Un premier exemple [1]

Prenons la situation suivante : vous êtes au casino avec un ami, et vous décidez tous deux de tenter votre chance à la roulette. Celle-ci comporte 37 cases, dont 18 sont rouges, 18 sont noires, et l’une (le numéro 0) est verte. Chacun de vous va choisir une couleur, noir ou rouge. Si la bille tombe sur la couleur qu’un joueur a annoncée (ce qui arrive avec probabilité 18/37), il reçoit un jeton. Sinon, il perd sa mise, d’un jeton. Notons $X$ votre gain, exprimé en jeton, et $Y$ le gain de votre ami. Alors, $X$ est un nombre aléatoire, qui a une probabilité 18/37 d’être égal à $1$ et une probabilité 19/37 d’être égal à $-1$, et il en va de même pour $Y$, et ce quelles que soient les couleurs que vous choisissez.

Par exemple, vous pouvez décider de jouer tous les deux la même couleur (stratégie 1), ou de jouer des couleurs différentes (stratégie 2), ou alors de choisir indifféremment le rouge ou le noir indépendamment l’un de l’autre, par exemple en tirant chacun dans son coin à pile ou face (stratégie 3). Cela n’affecte pas vos chances de gains individuels.

En revanche, le couple $(X,Y)$ peut dépendre de vos choix. Dans ces trois cas, quelle est la loi de $(X,Y)$ , c’est-à-dire quelles valeurs $(X,Y)$ peut-il prendre, et avec quelles probabilités ?

Dans la stratégie 1, avec probabilité 18/37 vous gagnez tous les deux en même temps, auquel cas $(X,Y)=(1,1)$, et avec probabilité 19/37 vous perdez de concert, c’est-à-dire que $(X,Y)=(-1,-1)$. En choisissant la stratégie 2 en revanche, avec probabilité 18/37 vous gagnez et votre ami perd, et donc $(X,Y)=(1,-1)$, avec probabilité 18/37 votre ami gagne et vous perdez, soit $(X,Y)=(-1,1)$, et enfin avec probabilité 1/37 vous perdez tous les deux, $(X,Y) = (-1,-1)$. La probabilité de gagner tous les deux simultanément est nulle. Enfin, avec la stratégie 3 pour gagner tous les deux par exemple il faut que vous ayez parié la même couleur (ce qui arrive avec probabilité 1/2) et qu’ensuite cette couleur soit sortie (probabilité 18/37), ce qui donne une probabilité 9/37 que $(X,Y)=(1,1)$. Les autres situations peuvent être calculées de même, et l’on obtient au bout du compte ce tableau de probabilités.

Autrement dit, bien que les lois de $X$ et de $Y$ soient fixées et ne dépendent pas de la stratégie, la loi du couple $(X,Y)$, elle, peut varier. Choisir une stratégie, c’est ce qu’on appelle construire un couplage de la loi de $X$ et de la loi de $Y$. Le principe général du couplage probabiliste est le suivant : étant données deux variables aléatoires $X$ et $Y$ dont les lois sont prescrites (c’est-à-dire, dont la probabilité que chacune prenne telle ou telle valeur est fixée), il y a tout de même une marge de manœuvre, des choix possibles, pour construire des couplages $(X,Y)$ de ces deux lois [2].

Oui, mais quel intérêt ? Ou, dit autrement, quelle est alors la bonne stratégie pour coupler $X$ et $Y$ ? Eh bien, ça dépend de ce que vous voulez obtenir. Dans le cas de la roulette, si vous faites pot commun de jetons, vous pouvez choisir de minimiser la probabilité de perdre un jeton, auquel cas la stratégie 2 est optimale [3] (il n’y a alors de perte dans le pot commun que si la bille tombe sur 0, ce qui n’arrive qu’avec probabilité 1/37). Si pour repartir avec le lot de vos rêves vous avez absolument besoin, à vous deux, de gagner deux jetons, alors la stratégie 1 est optimale, puisqu’elle maximise la probabilité que $(X,Y)$ soit égal à $(1,1)$. C’est la même chose quand on étudie des problèmes de probabilités : parfois, on va vouloir maximiser la probabilité que $X=Y$, et parfois au contraire la minimiser. Dans certaines situations, on veut que $X$ et $Y$ soient le plus proche possible, ou au contraire le plus éloigné. Dans la suite, on va s’intéresser à un exemple avec encore un autre critère : le but du couplage sera de s’assurer que $X\leqslant Y$.

Percolation

Un certain nombre d’articles d’Images des Maths traitent déjà des problèmes de percolation (par exemple là, là ou là). Pour faire simple, le but est de comprendre comment les propriétés microscopiques d’un matériau (par exemple, une roche) expliquent sa porosité à grande échelle. Considérons le modèle suivant. On suppose que le matériau est un carré, que l’on subdivise en petites alvéoles carrées. Ensuite, pour chaque paroi entre deux alvéoles, on tire à pile ou face, avec une pièce potentiellement biaisée (c’est-à-dire que la probabilité $p$ qu’elle fasse Pile n’est pas nécessairement 1/2 ; on parle de loi de Bernoulli de paramètre $p$). À chaque fois qu’on obtient Pile on supprime la paroi, sinon on la garde. Enfin, on verse de l’eau au-dessus du matériau, et on se demande quelle est la probabilité qu’elle s’infiltre sur toute la hauteur du matériau.

Deux grilles aléatoires : dans la première, il n’y a pas percolation (l’eau ne traverse pas), et dans la seconde, si.

