Variétés

6 novembre 2009  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (2)

Un jour, lorsque je m’apprêtais à
descendre de l’autobus, une dame qui était à côté de moi
me demanda :

« S’il-vous-plaît, qu’est-ce que c’est qu’une variété ? »

Comme les portes s’ouvraient, je répondis
de manière extrêmement concise :

« Vous voyez ce qu’est une surface, par exemple une feuille de
salade ? Et bien, une variété c’est la même chose, mais en dimension
quelconque.
 »

Je ne sais pas ce que la dame a pu comprendre de cette description.
Mais comme les variétés sont devenues au vingtième siècle
des objets fondamentaux de la
géométrie, je voudrais essayer de répondre ici un peu plus
longuement à la question de cette dame.

Mais tout d’abord, pourquoi m’a-t-elle posé cette question ? Cela
est tout simple : lorsque je voyage dans les transports en commun, je lis
souvent des articles de maths. C’était le cas ce jour-là, et le mot
« variété » était très présent dans les lignes parcourues.

Pourquoi faut-il généraliser la notion de surface de l’espace « physique »
quotidien en dimension quelconque ? Voici l’explication donnée par
Bernhard Riemann en 1854, dans son article
« Sur les hypothèses qui servent de fondement à la
géométrie
 » (pages 280-299 des « Œuvres mathématiques »,
republiées par J. Gabay, 1990) :

Les concepts de grandeur ne sont possibles que là où il
existe un concept général qui permette différents modes de
détermination. Suivant qu’il est, ou non, possible de passer de l’un
de ces modes de détermination à un autre, d’une manière continue,
ils forment une variété continue ou une variété discrète [...]
Les concepts dont les modes de détermination forment une variété
discrète sont si fréquents que, étant donnés des objets
quelconques, il se trouve toujours, du moins dans les langues
cultivées, un concept qui les comprend [...] Au contraire, les occasions
qui peuvent faire naître les concepts dont les modes de détermination
forment une variété continue sont si rares dans la vie ordinaire, que les
lieux des objets sensibles et les couleurs sont à peu près les seuls
concepts simples dont les modes de détermination forment une variété
de plusieurs dimensions. C’est seulement dans les hautes Mathématiques
que les occasions pour la formation et le développement de ces concepts
deviennent plus fréquents.

Pour plus de détails sur le contexte de cet article, on pourra consulter
le billet du 18 Octobre 2009 de Joël Merker, intitulé « Assembler l’inachevé ».

Un « concept général » semble pensé ici un peu comme le genre,
et un « mode de détermination » est comme une espèce à l’intérieur de
ce genre. Par exemple, à l’intérieur du concept de meuble on
trouve toute une variété de modes de détermination :
des tables, tabourets, chaises, armoires et commodes... Mais c’est une
variété « discrète » selon le vocabulaire du mathématicien,
au sens où on ne passe pas de manière continue d’une chaise
à une table à travers toute une famille de meubles.

Par contre, on passe continûment d’une couleur à une autre, à travers
tout un spectre de couleurs intermédiaires. Si on rajoute aussi le ton
et la luminosité, on obtient une variété
continue à 3 dimensions, abstraite, c’est-à-dire
complètement différente de l’espace
physique de la perception sensible.

Prenons ensuite un exemple dans des
mathématiques pas si « hautes » que ça. Si on regarde le
concept de droite dans le plan, il admet une variété continue
de « modes de détermination » : on peut passer de n’importe quelle droite
à n’importe quelle autre par un déplacement continu. Même si cette variété
est née à partir d’un être qui peut nous sembler concret - un plan -
en examinant certains des êtres les plus simples qui l’habitent - les droites -
c’est néanmoins une variété abstraite, au sens où elle
n’est pas à l’avance
plongée dans un autre espace.

Il s’agit en fait d’une surface, c’est-à-dire que la variété est de
dimension 2
. Pour s’en rendre compte, on regarde les droites
proches d’une droite fixée.
On peut les paramétrer par leur distance à une origine fixée
en dehors de la droite et par l’angle formé avec une direction fixée. Il y a
bien sûr beaucoup de choix, mais somme toute, on a toujours besoin
de deux paramètres pour déterminer sans ambiguité une
droite proche de la droite donnée. C’est précisément pour cette raison
que l’on dit que la variété est de dimension 2.

