’y a pas lieu de ne pas écrire le signe de la multiplication.
    Personne ne remplacerait 2 * 3 par 2.3 (ni même par 23 !).
    De la même manière, je ne me vois pas écrire 2 * (9 + 3) autrement que ce que je vient d’écrire même si je comprendrais aisément l’écriture 2(9 + 3) ou 2.(9 + 3). Ces écritures ont tout leur sens dans des expressions algébriques ou, au contraire, je n’écrirai pas 2 * ( x + 3) mais plutôt 2(x + 3).
    Aussi, avec l’écriture de tous les symboles utiles, l’expression 48 / 2 * (9 + 3) ne me semble plus laisser de doute quand à son résultat.
    De même qu’en algèbre l’écriture a/b(c + d) n’aura jamais la valeur de a/[b(c + d)].
    *
    Auriez-vous d’ailleurs interprété de la même manière les expressions ci-dessous ?
    48/2(9+3)
    48/(9+3)2
    48/2(x+3)
    48/(x+3)2
    Pour moi, les deux premières n’ont pas de sens du fait de l’absence (injustifiée à mes yeux du signe de la multiplication) alors que la troisième signifie clairement à mes yeux (48/2)(x+3) et je pense qu’il en est de même pour tout le monde. Je ne vois pas ce qui permettrait de l’interpréter comme 48/[2(x+3)]. D’ailleurs pour moi, la quatrième n’a pas de sens n’ont plus mais si je rétablissait le signe de multiplication manquant, je pense que personne ne l’interpréterait comme la troisième mais que tout le monde s’accorderait à lui donner le sens de [48 / (9 + 3)] * 2. Pourquoi alors une telle différence de traitement ?
    *
    Ce qui à mon sens démontre bien que tout le monde use de la priorité du sens de lecture quand il s’agit d’opération de même niveau de priorité.
    *
    Je pense que l’ambiguïté vient d’écritures, données en exemple plus haut, et que beaucoup semblent accepter comme telles :
    1/2x pour 1/(2x) (car sinon nous aurions écrit x/2 ou ½x)
    cos 2x pour cos (2x) (car sinon nous aurions écrit x.cos 2 ou (cos 2).x explicitement)
    Ces écritures sont tout de même souvent utilisées par tous et acceptées sans ambiguïtés car elles permettent d’éviter la lourdeur des parenthèses dans des calculs écrits en ligne mais il est clair que l’écriture des mathématiques n’est pas faite pour se faire sur une ligne et qu’alors l’ambiguïté est levée par d’autre stratagèmes comme les traits de fraction ou la barre de la racine.
    *
    Imaginons aussi le problème dans l’autre sens.
    Comment écririons-nous l’expression sur une seule ligne qui correspondrait au produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3 ? Et celle qui correspondrait au quotient de 48 par le produit de 2 par la somme 9 et de 3 ?
    Pour ma part, la réponse à la première expression est : 48 / 2 * (9 + 3).
    Et la réponse à la seconde : 48 / [2 * (9 + 3)].
    Si j’acceptais que ma première expression exprime le deuxième calcul alors comment pourrais-je écrire une expression qui exprime mon premier calcul ?
    Sauf à utiliser des propriétés des opérations ce qui à mon sens n’a pas lieu d’être ici car si je demande à un élève d’écrire le produit de 5 par 3, je n’attends pas qu’il m’écrive le produit de 3 par 5 même si, mathématiquement, les produits sont égaux.
    *
    Un autre biais, me semble-t-il, qui donne son ambiguïté au calcul proposé, vient du fait qu’avec l’habitude, nous prenons le soin de clarifier ce genre d’expression par sa présentation après l’avoir travaillée afin de lui donner un aspect plus explicite.
    Si je dois écrire en ligne une expression égale produit du quotient de 48 par 2 et de la somme de 9 et de 3, je pense que j’écrirai plutôt 48(9+3)/2 car nous savons tous que dans ce genre d’expression, il vaut mieux « effectuer » le produit avant de diviser afin d’avoir plus de chance d’obtenir un résultats exact.
    *
    Pour information, je viens de vérifier, avec la calculatrice que la majorité de mes élèves de collège utilisent que selon le calcul entré dans la machine, le résultat donné n’est pas le même !!!!!!
    48 : 2(9 + 3) = 2 mais 48 : (9 + 3)2 -> syntax error et 48 : 2 * (9 + 3) = 288 = 48 : (9 + 3) * 2 !!!!!!
    N’y aurait-il pas, là, matière à créer une nouvelle convention ?

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