Une version simplifiée du théorème de Gauss-Bonnet

Piste rouge Le 18 octobre 2020  - Ecrit par  Raphael Ducatez Voir les commentaires

Le théorème de Gauss-Bonnet

Un très beau résultat en géométrie différentielle (et un résultat que j’aime beaucoup) est le théorème de Gauss-Bonnet qui s’énonce ainsi : « Pour toute surface $S$ fermée, l’intégrale de sa courbure $K$ est égale à $2\pi$ fois sa caractéristique d’Euler. »

Ici nous n’expliquerons pas en détail ce théorème mais en présentons plutôt une version un peu simplifiée dont l’énoncé et la preuve sont élémentaires. Ils peuvent être présentés à des élèves de collège ou de lycée tout en permettant de comprendre au moins l’esprit du théorème original et donc constituent à mes yeux un sujet parfait pour un exposé de vulgarisation mathématique. Ce résultat était déjà mentionné dans l’article de Pierre Pansu « Des cartes, des gosses et des bonnets » et je vais donner ici un peu plus de détails.

Dans tout l’article nous exprimerons les angles en radian (pour rappel $2\pi$ radian = $360$ degrés).

Commençons par un petit résultat intermédiaire : pour un polygone à $N$ côtés la somme des angles vaut $(N-2)\pi$ radian. En effet faisons le tour de ce polygone dans le sens des aiguilles d’une montre. Après un tour complet la somme de l’angle des tournants $t(i)$ vaut toujours $2\pi$ ceci quel que soit le nombre de tournants réalisés. L’angle $a(i)$ de chaque sommet est égale à $\pi$ moins $t(i)$ et on a donc la somme des angles $a(i)$ est égale à $N\pi$ moins la somme des tournants $t(i)$ soit $N\pi-2\pi$. Cet exemple n’est pas anodin, car les tournants sont l’équivalent de la courbure en dimension 1, et nous aurions pu énoncer quelque chose qui ressemble très vaguement au théorème de Gauss-Bonnet : « l’intégrale des tournants sur un circuit automobile vaut toujours $2\pi$ ».

Pour un polygone, la somme des tournants vaut $2\pi$

Les coins alias les défauts d’angles.

Considérons maintenant un polyèdre en 3 dimensions. Peut-on définir sur ses sommets une notion de coin ? Quelque chose d’équivalent aux angles en 2 dimension et qui mesure de combien le sommet est pointu ? Une réponse fut proposée par Descartes. Pour un sommet A, on considère les faces f du polyèdre adjacentes à A et leur angle a(i) en ce sommet. On définit alors le coin c(A) (disons aussi le défaut d’angle) comme $2\pi$ moins la somme de ces angles a(i).

Exemples.

  • Pour un tétraèdre régulier, en chaque sommet $A$, les trois angles adjacents valent $\pi/3$, et donc $c(A)=2\pi-3\times\pi/3=\pi$.
  • Pour un cube, en chaque sommet $A$, les trois angles adjacents valent $\pi/2$ et donc $c(A)=2\pi-3\times\pi/2=\pi/2$.
PNG - 29.4 ko
Tétraèdre : $c(A)=\pi$, Cube : $c(A)=\pi/2$

Ces valeurs apparaissent naturellement lorsque l’on déplie le patron la figure. D’où le terme « défaut d’angle ».

PNG - 81.3 ko
Tétraèdre $c(A)=\pi$, Cube $c(A)=\pi/2$

Remarquez qu’il peut y avoir des coins négatifs. Cependant cela ne dépend pas du fait que le sommet s’enfonce ou non dans la figure. Par exemple le coin ci-dessous est bien positif. Pour voir si un coin est positif ou négatif, on déplie le patron de la figure. Si sur le patron les faces autour du sommet ne se recouvrent pas, alors la somme des angles est inférieure à $2 \pi$ et au contraire si elles se recouvrent alors la somme des angles est supérieure à $2\pi$.