Mais avoir dit cela ne détermine pas la forme globale de la
variété : un plan, une sphère,
un tore sont des surfaces qui ont des formes différentes. Est-ce que
notre surface abstraite a la même forme qu’une surface
plus concrète ?

Eh bien oui, la variété des droites dans le plan est en
fait une bande de Moebius abstraite ! Ce n’est pas immédiat
de le voir, mais s’y acharner et y arriver produit un plaisir
garanti ! Voici une indication : un cercle central de la bande de Moebius,
le long duquel on ne la décompose pas en deux morceaux par
découpage, est formé par la sous-variété des droites passant
par un point fixe du plan.

Regardons de même la variété
des droites dans l’espace de dimension 3. C’est une variété
abstraite de dimension 4, qui n’a rien à voir avec l’espace-temps !
Elle sert par exemple à penser des phénomènes d’optique liés
à la déviation de systèmes de rayons (des droites !) par divers
milieux.

Mais au fait, comment définir avec précision une variété de dimension
quelconque ? Comme dans l’exemple de la variété des droites du plan,
l’idée fondamentale est qu’au voisinage de tout point, elle semble « plate ».
Voici par exemple ce qu’écrivait Elie Cartan au début du chapitre III de son livre
« Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann, »
paru chez Gauthier-Villars en 1928. La première phrase est encore assez
souvent citée de nos jours :

La notion générale de variété est assez difficile à définir avec
précision. Une surface donne l’idée d’une variété à deux dimensions.
Si nous prenons par exemple une sphère, ou un tore, nous pouvons
décomposer cette surface en un nombre fini de parties telles qu’il existe
une représentation biunivoque de chacune de ces parties sur une région
simplement connexe du plan euclidien.

[...] Dans les exemples précédents, chaque variété est définie par
un ensemble de points situés dans un espace préexistant. Mais on peut
aussi imaginer des variétés in abstracto. Dans le cas général,
une variété à $n$ dimensions est caractérisée par la possibilité
de représenter le voisinage de chaque point $P_0$ au moyen d’un système
de $n$ coordonnées susceptibles de prendre toutes les valeurs possibles
au voisinage du système de valeurs qui représente $P_0$.

Ainsi, une variété est recouverte par de petits morceaux identifiés à des
parties de l’espace euclidien modèle de dimension $n$. On appelle ces
identifications des cartes, et l’ensemble des cartes forme un atlas.
C’est de cette manière que l’on recouvre la surface de la Terre avec
les cartes d’un atlas géographique : le vocabulaire en a été importé !
On pourra aussi penser aux plumes recouvrant un oiseau ou aux écailles d’un poisson.

D’un point de vue plus
physique, chaque carte représente la partie de l’univers où un observateur
mesure tout à l’aide d’un système de coordonnées
qu’il a choisi comme bon lui a semblé. Dans sa carte, il décrira les structures
dont il prendra conscience, les objets, les champs et leurs changements,
il essayera de dégager des lois, de prévoir le futur ou de reconstruire le passé.
Et si deux
observateurs comparent leurs descriptions du monde là où leurs cartes
se recouvrent, elles ne seront apparemment pas du
tout les mêmes. Néanmoins elles décrivent le même monde ! Comment
les ajuster ? Répondre à cette question est le but du domaine des
maths de ce que l’on appelait déjà depuis plus
d’un demi-siècle à l’époque de Cartan la théorie des invariants.
J’y ai déjà fait brièvement référence dans mon billet du 26 février 2009, intitulé
« Vertus des analogies ».

Lorsque Cartan écrivait son livre, la théorie de la relativité
générale d’Einstein, datant de la première guerre mondiale, avait
donné une nouvelle impulsion à la recherche des liens entre la théorie
des invariants et la géométrie des variétés : sa description de
l’« espace-temps » ne privilégiait plus de systèmes de coordonnées,
celui-ci était vraiment a priori uniquement une variété de dimension 4.

