Valores aproximados de raíces

Piste rouge Le 30 juillet 2020  - Ecrit par  Serge Cantat, Stéphane Le Borgne
Le 25 juillet 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Valeurs approchées des racines Voir les commentaires
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¿Cómo calcular raíces cuadradas, como $\sqrt{2}$ o $\sqrt{324,12}$, en tan solo algunos cálculos ’’rápidos’’ ? ¿Y a qué corresponde esto geométricamente ? Un texto para uso en el liceo. ¡Otros artículos del mismo tipo vendrán !

Dibujar $\sqrt{2}$

En un cuadrado cuyo lado mide $1$ (digamos $1$ metro), la diagonal mide $\sqrt{2}$, como resulta directamente del teorema de Pitágoras. En este sentido, hemos representado geométricamente $\sqrt{2}$ : es la longitud de la diagonal. Tracemos ahora un cuadrado cuya área sea igual a $2$. La longitud $L$ de sus lados verifica entonces $L\times L = 2$, y la figura es, por tanto, ’’más cercana’’ a la definición algebraica de las raíces cuadradas. En efecto, por definición,
\[ L=\sqrt{2}, \]
pues esta es la solución positiva de la ecuación $L^2= 2$. Para trazar esta figura, partamos de un rectángulo cuyos lados miden $2$ y $1$, cortado en dos cuadrados, cada uno cortado a lo largo de una diagonal, como se muestra en la figura siguiente :

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Un rectángulo de lados $2$ y $1$ cortado en dos cuadrados.

Disponemos entonces de cuatro mitades de cuadrado, las que podemos acomodar en un gran cuadrado de lado $\sqrt{2}$ [1] :

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Un cuadrado de área $2$, y por tanto de lado $L = \sqrt{2}$.

Este proceso de corte y pegado muestra cómo construir el cuadrado buscado, del área $2$ a partir de un rectángulo inicial de la misma área. Describiremos ahora otro proceso que no funciona directamente : en lugar de construir el cuadrado buscado, produce una serie de rectángulos que se acercan cada vez más al cuadrado. Esto proporcionará un algoritmo para calcular aproximaciones sucesivas del número $ L = \sqrt {2}$.

Calcular $\sqrt{2}$

El objetivo que tenemos ahora es calcular $\sqrt {2} $ con precisión arbitraria manipulando rectángulos de área igual a $ 2 $, como se indicó anteriormente. En el artículo de Patrick Popescu Pampu se describe otro método sobre el mismo tema : allí aprenderás un bello algoritmo, adornado con algunos recuerdos nostálgicos del autor.

Comencemos con algunos comentarios. Las longitudes $ a $ y $ b $ de los lados de un rectángulo de área $ 2 $ verifican la relación $ ab = 2 $, o equivalentemente $ b = 2/a $. El rectángulo utilizado anteriormente es un caso especial de esto, con $ a = 2 $ y $ b = 1 $. Si dicho rectángulo es casi un cuadrado, es decir, $ a $ es casi igual a $ b $, entonces $ a $ y $ b $ serán casi iguales a $ \sqrt {2} $. Más generalmente, si el área del rectángulo es $ A $, entonces $ ab = A $, es decir, $ b = A / a $ ; si el rectángulo está cerca de un cuadrado, entonces $ a $ y $ b $ están cerca de $\sqrt {A} $. Por lo tanto, vamos a buscar una construcción geométrica que transforma cualquier rectángulo alargado en un rectángulo menos alargado, más cercano a un cuadrado.