PNG - 36.7 ko
Fig C : Les coins des deux figures sont égaux et positifs

Les coins et la caractéristique d’Euler

Rappelons maintenant la notion de caractéristique d’Euler d’un polygone. Elle est égale à la somme suivante : nombre de faces (F) – nombre d’arêtes (A) + nombre de sommets (S) soit $\chi = F-A+S$. C’est l’un des invariants les plus connus en mathématiques. Son invariance découle du fait que sa valeur ne change pas si on ajoute un ou des sommets ($A\rightarrow A+1$ et $S\rightarrow S+1$), une ou des arête(s) ($F\rightarrow F+1$ et $A\rightarrow A+1$), ou que l’on déforme la figure.

PNG - 27.2 ko
$\chi_1 = \chi_2 = \chi_3 =\chi_4$

Qu’en est il de la somme des coins du polyèdre ? On peut reprendre les exemples précédents.

Pour le cube, on a 8 sommets, chacun avec un coin égal à $\pi/2$, la somme des coins vaut alors $8\times\pi/2=4 \pi$. Pour le tétraèdre, on a 4 sommets dont chacun a un coin égal à $\pi$ et donc la somme vaut $4 \pi$. On peut montrer ce théorème de Gauss-Bonnet simplifié :

Théorème de Gauss-Bonnet (I) simplifié : Soit un polyèdre P, alors la somme de ses coins est égale à $2\pi$ fois sa caractéristique d’Euler.

Démonstration.

\[ \sum_{\text{les sommets }A } c(A) = \sum_{\text{les sommets }A } 2 \pi - \sum_{i \text{ autour de }A} a(i) = 2\pi S - \sum_{\text{les sommets }A } \sum_{i \text{ autour de }A} a(i)\]

Le deuxième terme est la somme de tous les angles du polyèdre, c’est donc aussi la somme sur toutes les faces f de la somme des angles de cette face et alors :
\[ \sum_{\text{les sommets }A } c(A) = 2\pi S - \sum_{\text{les faces }f } \sum_{i \text{ à l'intérieur de }f} a(i) = 2\pi S - \sum_{\text{les faces }f } (N(f)-2)\pi \]
avec $N(f)$ le nombre de cotés de la face $f$ et où on a utilisé le petit résultat du début $\sum_{i \text{ à l'intérieur de }f} a(i) =(N(f)-2)\pi$. On obtient alors
\[ \sum_{\text{les sommets }A } c(A) = 2\pi S +2\pi F -\pi \sum_{\text{les faces }f } N(f) \]
Dans cette dernière somme chaque arête du polyèdre est comptée 2 fois, et elle est donc égale à 2A (avec A le nombre d’arêtes du polyèdre). Et on peut conclure : la somme des coins vaut bien $2\pi\times(F-A+S)$.

Des surfaces avec trous et sans trous

Si la caractéristique d’Euler est un des invariants topologique les plus connus, c’est qu’elle permet notamment de classifier les surfaces de dimension 2. Encore une fois pour les polyèdres, la caractéristique d’Euler est bien invariante si on les complexifie en découpant les faces, en ajoutant des sommets ou en déformant la figure. On peut énoncer le résultat suivant : la somme des coins d’un solide (sans trou) vaut toujours $4 \pi$. Dans le cas général la caractéristique d’Euler vaut 2 moins 2 fois le nombre de « trous ».

Par exemple sur les figures suivantes la somme des coins est égale à $0$ et $-4 \pi$ et la caractéristique d’Euler est égale à $ 12 -24+12 =0$ et $ 50 -100 +48 = -2$ respectivement.

Vers la version continue ?

Considérons une surface lisse et approximons-la par un polyèdre ayant un très grand nombre de faces. Sur une petite zone de la surface on peut alors définir la courbure à cette endroit comme la « densité de coins » du polyèdre la recouvrant. Par exemple sur une zone avec une courbure importante les sommets du polyèdre la recouvrant sont plus pointus ou plus nombreux. De fait lorsque l’on augmente le nombre de faces la somme des coins converge vers l’intégrale de la courbure.

