Une nouvelle convention de calcul ?

Le mathématicien a-t-il encore son mot à dire sur l’évolution des conventions de calcul de l’école secondaire ?

Le 17 décembre 2016  - Ecrit par  Christian Aebi Voir les commentaires (35)

Les nombreux problèmes qui se posent dans l’enseignement des mathématiques ne laissent personne indifférent. Beaucoup de gens en parlent, mais peu les posent de façon concrète. C’est que le débat est déjà difficile à porter auprès de la communauté mathématique, et il l’est encore plus au niveau du public. C’est à cet effet que le site Images des Mathématiques souhaite offrir un espace de discussions ouvert à tous ceux qui se sentent touchés par ces questions. Ils pourront y échanger leurs idées, leurs points de vue et éventuellement apporter des éléments de réponse. Le débat sera « provoqué » chaque mois par la publication d’un billet portant sur un point précis, écrit par l’un des responsables de la rubrique ou par toute autre personne qui le souhaiterait.

A. El Kacimi, F. Recher, V. Vassallo

Introduction

Le but de cette note est de traiter de la pertinence de la convention : si dans un calcul il n’y a que des multiplications, des divisions et aucune parenthèse alors on effectue les opérations de gauche à droite.

Il existe deux conventions internationales de calcul admises aussi bien par tous les mathématiciens professionnels que par tous les enseignants :

(1) Si dans un calcul il n’y a que des additions et des soustractions, sans aucune parenthèse alors les opérations s’effectuent de gauche à droite.

(2) La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction dans un calcul qui ne contient aucune parenthèse.

Les autres conventions concernant le produit, la puissance, la racine et la barre de fraction me semblent être d’avantage des conventions de notation :

(3) Le produit de $a$ par $b$ peut se noter par $ab$ au lieu de $a\cdot b$
 [1].

(4) Concernant les puissances, $ab^2$ signifie $a\cdot b \cdot b$, puisque l’exposant $2$ est « collé » contre le
coin Nord-Est de $b$
.

(5) La longueur de la barre (au-dessus ou en-dessous) délimite l’emplacement de parenthèses invisibles, aussi bien pour la racine que pour la division :
\[\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{(b^2-4ac)} \hskip0.2cm \hbox{et} \hskip0.2cm {{ax+b}\over {cx+d}}={{(ax+b)}\over {(cx+d)}}= (ax+b)\div (cx+d) .\]

Remarquons pour commencer que (2) et (3) sont reliés, car non seulement $ab$ est une simplification d’écriture avec l’opération qui disparaît, mais de plus, dans un calcul comme $c + ab$ , la proximité des deux facteurs incite à traiter d’abord le produit avant la somme. L’origine de la règle (1) pourrait éventuellement être que l’addition et la soustraction peuvent être modélisées comme des déplacements sur une droite numérique dans le sens positif et négatif, avec l’enchaînement des calculs de gauche à droite donnant la même réponse que si l’on effectue la différence entre respectivement la somme des déplacements positifs et la valeur absolue des négatifs.

Avec ces cinq conventions est-il possible alors de répondre à la question : Que vaut $48/2(9 + 3)$ ? Une recherche sur le moteur de recherche Google, sous la forme $48/2(9+3)$ indique plus de 1.940.000 d’URL en réponse au problème posé ! Une telle avalanche de liens devrait susciter un doute sur la pertinence de la dite question, vu que les deux seules solutions possibles sont
$2={{48}\over {2\cdot(9+3)}}$ et $288=(48\div2)\cdot(9+3)$. Certains internautes ont imaginé alors qu’il suffit d’introduire la convention du haut de la page pour mettre tout le monde d’accord. Ainsi l’unique réponse, que fournit même le logiciel calculateur de Google, serait $288$. Une autre possibilité consiste à dire « La question n’a pas de sens. » comme affirme justement le prof. George M. Bergman de l’Université de Berkeley dans sa réponse [1] : « There is no standard convention as to which of these two ways the expression should be interpreted, so, in fact, 48/2(9+3) is ambiguous. [2] » Ce dernier me l’a encore confirmé dans un e-mail personnel et précise de surcroît que le prof. Alan Schoenfeld, « who is the intersection of the Math Department and the School of Education here, also agrees that such expressions are simply ambiguous [3] ».

