Vauban pour les cochons comme Fibonacci pour les lapins

Le 14 avril 2013  - Ecrit par  Pierre de la Harpe Voir les commentaires

Vauban fut un homme de guerre : ingénieur militaire,
il dirigea 53 sièges, répara 300 places fortes et en construisit 33 nouvelles.
En 1703, il avait 70 ans, Louis XIV le nomma Maréchal de France.
Il mourut de mort naturelle en 1706.

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Portrait de Vauban

Vauban fut aussi un homme de cœur, soucieux du bien commun,
et rédacteur infatigable de divers mémoires,
dont ceux rassemblés en douze volumes sous le nom
des « Oisivetés ou ramas de plusieurs sujets à ma façon ».
Par exemple, désolé de voir les paysans accablés d’impôts divers, endettés et mal nourris,
il propose de généraliser l’élevage des porcs.
Dans « La cochonnerie, ou calcul estimatif pour connaître
jusqu’où peut aller la production d’une truie pendant dix ans de temps »,
il montre qu’une seule truie a une descendance telle que,
après douze générations,
« il y en [des porcs] a autant que l’Europe peut en nourrir ».

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Reprenons son calcul.
Pour tenir compte de diverses pertes, maladies, accidents, et de la part du loup,
Vauban estime prudemment que chaque ventrée (son terme pour portée)
est constituée de six cochons,
trois femelles qui intéressent la suite du calcul et trois mâles dont on ne parlera presque plus.
Dans son modèle,
une truie met bas une première fois dans sa deuxième année,
puis deux fois par an quatre ans de suite,
avant de devenir stérile dans sa septième année.

Ainsi, la première année, il y a $1$ truie.
La seconde année, celle-ci a une ventrée, il y a donc $3$ nouvelles truies.
La troisième année, il y a deux ventrées de la première truie
et une ventrée de chacune de ses filles, donc en tout cinq ventrées,
c’est-à-dire $15$ nouvelles truies.
La quatrième année, un calcul analogue fournit
\[ (1 \times 2 + 3 \times 2 + 15 \times 1) \times 3 = 69 \]
nouvelles truies ;
ici, $1 \times 2$ veut dire que la première truie a deux ventrées,
$3 \times 2$ que chacune de ses filles a deux ventrées,
et $15 \times 1$ que chacune de ses petites-filles a une ventrée :
on multiplie le nombre des ventrées par $3$ pour obtenir $69$.
Le lecteur aura compris que les calculs
\[ (1 \times 2 + 3 \times 2 + 15 \times 2 + 69 \times 1) \times 3 = 321 \]
\[ (1 \times 2 + 3 \times 2 + 15 \times 2 + 69 \times 2 + 321 \times 1) \times 3 = 1491 \]
fournissent les nombres de nouvelles truies après cinq et six ans.
Jusqu’ici, le nombre de termes à additionner à l’intérieur des parenthèses
a augmenté à chaque calcul.
Pour la suite, chaque année, une nouvelle génération d’aïeules devient stérile,
de sorte qu’il y a toujours cinq termes à additioner dans les parenthèses ;
par exemple :
\[ (3 \times 2 + 15 \times 2 + 69 \times 2 + 321 \times 2 + 1491 \times 1) \times 3 = 6921 \]
nouvelles truies après sept ans.
Les calculs précédents fournissent donc les sept premiers termes d’une suite
que Vauban calcule jusqu’au onzième :
les sept premiers comme ci-dessus
\[ 1, \hskip.2cm 3, \hskip.2cm 15, \hskip.2cm 69, \hskip.2cm 321, \hskip.2cm 1 \hskip.1cm 491, \hskip.2cm 6 \hskip.1cm 921, \ \]
puis quatre de plus pour faire bon poids
\[ 32 \hskip.1cm 139, \hskip.2cm 149 \hskip.1cm 229, \hskip.2cm 692 \hskip.1cm 919, \hskip.2cm 3 \hskip.1cm 217 \hskip.1cm 437 . \]
Après onze ans, l’aïeule aura donc engendré,
en comptant les mâles, plus de 6 millions de cochons.

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En notation plus moderne, désignons par $T(n)$ le nombre des truies nées pendant l’année $n$.
Les nombres $T(n)$ constituent une suite, complètement définie comme suit :
$T(n) = 0$ si $n$ est négatif ou nul, $T(1) = 1$, et
\[ T(n) = 3T(n-1) + 6T(n-2) + 6T(n-3) + 6T(n-4) + 6T(n-5) \]
pour $n \ge 1$.
Comme indiqué plus haut par ses onze premiers termes,
la suite des $T(n)$ croît très rapidement.
En fait, sa croissance est exponentielle,
ou plus précisément s’approche rapidement d’une croissance exactement exponentielle,
avec un taux de croissance annuelle de $464 \%$.
Avec une calculette, on obtient facilement d’autres valeurs, par exemple $T(20)$ et $T(30)$.
En voici les ordres de grandeur : $T(20)$ est proche de $3 \times 10^{12}$ (trois suivi de douze zéros), et $T(30)$ proche de $1,5 \times 10^{19}$ (quinze suivi de dix-huit zéros).

Les mathématiciens aiment ajouter que $464 \%$, c’est-à-dire $464$ centièmes,
ou encore $4,64$, c’est la valeur approchée de l’unique nombre réel $c$ tel que
$c^5 - 3c^4 - 6c^3 -6c^2 -6c -6 = 0$ ; un petit ordinateur fournit une approximation plus précise :
$c = 4,643 \hskip.1cm 310 \hskip.1cm 908 \hskip.1cm 249 \hskip.1cm 259$.
En notation condensée, le fait que la croissance s’approche d’une croissance exactement exponentielle de taux $c$
peut s’écrire $\lim_{n \to \infty} (T(n+1) / (T(n)) = c$.