Cette probabilité dépend de $ p $. Notons-la $Q(p)$. On se doute que, plus on a de chances de supprimer chaque arête, plus on a de chances que l’eau s’infiltre. Autrement dit, on s’attend à ce que $Q(p)$ soit une fonction croissante de $p$, c’est-à-dire que si $p'\geqslant p$ alors $Q(p')\geqslant Q(p)$. Comment le démontrer facilement ? La difficulté, c’est que le résultat de la suppression de parois est aléatoire. Même si $p'>p$, si on crée deux grilles, l’une en supprimant les parois avec probabilité $p'$ et l’autre avec probabilité $p$, indépendamment l’une de l’autre, on peut très bien, sur un coup de malchance, ne pas avoir percolation pour la première et avoir percolation pour la seconde. À vrai dire, pour tout $p$ strictement positif et strictement plus petit que 1, il y a toujours une petite probabilité de ne supprimer aucune paroi, ou au contraire de toutes les supprimer.

La solution, pour comparer les deux, est de ne pas créer des grilles indépendamment, mais de les coupler de telle sorte que, s’il y a percolation pour la grille de proba $p$, alors il y a percolation pour la grille de proba $p'$. On le fait de cette façon : en partant de la grille complète, on commence par supprimer chaque paroi avec probabilité $p$. Dans un second temps, en partant de la grille qu’on vient d’obtenir, on supprime chaque paroi encore fermée avec probabilité $(p'-p)/(1-p)$. La grille intermédiaire est, par construction, une grille dont chaque paroi est supprimée avec probabilité $p$, tandis que la grille finale est bel et bien une grille dont chaque paroi a été supprimée avec probabilité $p'$. En effet, pour chacune de ses parois, la probabilité d’être ouverte est égale à la probabilité d’avoir été ouverte dès le premier tour (proba $p$) plus la probabilité de n’avoir pas été ouverte au premier tour (proba $1-p$) fois la probabilité d’avoir été ouverte au second tour (proba $(p'-p)/(1-p)$), ce qui donne bien une probabilité $p'$ (et d’autre part, chaque paroi est bien traitée indépendamment des autres).

Couplage des grilles : la seconde grille correspond à une probabilité $p$ de supprimer les parois, la dernière une probabilité $p'>p$.

Le couplage est tel qu’une paroi supprimée dans la grille intermédiaire est forcément supprimée dans la grille finale. Pour faire le lien avec la première partie, posons $X=1$ si l’eau passe dans la grille intermédiaire et $X=0$ sinon, et de même $Y=1$ ou $0$ selon que l’eau passe ou non dans la dernière grille. Il est clair que, si l’eau trouve un chemin ouvert pour traverser le matériau de haut en bas dans la grille intermédiaire, alors ce chemin est également ouvert dans la grille finale, et donc $X=1$ implique que $Y=1$. Cela revient à dire qu’on a toujours $X\leq Y$ [4]. Puisque, par définition de $Q$, $X$ est une variable aléatoire telle que $\mathbb P(X=1) = Q(p)$, et de même $\mathbb P(Y=1) = Q(p')$, on en déduit que $Q(p) \leqslant Q(p')$. Ce qu’il fallait démontrer.

Et bien d’autres applications

Ce qui marche pour la percolation marche pour les épidémies : si on suppose que deux maladies se propagent de façon similaire, mais que l’une est plus virulente que l’autre (c’est-à-dire que la probabilité d’infecter un voisin quand on est soi-même infecté est plus grande), ou bien que son traitement est moins efficace que celui de l’autre, alors on s’attend à ce qu’elle contamine plus de gens. Sur des modèles mathématiques simples, on peut le montrer par un couplage tout à fait similaire à celui du paragraphe précédent. Ces couplages, qui ont pour but d’instaurer une hiérarchie entre les variables aléatoires (c’est-à-dire, assurer que l’une est plus grande que l’autre), sont dits monotones [5].

Une autre grande famille de couplages a pour but d’étudier comment des particules en mouvement, débutant à des positions différentes, peuvent finir par se rencontrer. Il s’agit alors de coupler à chaque instant les déplacements des deux particules pour maximiser leurs chances de se rencontrer, puis de rester ensemble. C’est ce qu’on appelle des couplages coalescents. On les utilise entre autres pour étudier les nombreux algorithmes qui reposent sur l’exploration aléatoire d’un grand nombre de possibilités.

Toujours pour ce type d’algorithmes, en pratique, on peut aussi essayer de coupler deux particules pour qu’elles fassent le contraire l’une de l’autre (si l’une va à l’est, l’autre va à l’ouest, etc.) de sorte qu’elles aillent, autant que faire se peut, dans des directions opposées (couplage miroir, ou antithétique) afin de voir plus rapidement un échantillon plus large de possibilités.

Un exemple (très concret) de couplage miroir

Enfin, un domaine entier des mathématiques, le transport optimal (cf cet article ou celui-là, qui détaille des applications en traitement d’images), utilise les couplages pour quantifier à quel point deux lois de probabilité sont éloignées l’une de l’autre. Très grossièrement, le principe est le suivant : si, partant d’une variable aléatoire $X$, je peux faire, avec très peu de modifications, une variable $Y$, alors les lois de $X$ et $Y$ sont proches. Si, au contraire, il faut beaucoup de transformations, les lois sont éloignées. Pour reprendre l’exemple de la percolation : pour passer d’une grille de probabilité $p$ à une grille de probabilité $p'$, il suffit d’ouvrir (si $p'>p$) ou de fermer (si $p' < p$) des parois supplémentaires avec probabilité $|p'-p|/(1-p)$. Plus $p'$ est proche de $p$, moins on va devoir ajouter (ou enlever) de parois, et donc plus les lois des grilles sont proches.

Bref, les couplages sont (presque) partout et, si leur mise en œuvre peut parfois s’avérer subtile, ils restent un outil qui, d’un principe très simple, donne des solutions élégantes à des problèmes délicats de probabilités.