Comment se fait-il alors que l’on voie fleurir la convention de calcul du haut de la page dans les manuels scolaires de la Suisse Romande [2, 3], dans le livre Math $1/2$ de Belgique [12], dans des moyens d’enseignement de Sesamath [5, 6], sur des sites français dédiés à l’enseignement des mathématiques [7, 8, 9, 10], sur le calculateur de Google.com et même dans des revues de recherche en didactique des mathématiques [11, 12] ?

Trois raisons me semblent être derrière cette floraison :

  • Une utilisation (abusive ?) des calculatrices 4 opérations (genre téléphone portable) qui appliquent justement la logique « gauche-droite »
    pourrait être une des causes. En fait, toute calculatrice, quelle qu’elle soit se doit de fournir une réponse à un calcul comme $20 \div 10 \div 2$. Aucun utilisateur n’apprécierait la réponse « Nonsense (idiot) ! »
  • Dans certains des cas cités ci-dessus, les auteurs des manuels ou des pages Web n’étaient pas des mathématiciens de formation, mais des
    enseignants de maths désireux de rendre leur matière à la fois compréhensible et intéressante, quitte à la déformer sans prendre peut-être
    toutes les précautions nécessaires.
  • Grâce à Internet (ou à cause de ?) des allégations de toutes sortes peuvent se répandre à une vitesse phénoménale et tous azimuts,
    sans contenir forcément une once de vérité [4].

Pour garantir la légitimité d’une nouvelle convention de calcul il faudrait s’assurer au moins qu’elle :

  • se justifie pour de bonnes raisons ;
  • n’entre pas en contradiction avec les conventions déjà établies et acceptées ;
  • permette si possible aux élèves de mieux comprendre les concepts en jeu et non le contraire ;
  • soit admise par la grande majorité de la communauté des mathématiciens.

Or il semble que ces quatre critères sont loin d’être vérifiés.

Arguments contre une introduction de la convention ci-dessus

(1) Une convention qui ne peut justifier son existence que par l’existence d’une autre convention,
celle de l’addition et de la soustraction, ne convainc guère de sa pertinence.

(2) Une convention qui ne pourrait s’appliquer que localement, c’est-à-dire au programme de math de l’école secondaire I, semble indéfendable.
Au secondaire II et à l’université les signes opératoires « ${\cdot \over \cdot }$ » et «  : » disparaissent totalement pour laisser place à l’écriture sous forme de barres de fraction, dont la longueur indique clairement l’ordre des opérations.

(3) Une convention obligeant les élèves à apprendre un « truc » supplémentaire, inutile et permettant aux enseignants de les évaluer sur des exercices farfelus du style :

Est-il vrai que $\quad 240 \div 2 \cdot 5 \div 8 \div 4 = 5 \div 2 \div 2 \div 4 \div 8 \cdot 240$ ?

est une mauvaise convention.

Remarquez, que si on se permettait de prolonger la convention au secondaire II on pourrait proposer d’autres exercices saugrenus du type :
Si « $/$ » représente une barre de fraction, démontrer que :

\[\lim_{x\to 0} \sin(2x) / 2x \neq \lim_{x \to 0} \sin(2x) : 2x.\]

(4) Une convention (horizontale) qui pourrait justifier l’introduction encore d’une nouvelle convention (verticale) :

\[\matrix{a\cr -\cr b\cr -\cr c}\quad\textit{ n'est autre que le nombre } a:b:c \quad \text{( gulp ! )} \]

entre en conflit avec la convention usuelle des barres de fraction d’aujourd’hui.

(5) Une difficulté majeure que rencontrent nos élèves est justement la compréhension, l’utilisation et l’identification de parenthèses visibles et invisibles. Inventer une règle qui permettrait d’éviter un obstacle cognitif va donc totalement à l’encontre du bon sens pédagogique.

Ma perception

En réalité, le mathématicien n’applique qu’une seule convention de calcul (celle concernant la priorité de la multiplication sur l’addition), puisqu’il respecte d’office les axiomes du corps de base dans lequel figure l’énoncé. Tout le reste n’est que conventions de notation déjà décrites antérieurement. Alors pourquoi doit-on faire apprendre toutes ces règles de priorité des opérations aux élèves du Secondaire I ? L’unique raison est que ces règles leur servent de béquilles provisoires pour s’aventurer et comprendre comment travailler dans l’anneau $({\Bbb Z} ; + ; \cdot )$, puis dans le corps $({\Bbb Q} ; + ; \cdot )$ et enfin dans $({\Bbb R} ; + ; \cdot )$. Dès l’instant qu’ils comprennent que soustraire est équivalent à additionner l’opposé, diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse, ainsi que la commutativité, l"associativité, les éléments neutres et symétriques et la distributivité, ils peuvent se débarrasser totalement de leurs béquilles et jouer au mathématicien amateur. Il me semble donc parfaitement inutile de leur fournir une règle supplémentaire à la fois superflue et bancale. L’enjeu principal est selon moi, de tout mettre en œuvre pour permettre aux élèves de donner du sens aux axiomes d’un corps, de leur demander de se les approprier afin de pouvoir s’y référer avec précision lorsqu’ils réalisent des exercices algébriques, en particulier du type calcul réfléchi.