PNG - 91.6 ko
somme des coins = intégrale de la courbure = $4 \pi$

On a alors bien le Théorème de Gauss-Bonnet.

Théorème de Gauss-Bonnet (I) \[ \iint_{\mathcal{S}} K d\sigma = 2 \pi \chi (\mathcal{S}) \]

Et aussi, pour une surface $\mathcal{S}$, $\chi(\mathcal{S})$ est égale à $4\pi -4\pi \times g$ où $g$ est le nombre de « trous » de la surface.

Remarquez que $4\pi$ est également la surface d’une sphère de rayon $1$. Dans cet exemple précis la courbure $K$ est constante et égale à $1$. Plus généralement on a $K=1/r^2$ pour une sphère de rayon $r$.

Le théorème remarquable de Gauss

Il se trouve que la courbure n’est pas quelque chose que l’on peut changer facilement. Prenez une feuille de papier et tordez-la de la manière que vous voulez. Sa courbure restera toujours nulle. L’explication est un autre théorème de Gauss que l’on mentionne parfois comme le « Theorema egregium » (le théorème remarquable).

Theorema Egregium Toute transformation qui conserve les longueurs sur la surface préserve la courbure.

Ainsi pour une surface qui n’est pas élastique, sa courbure restera toujours la même quelle que soit la déformation. Si vous aimez les pizzas je vous renvoie aussi à l’article de Nicolas Rocher « Un-theoreme-et-une-part-de-pizza ».

Mais restons avec nos polyèdres et énonçons une variante (très) simplifiée de ce théorème pour les coins.

Theorema Facile Soit un polyèdre $P$ qui ne possède que des faces triangulaires. Toute transformation en un polyèdre $P'$ qui conserve les longueurs des arêtes conserve également la valeur des coins.

La preuve est élémentaire : les longueurs sont conservées, donc les angles des triangles sont conservés, donc par définition les coins sont conservés. Par exemple la figure précédente (fig. C), les coins de la figure de gauche sont égaux à ceux de la figure de droite. Voici une autre figure ensuite déformée pour laquelle tous les coins restent les même.

Le transport de vecteurs

À partir des travaux de Gauss puis de Riemann (qui fut son élève), tout un domaine des mathématiques s’est développé pour comprendre les espaces courbes. Une notion centrale qui apparaît est le « transport des vecteurs » et un autre théorème de Gauss-Bonnet. Ici je vais illustrer simplement ce concept, toujours à l’aide de polyèdres.

Le transport de vecteurs sur un polyèdre

Amusons-nous à déplacer continuellement un vecteur sur un polyèdre. Le vecteur est toujours dans le même plan que la face du polyèdre et tant qu’il ne change pas de face il reste constant au sens usuel du terme. S’il change de face voici la règle : le vecteur resterait le même si on développait le patron du polyèdre. En particulier l’angle entre l’arête et le vecteur reste le même.

Un phénomène curieux apparaît alors : une fois revenu à son point de départ le vecteur transporté peut être différent de celui de départ.

PNG - 47 ko
Le vecteur est transporté le long des pointillés

Qui plus est, il semble que pour les exemples du cube et du tétraèdre, l’angle duquel le vecteur a tourné corresponde au coin du sommet entouré. De fait on a la version simplifiée d’un théorème de Gauss-Bonnet.

Théorème de Gauss-Bonnet (II) simplifié : En transportant un vecteur le long d’une boucle sur un polyèdre, une fois revenu à son point de départ, le vecteur aura tourné d’un angle égal à la somme des coins de la zone entourée par la boucle.

Nous ne ferons pas ici la preuve dans le cas général mais nous allons tout de même montrer ce résultat sur un exemple. L’idée principale est d’utiliser le patron du polyèdre. En effet sur une surface plane on peut transporter le vecteur naturellement : le vecteur reste constant au sens usuel du terme.