Para esto, volvamos al caso particular $A=2$ y reemplacemos el rectángulo inicial, de lados $a>b$ y área $ab=2$, por el rectángulo de lados
\[a_1=\frac{a+b}{2} \quad \text{y} \quad b_1=\frac{2}{a_1}=\frac{4}{a+b}.\]

Dicho de otra manera, el mayor de los dos lados se reemplaza por su promedio
aritmético, por lo que el nuevo lado verifica $ b < a_1 < a $. Luego, calculamos el otro lado del nuevo rectángulo $ b_1 $ : para que el área permanezca igual a $ 2 $, es necesario que $ b_1 = 2 / a_1 $. Puesto que $a_1 < a$ y $a_1b_1 = 2 = ab$, obtenemos $b_1 > b$. Luego, los nuevos lados quedan comprendidos entre los anteriores, y por tanto se han aproximado entre ellos. [2]

He aquí cómo construir cortando y volviendo a pegar el nuevo rectángulo, esto a partir de un rectángulo de lados $ a = 2 $ y $ b = 1 $. Primero mantenemos una parte de ancho $ a_1 = \frac{a + b}{2} = \frac{3}{2} $ y altura $ b = 1$. Queda entonces una porción de tamaño $ 1/2 \times 1 $. Luego cortamos esta parte residual en cuatro rectángulos delgados, como a continuación :

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Corte del rectángulo.

Finalmente, reacomodamos los rectángulos para obtener un rectángulo de base $a_1=3/2$ y altura $b_1=1+2/6=4/3$ :

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Reensamble

El rectángulo así construido tiene las dimensiones pedidas : $a_1$ y $b_1$.

Podemos después iterar esta construcción. A partir de la elección inicial $a=2$ y $b=1$, esto da los valores siguientes :

  1. largos $a_1=3/2$ y $b_1=4/3$ ; es el rectángulo construido arriba.
  2. largos $a_2=(3/2+4/3)/2=17/12$ y $b_2=24/17$.
  3. largos $a_3=(17/12+24/17)/2=577/408$ y $b_3=816/577$.

Para comparar las diferentes fracciones que aparecen, coloquémoslas en cada paso al mismo denominador, y luego calculemos las diferencias $a_n-b_n$ :

  1. $a_1=9/6$ y $b_1=8/6$, por lo que $a_1-b_1=1/6$
  2. $a_2=289/204$ y $b_2=288/204$, por lo que $a_2-b_2=1/204$.
  3. $a_3=332 929/235 416$ y $b_3=332 928/235 416$, por lo que \[a_3-b_3=1/235 416.\]

En el tercer paso, tenemos dos números racionales positivos cuyo producto vale $2$ y cuya diferencia es $1/235 416$. La raíz de $2$ queda entonces comprendida entre esos números $b_3$ y $a_3$, y cada uno corresponde a un valor aproximado de $\sqrt{2}$ con error menor a $1/235 416$, y por tanto con precisión de cinco decimales. Esto ya es bastante preciso, pues ya permite deducir que $\sqrt{2}=1,41421...$.

En las fracciones que acabamos de calcular, observamos que los numeradores de las fracciones irreducibles que representan las diferencias $ a_n-b_n $ son todos iguales a $ 1 $. Esto no es una coincidencia ; de hecho, es posible demostrar que es el caso para todos los $ n $ [3]. Otra forma de expresar esta propiedad es la siguiente : si $ a_n = p_n / q_n $ es la escritura de $ a_n $ en forma de una fracción irreducible, entonces
\[ p_n^2-2q_n^2=1. \]
La sucesión $(p_n,q_n)$ entrega entonces una infinidad de soluciones (en números enteros) a la ecuación de Pell-Fermat
\[ x^2-2y^2=1. \]
Sin embargo, no todas las soluciones de esta ecuación son obtenidas a través de la sucesión. [4]

Calcular $\sqrt{7}$

El método que hemos descrito para $\sqrt{2}$ funciona para otros números. Apliquémoslo para estimar $\sqrt{7}$ comenzando con $a=7$ y $b=1$. El rectángulo de lados $a$ y $b$ es ahora reemplazado por un rectángulo de lados $a_1=(a+b)/2$ y $b_1=7/a_1$ (para conservar el área igual a $7$). Colocando $a_n$ y $b_n$ a un mismo denominador, esto da
\[ a_1 = 4 = 16/4 \quad {\text{y}} \quad b_1 = 7/4,\]
y luego
\[ a_2=\frac{23}{8},\; b_2= \frac{56}{23}, \quad {\text{es decir,}}\quad a_2= \frac{529}{184}, \; b_2= \frac{448}{184};\]
\[ a_3=\frac{977}{368} , \; b_3=\frac{2576}{977}, \quad {\text{es decir,}}\quad a_3=\frac{954529}{359536}, \; b_3=\frac{947968}{359536}.\]
Las diferencias sucesivas $a_n-b_n$ valen entonces $6$, $9/4$, $81/184$, $6561/359536=0,018$. Así, después de tres etapas, el error de aproximación es pequeño, aunque aún del orden de $1/100$ (esto no es tan fantástico...).