Il existe en ligne une encyclopédie des suites de nombres entiers [1].

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La suite de Vauban a une prédécessrice
 [2]
célèbre : la suite proposée vers 1200 par Fibonacci.
Un couple de lapins produit chaque mois un nouveau couple,
et chaque nouveau couple est productif dès son deuxième mois ;
de plus, les couples sont éternellement productifs !
Si $F(n)$ désigne le nombre de couples pendant le mois $n$,
l’usage est ici de poser $F(0) = 0$, $F(1) = 1$, et
\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2) \]
pour $n \ge 2$.
Autrement dit, pour $n \ge 2$,
chaque terme est la somme des deux précédents.
Voici le début de la suite :
\[ 0, \hskip.1cm 1, \hskip.1cm 1, \hskip.1cm 2, \hskip.1cm 3, \hskip.1cm 5, \hskip.1cm 8, \hskip.1cm 13, \hskip.1cm 21, \hskip.1cm 34, \hskip.1cm 55, \hskip.1cm 89, \hskip.1cm ... \]
La croissance est aussi exponentielle, avec un taux de croissance de $162 \%$ par mois.
Plus précisément, ce taux est le nombre d’or $\phi$, qui
est le nombre supérieur à $1$ tel que $\phi^2 - \phi - 1 = 0$
 [3].

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Revenons à Vauban. J’ai découvert son programme de cochon
dans un très joli petit livre de Michel Pastoureau,
« Le cochon, histoire d’un cousin mal aimé »
(Gallimard, 2009)
 [4].
Pour mieux comprendre les raisons et les enjeux du texte de Vauban,
nous renvoyons à une page de Pastoureau
 [5]. (La page contient une coquille : il faut y corriger $473$ en $479$.)

En voici un extrait :

Vauban voit dans l’élevage du cochon un moyen pour tenter de lutter contre la famine et d’enrayer la crise paysanne. Il observe que « cet animal est d’une nourriture si aisée que chacun peut en élever, n’y ayant point de paysan, si pauvre qu’il soit, qui ne puisse élever un cochon de son cru par an ».

Puis, en ingénieur, il se livre à une sorte de projection mathématique pour déterminer le nombre de descendants que peut avoir une truie en dix générations : « Une truie âgée de sept ans, époque où elle cesse de porter, aura produit en dix générations c’est-à-dire la onzième année, soit par elle-même soit par les femelles issues d’elle, 1 072 473 ventrées, qui, estimées avoir donné en moyenne six cochons mâles et femelles, produiront 6 434 338 animaux, soit net 6 000 000, défalcation faite des maladies, des accidents et de la part du loup pour environ un quinzième ». Ce calcul « à la Perrette » avait évidemment quelque chose d’utopique, surtout dans la France des années 1700. Mais la postérité donna raison à Vauban. Cent ou cent cinquante ans plus tard, l’élevage du porc - lié à la diffusion de la pomme de terre - était devenu l’un des plus dynamiques et des plus prolifiques en Europe occidentale. Et le traité De la Cochonnerie, longtemps demeuré manuscrit, fut pour la première fois imprimé à Paris, en 1843.

Pour en savoir davantage sur Vauban, on peut aussi lire le portrait qu’en fit Saint-Simon [6].

Vauban s’appeloit Leprêtre, petit gentilhomme de Bourgogne tout au plus, mais peut-être le plus honnête homme...

et le plus vertueux de son siècle, et avec la plus grande réputation du plus savant homme dans l’art des sièges et de la fortification, le plus simple, le plus vrai et le plus modeste. C’étoit un homme de médiocre taille, assez trapu, qui avoit fort l’air de guerre, mais en même temps un extérieur rustre et grossier pour ne pas dire brutal et féroce. Il n’était rien moins. Jamais homme plus doux, plus compatissant, plus obligeant, mais respectueux, sans nulle politesse, et le plus avare ménager de la vie des hommes, avec une valeur qui prenoit tout sur soi et donnoit tout aux autres. Il est inconcevable qu’avec tant de droiture et de franchise, incapable de se prêter à rien de faux ni de mauvais, il ait pu gagner au point qu’il fit l’amitié et la confiance de Louvois et du roi. Ce prince s’étoit ouvert à lui un an auparavant de la volonté qu’il avoit de le faire maréchal de France. Vauban l’avoit supplié de faire réflexion que cette dignité n’étoit point faite pour un homme de son état, qui ne pouvoit jamais commander ses armées, et qui les jetteroit dans l’embarras si, faisant un siège, le général se trouvoit moins ancien maréchal de France que lui. Un refus si généreux, appuyé de raisons que la seule vertu fournissoit, augmenta encore le désir du roi de la couronner. Vauban avoit fait cinquante-trois sièges en chef, dont une vingtaine en présence du roi, qui crut se faire maréchal de France soi-même, et honorer ses propres lauriers en donnant le bâton à Vauban. Il le reçut avec la même modestie qu’il avoit marqué de désintéressement. Tout applaudit à ce comble d’honneur, où aucun autre de ce genre n’étoit parvenu avant lui et n’est arrivé depuis.

Je remercie Paul-Henry Leemann et Roland Bacher qui ont bien voulu se charger de divers calculs relatifs à ce billet.

Notes

[1Voir http://oeis.org et ici pour plus de détails sur la suite de Vauban.

[2Après tout, ce féminin est utilisé
par Benjamin Constant, comme le signale
le wiktionaire.

[3Voir cet article.

[4Voir La Cliothèque.

[5Voir ici.

[6Voir .

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Pour citer cet article :

Pierre de la Harpe — «Vauban pour les cochons comme Fibonacci pour les lapins» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - La photographie des cochons corses est due à Michèle Audin.

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