Et la vôtre ?

Quelle position adoptez-vous concernant cette convention ? Faut-il s’en alarmer et tenter d’empêcher sa propagation ? Si oui, quels moyens peut-on imaginer pour la contrer ? Pétition disposée sur Images Mathématiques ? Prise de position des mathématicien(ne)s du CNRS ? Charte de référence des conventions mathématiques scolaires de base signée par une poignée de médaillés Fields ? Ou au contraire, estimez-vous que la logique des calculatrices 4 opérations a sa raison d’être et qu’il ne reste plus qu’à s’en accommoder ?

Bibliographie

[1] G. M. Bergman, Order of arithmetic operations ; in particular, the 48/2(9+3) question.
https://math.berkeley.edu/~gbergman...

[2] M. Chastelain, J.-A. Calame, M. Br chet , Aide-Mémoire de la collection Mathématiques 7-8-9, Editions LEP, 2003

[3] I. Corminboeuf, T. Hostettler, C. Lecoultre, D. Odiet, Aide-Mémoire de la collection Mathématiques 9-10-11, Éditions LEP, 2011.

[4] A. Adam, M. Castiaux, P. Close, R. Janssens, Math 1/2, - Manuel -, Editeur de Boeck

[5] Collectif d’auteurs 9ème,Chapitre 3, page 42,
http://sesamath.ch/projet-manuel-co...

[6]
Collectif d’auteurs 1ère, page 12,
http://www.sesamath.ch/manuel-matug...

[7] http://www.mathematiquesfaciles.com...

[8] http://www.educastream.com/operatio...

[9] http://maths-andre.e-monsite.com/me...

[10] http://www.logamaths.fr/spip/IMG/do...

[11] Glidden, P. L., Prospective elementary teachers’ understanding of the order of operations., School Science and Mathematics, (2008). 108(4), 130-136.

[12] Pappanastos, E., Hall, M. A., & Honan, A. S., Order of operations : Do business students understand the correct order ?, Journal for Education for Business. (2002). November/December, 81-84.

Post-scriptum :

Un grand merci à tous ceux qui ont participé de près ou de loin à l’élaboration du texte ci-dessus et en particulier à Grant, Jaques, Jean-Marie, Laure, Martin, Nicolas, Stéphane et à Thérèse, sans oublier de mentionner évidemment l’équipe de la rubrique Débat du 18 du site Images des Mathématiques.

Article édité par Aziz El Kacimi

Notes

[1La convention précédente s’étend aussi à la théorie des groupes, où l’on abrège souvent l’opération $a \ast b$ par $ab$, pour des éléments $a$ et $b$ appartenant à un groupe $(G ; \ast)$.

[2Il n’y a aucune convention standard permettant de lever l’ambiguïté de l’expression 48/2(9+3).

[3...qui se situe à l’intersection du Département de Math. et de l’Enseignement des Math. à Berkeley, confirme que de telles expressions sont simplement ambivalentes.

[4L’élection américaine avec les rumeurs qui circulaient sur Facebook concernant Hillary Clinton illustre parfaitement la chose, même si c’est dans un autre domaine !

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Pour citer cet article :

Christian Aebi — «Une nouvelle convention de calcul ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Une nouvelle convention de calcul ?

    le 24 décembre 2016 à 01:34, par Michel Delord

    Merci pour votre réponse.

    Au vu de votre expérience pédagogique de plus de 30 ans, je comprends que ma position vous agace un tant soit peu.

    MD : Vos positions ne m’agacent pas du tout et, quant à ma pédagogie – je veux dire celle que j’ai pratiqué en étant enseignant et pas celle que je souhaitais – c’est comme je l’ai dit dans le message précédent, une « pédagogie du moindre mal », expression dans laquelle je fais remarquer qu’il y a le mot « mal » ce qui fait que je n’ai pas de raisons spéciales d’en être fier. Et d’ailleurs alors que j’ai des cours complets testés pendant des années de tous les niveaux disons de la sixième à la seconde, je ne les publie pas.