Se puede obtener algo mejor al comenzar con otro rectángulo (aún de área $7$, obviamente). Volvamos a la ecuación de Pell-Fermat, pero con un $7$ en lugar de un $2$. Se trata de la ecuación $x^2-7y^2=1$, que podemos describir de manera equivalente como
\[ x^2=1+7y^2. \]
Procuramos soluciones enteras $x$, $y$. Si $(x,y)$ es una solución de este tipo, entonces $(x/y)^2=7+(1/y)^2$. Si $y$ es grande, entonces $(1/y)^2$ es pequeño, y $x/y$ es una buena aproximación de $\sqrt{7}$. Hagamos la lista de números $1+7y^2$ para $y$ entre $0$ y $7$ :
\[ 1,\ \ 8,\ 29,\ \ 64,\ \ 113,\ \ 176,\ \ 253,\ \ 344. \]
Para $y=3$, el valor obtenido es $8^2=64$, lo cual da
\[ 8^2=64=1+7 \times 3^2. \]
En otros términos, el par $(8,3)$ es una solución de la ecuación $x^2=1+7y^2$. Esto sugiere aplicar nuestro método partiendo con un rectángulo de área $7$ cuyo primer lado tenga longitud $a=8/3$ y el segundo $b=21/8$. Así, partiendo de $a=8/3$ y $b= 21/8$, y colocando $a_n$ y $b_n$ al mismo denominador, obtenemos
\[ a_1=\frac{127}{48},\; b_1= \frac{336}{127}, \quad {\text{es decir,}}\quad a_1= \frac{16129}{6096}, \; b_1= \frac{16128}{6096},\]
y luego
\[ a_2=\frac{32257}{12192},\; b_2= \frac{85344}{32257}, \quad {\text{es decir,}}\quad a_2= \frac{1040514049}{393277344}, \; b_2= \frac{1040514048}{393277344},\]
\[ a_3=\frac{2081028097}{786554688} , \; b_3=\frac{5505882816}{2081028097}\]
(no daremos las reducciones al mismo denominador de $a_3$ y $b_3$ pues os números en cuestión tienen 19 cifras...). Las diferencias sucesivas $a_n-b_n$ valen $1/24$ (para $a-b$), $1/6096$, $1/393277344$, $1/(2081028097*786554688)$... Esto es muchísimo más rápido que comenzando con un rectángulo de largos $7$ y $1$.

El método de Héron

El método que acabamos de presentar es a menudo llamado método de Héron [5]. Resumámoslo en el algoritmo siguiente, el cual tiene por objetivo aproximar la raíz (positiva) de un número $x>0$.

Comenzamos con una primera aproximación $a$ por debajo de $\sqrt{x}$, es decir, tal que $a^2\geq x$. Hacemos $b=x/a$, lo que corresponde a considerar un rectángulo de lados $a$ y $b$, con $a$ escogido y $b$ impuesto por la relación de área $ab=x$. Luego, en cada etapa, reemplazamos el par $(a,b)$ disponible por el nuevo par $(a',b')$ definido por
\[ a'=\frac{a+b}{2} =\frac{1}{2}(a+\frac{x}{a}) ,\quad b'=\frac{x}{a'} =\frac{2x}{a+x/a}.\]
Esta operación es repetida para producir una sucesión $(a_n,b_n)$. Entonces $a_n\geq \sqrt{x}\geq b_n$, y las dos sucesiones $(a_n)$ y $(b_n)$ convergen a $\sqrt{x}$, la primera de manera decreciente y la segunda creciente. Esto da en cada etapa una aproximación $b_n\leq \sqrt{x}\leq a_n$ de la raíz cuadrada buscada.

