Veo una masa confusa

par Jacques Hadamard

Le 19 septembre 2013  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 3 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Je vois une masse confuse Voir les commentaires
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En 1943 y a la edad de 78 años, el matemático Jacques Hadamard (1865-1963) [1] se encuentra en Estados Unidos [2], donde dicta una serie de cursos sobre la psicología de la invención en matemáticas. Estos fueron publicados, primero en inglés (por la Universidad de Princeton) y luego en una traducción francesa (apenas de 1959) bajo el título Ensayo sobre la psicología de la invención en el campo matemático.

Jacques Hadamard, que era un admirador incondicional de los trabajos de Poincaré, dice en su prefacio que él fue inspirado por

la famosa conferencia de Henri Poincaré en la Sociedad de Psicología en París

(se trata de la Creación Matemática). Jacques Hadamard, como muchos otros matemáticos, era miembro de la Sociedad Francesa de Filosofía [3].

Uno de los asuntos que le interesaban a Hadamard era el rol de las palabras en la creación científica. Él no creía que fueran indispensables. En su entorno, las opiniones sobre este punto estaban divididas. En efecto, él interrogó a muchos de sus colegas (entre ellos a Birkhoff y Einstein). La mayoría concordaba en que la creación se acompañaba de imágenes visuales vagas.

El ejemplo que él mismo dio es el del teorema que dice :

Hay una infinidad de números primos.

Supongamos por contradicción que no hay sino un número finito. Se hace el producto de estos números. Se encuentra un número, al cual se la suma 1. El resultado no es divisible por ninguno de los números primos de nuestro conjunto finito. Sin embargo, debe tener un divisor primo, que no está en nuestro conjunto de números primos. Se llega a un absurdo, a una contradicción con nuestra hipótesis de inicio, por lo tanto esta es falsa. O sea, el conjunto de números primos no es finito.

Lo que usted leyó si hizo click en el enunciado de arriba es un ejemplo muy simple de ’’demostración por reducción al absurdo’’. Esta es, sin duda, la prueba más simple que hay : se le puede explicar más o menos a cualquier persona de buena voluntad que sepa lo que es un número primo. Es una de las razones por las cuales Hadamard eligió describir lo que ocurre en su cabeza mientras demuestra el teorema.

Veo una masa confusa, dice Hadamard, y luego :

Etapas de la demostración
Mis imágenes mentales


Yo considero todos los números primos
Veo una masa confusa
de 2 a 11, sea 2, 3, 5, 7 11

Formo sus productos
siendo $N$ un número bastante grande,
$2\times 3\times 5\times 7\times 11=N$
imagino un punto bastante alejado ;

de esta masa confusa
aumento ese producto con 1,
Veo un segundo punto
sea $N+1$
un poco más allá del primo
Ese número, si no es primo, debe
Veo un lugar en cualquier parte
admitir un divisor primo,
entre la masa confusa y
el cual es el número buscado
el primer punto


El teorema de los números primos

Otra razón por la cual pudo elegir este teorema para ilustrar sus imágenes mentales es sin duda también el hecho que se hizo famoso como matemático (en los años 1890), antes de de hacer la demostración de lo que se llama ’’el teorema de los números primos’’.

La pregunta es la siguiente : hay una infinidad de ellos, ya lo comprendimos ; pero, ¿cómo están repartidos ? ¿Son cada vez más frecuentes, más dispersos, apretados unos con otros ?

De manera un poco más detallada : si uno elige al azar un número entre los $n$ primeros números enteros, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea primo ? Por ejemplo :

  • si $n=3$, entre $0$, $1$, $2$ y $3$, solo $2$ y $3$ son primos ; la probabilidad es, entonces, $2/4=1/2$,
  • si $n=100$, se encuentra $25$ números primos, por lo tanto una proporción de $25/101$, es decir, un poco menos de $1/4$,
  • si $n=1000$, la probabilidad es alrededor de $17$%.

Cuando $n$ se vuelve cada vez más grande, ¿cómo crece esta proporción ?

Se trata de un teorema muy difícil. Previendo dedicar un artículo más largo a este teorema, no voy a decir nada más aquí.

Continuará...

Notes

[1Jacques Hadamard fue uno de los últimos matemáticos que pudo aprehender el conjunto de las matemáticas de su tiempo. Uno de primeros hechos ilustres de su importante obra matemática —que contiene también numerosos resultados importantes de geometría y de análisis funcional— es el teorema de los números primos. Jacques Hadamard, nacido en el tiempo de las diligencias, murió en el tiempo de los satélites y de la conquista espacial el 17 de octubre de 1963, hace más de 50 años.

[2Él había huido de la legislación antisemita francesa.

[3... cuyo fundador, Xavier Léon, había sido miembro de la Sociedad Matemática de Francia. Feliz época...

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Veo una masa confusa» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - La fotografía de Jacques Hadamard es de dominio público.

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