Le point sur lequel je veux insister ici est que la définition
même de variété donnée précédemment incorpore la relativité
des points de vue. En
général les coordonnées utilisées dans une carte y déterminent un point
privilégié (pensez par exemple au point se
trouvant représenté au centre de chaque page d’un atlas géographique).
L’observateur
situé en ce point peut s’imaginer vaniteusement être au centre du monde.
Mais, s’il apprend à être plus modeste, il arrive à se rendre compte qu’il ne sait
contempler le monde que situé en un point de celui-ci, mais que son point
de vue ne lui dévoile qu’une petite écaille du monde.
Il essaye alors de dialoguer avec les autres observateurs,
en traduisant par exemple ses descriptions en termes invariants, ce qui
facilite le recollement avec les descriptions
des autres. Petit à petit s’élargit ainsi la vision commune de la structure
globale de la variété-monde dans laquelle tous ces interlocuteurs vivent
et imaginent !

Mais pourquoi donc Cartan disait-il qu’il était « assez difficile » de définir la notion
générale de variété ? D’un point de vue formel, toutes les définitions
se valent, il n’y en a pas de faciles ou de difficiles. Cela change beaucoup
du point de vue psychologique. En effet, on n’arrive parfois à comprendre
la raison de certaines définitions et l’économie de pensée qu’elles
produisent qu’après bien de l’entraînement avec des incarnations de
cette définition.

C’est là un sens du terme « difficulté ». Mais il y en a un
autre qui s’adapte à notre contexte. Une définition ne tombe pas du ciel,
elle se crée au vu de phénomènes variés que l’on désire unifier.
Et si on revient à ce qu’écrivit Riemann, pourquoi est-ce justement la définition
donnée par Cartan qui exprime son intuition ?

En fait, la notion précédente de variété n’est pas suffisante pour
décrire les « modes de détermination » de tous les concepts qui
intéressent les penseurs. On a dû permettre aux espaces d’avoir aussi
des points singuliers, on a créé les notions générales
d’espace topologique, de schéma,
de foncteur de modules, de catégorie fibrée en groupoïdes,
d’espace non-commutatif, etc.

Le monde présente une telle variété de
phénomènes que la création de nouveaux concepts permettant
d’y mieux penser n’est pas près de s’arrêter !

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Variétés» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Variétés

    le 19 novembre 2009 à 12:38, par Pierre Lescanne

    Je sais que les concepts mathématiques peuvent avoir des noms arbitraires qui ne sont pas reliés à ce qu’ils appréhende. Un « anneau » n’a pas la forme d’une bague ou d’une erse. Mais j’ai une question de vocabulaire : « Pourquoi appelle-t-on une variété ainsi ? ». Serait-ce lié à ce qui est dit à la fin de l’article ? :

    Une définition ne tombe pas du ciel, elle se crée au vu de phénomènes variés que l’on désire unifier.

    Répondre à ce message
    • Variétés

      le 27 novembre 2009 à 16:26, par Ulysse Keller

      Il semble bien que la réponse à votre dernière question soit (essentiellement) affirmative. Car « variété » est une traduction possible du mot allemand Mannigfaltigkeit qui dérive de l’adjectif mannigfaltig signifiant « varié, divers ». Selon l’article Manifold de la wikipédia anglaise, Riemann aurait choisi le mot en référence aux multiples valeurs que peuvent prendre les variables servant de coordonnées dans une variété - petite nuance donc par rapport à l’idée de diversité des variétés elle-même ...

      Quant à anneau, il s’agit de la traduction littérale du mot allemand Ring pouvant aussi - pas très souvent, et contrairement au mot français - désigner un groupe de personnes (peut-être en référence aux réunions en cercle). On peut lire ça dans la wikipédia allemande dans l’intro. de l’article Ringtheorie, qui donne même des exemples, auxquelles je pourrais ajouter 2 exemples suisses : un ancien parti politique lié à la bien-connue Migros (nom fr. Alliance des Indépendants) et la banque WIR, dont les noms all. respectifs (non-abrégés) contiennent le mot Ring dans ce sens.

      Répondre à ce message

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