Podríamos también ’’olvidar los $b_n$’’ partiendo de $a=x$ y haciendo $a_{1}=\frac{1}{2}(a+x/a)$, luego $a_2=\frac{1}{2}(a_1+x/a_1)$, etc.
Sin embargo, haciendo esto solo conservamos la mayoración $\sqrt{x}\leq a_n$, con $a_n$ aproximándose a $\sqrt{x}$, y en general esto es menos práctico que una doble estimación. [6] [7]

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1El área del rectángulo inicial es igual a $2$ ; el área del cuadrado obtenido es por tanto también igual a $2$, y la longitud de sus lados es $\sqrt{2}$. Aquí, el teorema de Pitágoras no es utilizado : es la noción de área la que entra en juego (invariancia por corte-ensamble y fórmula para el cuadrado). Debemos también mostrar que la figura obtenida es un cuadrado : los cuatro lados tienen la misma longitud (la misma de la diagonal de un cuadrado de lado $1$), y los cuatro ángulos son rectos (por simetría, los ángulos de los cuatro triángulos usados son iguales a $90$ o $45$ grados).

[2Además, usando $ab = 2$, concluimos que la nueva diferencia $a_1-b_1$ vale
\[ a_1-b_1 = \frac{a+b}{2}-\frac{4}{a+b}= \frac{a^2+b^2+2ab-8}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)} \]
En particular, $a_1 > b_1$.

[3Esto se desprende de la nota anterior.

[4Por ejemplo, no se obtiene la solución $(99,70)$, la cual se halla entre $(17,12)$ y $(577,408)$. Las ecuaciones de Pell-Fermat también son abordadas en los siguientes artículos de Paisajes matemáticos : Números potentes en el bachillerato, Cuando la geometría viene al servicio de la aritmética, El número de oro en matemática. La resolución completa de las ecuaciones de Pell-Fermat puede apoyarse en la escritura en fracción continua. Si deseas saber lo que es esto, puedes leer el artículo Calendarios y fracciones continuas.

[5En referencia a Héron de Alejandría, matemático griego del primer siglo que describe el método. Sin embargo, el procedimiento era conocido antes, y es llamado también método babilonio (ver también este apasionante artículo).

[6Este método coincide con el de Newton. Si usamos la noción de sucesión definida por recurrencia, podemos decir que los pares $(a_n,b_n)$ son definidos por una condición inicial $(a_1,b_1)=(a,x/a)$ con $a>0$ y $a^2\geq x$, por la relación $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$, $b_{n+1}=2x/(a_n+b_n)$.

[7Se puede presentar el problema de búsqueda de valores aproximados de raíces cúbicas en términos geométricos análogos : ¿cómo hacer que una caja se haga cada vez más cúbica sin cambiar su volumen ? Dado un número $A>1$, comencemos con un paralelepípedo de lados $a=A$, $b=1$, $c=1$. Construimos entonces un nuevo paralelepípedo de lados
\[a_1=\frac{1}{3}(a+b+c)=\frac{A+2}{3}, b_1=a_1,\]
\[c_1=\frac{A}{a_1b_1}=\frac{A}{a_1^2}.\]
Observa que el volumen $a_1b_1c_1=A$ se mantiene constante, y $c_1=\frac{9A}{(A+2)^2}$. Se prosigue de la misma manera, pasando del paralelepípedo número $n$ al siguiente mediante las condiciones :
\[ a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+b_n+c_n), \quad b_{n+1}=a_{n+1}, \quad c_{n+1}=\frac{A}{a_{n+1}b_{n+1}}=\frac{A}{a_{n+1}^2}.\]

¿Será que esto funciona ? ¡Sí ! Más precisamente, al repetir el algoritmo, los tres términos $a_n$, $b_n$ y $c_n$ se aproximan de la raíz cúbica de $A$. Aquí, el formato de la figura de partida también tiene una influencia sobre la calidad de la aproximación obtenida para pequeños valores de $n$.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Valores aproximados de raíces» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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