    Sans vouloir polémiquer,

    MD : à mon avis on a tout à fait le droit de polémiquer et vous l’avez donc.

    Pourriez-vous m’indiquer le livre de référence de math d’il y a 30 ans qui soutient cette convention gauche-droite, car presque tous ceux que j’ai consultés évitent d’aborder le sujet :

    MD : dans mon texte, je ne disais pas qu’il existait un livre de référence datant d’il y a trente ans qui enseignait la convention « gauche-droite » ; je disais simplement que, moi MD, je l’enseignais pendant 30 ans. Je voulais m’en tenir là mais j’ai finalement déplacé quelques piles de bouquins pour chercher parmi les manuels de 5éme ceux qui enseignaient la fameuse convention et pouvaient être considérés comme des références. Et j’en ai trouvé un il y a une ½ heure (il y en a peut-être d’autres mais il se faisait tard) , c’est le manuel rédigé par l’IREM de Strasbourg chez ISTRA en 1987 et dont les auteurs comportent des références pédagogiques et officielles telles que François Pluvinage (membre de la COPREM) ou Jean-Pierre Richeton ( ultérieurement président de l’APMEP).

    Cependant il existe aussi un livre qui stipule que cette convention est fausse :

    • « Mathématiques 7e », DIP Genève, 1986 : chapitre 3 (relu et corrigé par Prof. John Steinig, Uni. Genève) :
      « Dans une suite de multiplications et de divisions, l’ordre doit être indiqué par des parenthèses, qu’on effectue d’abord et qu’on ne doit pas déplacer. »
      Il est vrai que J. Steinig est un spécialiste en théorie des nombres qui ne supporte pas l’imprécision et l’ambiguïté

    .

    MD : je partage tout à fait la nécessité de la précision et le refus de l’ambigüité. Pour les références en anglais je conseille aussi : Hung-Hsi Wu de Berkeley (https://math.berkeley.edu/ wu/ ) dont pratiquement tous les textes sont passionnants et en particulier pour ce qui nous intéresse
    ““Order of operations" and other oddities in school mathematics”
    J’avais eu l’occasion d’en discuter avec lui à Banff en 2006. Il s’intéresse à la situation de l’enseignement des maths en Europe puisqu’il avait signé la pétition contre les programmes du primaire français de 2002.

    Bref, je découvre que si la convention n’est peut-être pas si nouvelle, elle n’est de loin pas universelle.

    MD : Ce qui serait intéressant – mais il est un peu tard ce soir pour en parler – serait de comprendre pourquoi cette nouvelle convention est apparue à partir des années 70 (pour la France) puisque par contre, je pense pouvoir certifier qu’elle n’existait pas au moins jusqu’à la fin des années 60.

    Concernant « la logique des calculatrices - qui a sa raison d’être… » ce sont des informaticiens qui programment les machines et personnellement, je ne souhaiterais pas travailler avec mes élèves sur un livre de math rédigé que par une équipe d’ informaticiens.
    À chacun son domaine de compétence.

    MD : là, je pense que le problème est plus compliqué et plus « structurel », ce qui n’annule pas ce que vous dites. Et notamment parce la logique des calculettes est celle du calcul sur les nombres purs (quels qu’en soient les programmeurs) et pas celle du calcul sur les nombres concrets. Or le calcul sur les nombres concrets (entre autres la physique) a été explicitement interdit au moment des maths modernes (et n’a pas été rétabli depuis si ce n’est sous des formes qui empêchent qu’il soit compris) et curieusement les calculatrices envahissent le primaire une fois que le contenu de l’apprentissage du calcul est réduit au calcul qui peut être fait par une calculatrice… Quelle est la cause ? Quel est l’effet ? Trop tard pour continuer ce soir.

    Et joyeuses fêtes à tous ceux qui ont participé à ce débat !

    MD : on ne va pas s’en priver. Merci.
    Une remarque : Je ne peux pas répondre plus précisément tant que je n’ai pas pu vous présenter le cours que je faisais pour juger sur pièces. Or il se trouve qu’il fait 9 pages bien tassées mais que je ne possède le fichier qu’au format lwp (c’est-à-dire celui d’AmiPro) que je ne peux plus ouvrir et je suis donc quasiment obligé de tout retaper.
    MD

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