En 1943 y a la edad de 78 años, el matemático Jacques Hadamard (1865-1963) [1] se encuentra en Estados Unidos [2], donde dicta una serie de cursos sobre la psicología de la invención en matemáticas. Estos fueron publicados, primero en inglés (por la Universidad de Princeton) y luego en una traducción francesa (apenas de 1959) bajo el título Ensayo sobre la psicología de la invención en el campo matemático.

Jacques Hadamard, que era un admirador incondicional de los trabajos de Poincaré, dice en su prefacio que él fue inspirado por

la famosa conferencia de Henri Poincaré en la Sociedad de Psicología en París

(se trata de la Creación Matemática). Jacques Hadamard, como muchos otros matemáticos, era miembro de la Sociedad Francesa de Filosofía [3].

Uno de los asuntos que le interesaban a Hadamard era el rol de las palabras en la creación científica. Él no creía que fueran indispensables. En su entorno, las opiniones sobre este punto estaban divididas. En efecto, él interrogó a muchos de sus colegas (entre ellos a Birkhoff y Einstein). La mayoría concordaba en que la creación se acompañaba de imágenes visuales vagas.

El ejemplo que él mismo dio es el del teorema que dice :

Lo que usted leyó si hizo click en el enunciado de arriba es un ejemplo muy simple de ’’demostración por reducción al absurdo’’. Esta es, sin duda, la prueba más simple que hay : se le puede explicar más o menos a cualquier persona de buena voluntad que sepa lo que es un número primo. Es una de las razones por las cuales Hadamard eligió describir lo que ocurre en su cabeza mientras demuestra el teorema.

Veo una masa confusa, dice Hadamard, y luego :

El teorema de los números primos

Otra razón por la cual pudo elegir este teorema para ilustrar sus imágenes mentales es sin duda también el hecho que se hizo famoso como matemático (en los años 1890), antes de de hacer la demostración de lo que se llama ’’el teorema de los números primos’’.

La pregunta es la siguiente : hay una infinidad de ellos, ya lo comprendimos ; pero, ¿cómo están repartidos ? ¿Son cada vez más frecuentes, más dispersos, apretados unos con otros ?

De manera un poco más detallada : si uno elige al azar un número entre los $n$ primeros números enteros, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea primo ? Por ejemplo :

• si $n=3$, entre $0$, $1$, $2$ y $3$, solo $2$ y $3$ son primos ; la probabilidad es, entonces, $2/4=1/2$,
• si $n=100$, se encuentra $25$ números primos, por lo tanto una proporción de $25/101$, es decir, un poco menos de $1/4$,
• si $n=1000$, la probabilidad es alrededor de $17$%.

Cuando $n$ se vuelve cada vez más grande, ¿cómo crece esta proporción ?

Se trata de un teorema muy difícil. Previendo dedicar un artículo más largo a este teorema, no voy a decir nada más aquí.