Considérons la pyramide ci-dessous : en partant du centre de la base de la pyramide, on transporte un vecteur selon la ligne pointillée.
Le vecteur appartiendra alternativement à la face carrée puis à à une face triangulaire, puis à une autre face triangulaire pour revenir sur la face carrée. À la fin il aura tourné d’un certain angle par rapport à sa position de départ.
Suivons maintenant sur le patron de la pyramide le trajet du vecteur. Ce dernier reste le même lorsqu’il passe de la face carrée à la face triangulaire et jusqu’à arriver à ce qui semble être le bord. Cette arête est en fait la même que celle de la face triangulaire à côté. Il faut maintenant imaginer que ces faces triangulaires sont côte à côte et que le vecteur passe de l’une à l’autre simplement (en particulier l’angle entre le vecteur et l’arête reste le même). Puis le vecteur est ramené au point de départ. On peut alors voir la correspondance entre le coin A et l’angle auquel le vecteur a tourné à la fin du trajet.

PNG - 36.6 ko
Le vecteur est transporté le long des pointillés
PNG - 111.7 ko
Le vecteur a tourné d’un angle égal au coin entouré par les pointillés

Le transport de vecteur sur une surface courbe

Lorsque l’on considère des surfaces courbes, beaucoup de choses qui semblaient évidentes deviennent tout d’un coup beaucoup moins faciles. L’une d’elles est l’égalité des vecteurs. Prenons deux points à la surface de la Terre avec un vecteur sur chacun d’eux. Peut-on dire que ces vecteurs sont égaux, différents ? Maintenant pensez à la première loi de Newton : « Si la somme des forces est nulle, la vitesse reste constante. » Qu’est ce que ça veut dire ici être « constant » ? Voici un exemple pratique : vous êtes dans une voiture et vous démarrez en direction de l’est et ne touchez plus au volant. Dans quelle direction êtes-vous au bout de 1000 km ? Toujours vers l’est, un peu vers le nord ou un peu vers le sud ? La solution du problème est l’utilisation d’un nouvel objet mathématique que l’on appelle le « transport parallèle » justement créé à l’occasion. Vous pouvez imaginer que la surface est, approximativement, un polyèdre ayant un très grand nombre de très petites faces et que la règle pour transporter le vecteur est celle énoncée pour les polyèdres.

Comme précédemment si on transporte un vecteur sur une boucle. une fois revenu à son point de départ le vecteur transporté peut être différent de celui de départ. Il est possible de calculer l’angle duquel le vecteur aura tourné et il s’agit une fois encore d’un théorème de Gauss-Bonnet (non simplifié cette fois).

Théorème de Gauss-Bonnet (II) : En transportant un vecteur le long d’une boucle sur une surface. Une fois revenu à son point de départ, le vecteur aura tourné d’un angle égal à l’intégrale de la courbure sur la zone entourée par la boucle.

Par exemple sur la figure de l’article de Pierre Pansu : en partant du pôle nord avec un vecteur dans la direction du trajet le vecteur restera dirigé vers le sud tout le long du voyage. Mais à la fin de la boucle, il aura tourné de $\frac{\pi}{2}$. Remarquez également que si la terre était de rayon 1 la surface entourée par la boucle est bien $\frac{\pi}{2}$ ($1/8$ de la sphère).

Et je termine l’article par une petite question de physique. Le pendule de Foucault au Panthéon tourne d’environ 4.7 radian en 24 h. La surface de la zone nord délimitée par le 48° parallèle nord (celui de Paris) sur une sphère de rayon 1 est 1.6 « radian ». La somme des deux donne $2\pi$. Coïncidence ?
(ici une jolie animation et une discussion mais en anglais malheureusement).

Post-scriptum :

Cet article est la reprise d’un post sur mon blog.
Je remercie Jean Rax pour m’avoir encouragé à mettre cet article sur IdM.

Merci également aux relecteurs dont les noms ou les pseudos sont CAMI, Jimmy Dillies, Nicolas Bedaride et Lison, pour leur relecture attentive et leurs suggestions de correction.

Article édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

Partager cet article

Pour citer cet article :

Raphael Ducatez — «Une version simplifiée du théorème de Gauss-Bonnet» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?