Vers l’infini

14 août 2012  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (5)

Il est ici question des premières intuitions de l’infini.

Faire des mathématiques, c’est jongler avec les infinis.

En cette année de célébration du centenaire de la disparition d’Henri Poincaré, je voudrais d’abord illustrer mon affirmation par un extrait [1] de son ouvrage de 1902, « La Science et l’Hypothèse »
 [2].

Je demandais au début pourquoi on ne saurait concevoir un esprit assez puissant pour apercevoir d’un seul coup d’œil l’ensemble des vérités mathématiques.

La réponse est aisée maintenant ; un joueur d’échecs peut combiner quatre coups, cinq coups d’avance, mais, si extraordinaire qu’on le suppose, il n’en préparera jamais qu’un nombre fini ; s’il applique ses facultés à l’arithmétique, il ne pourra en apercevoir les vérités générales d’une seule intuition directe ; pour parvenir au plus petit théorème, il ne pourra s’affranchir de l’aide du raisonnement par récurrence parce que c’est un instrument qui permet de passer du fini à l’infini.

Cet instrument est toujours utile, puisque, nous faisant franchir d’un bond autant d’étapes que nous le voulons, il nous dispense de vérifications longues, fastidieuses et monotones qui deviendraient rapidement impraticables. Mais il devient indispensable dès qu’on vise au théorème général, dont la vérification analytique nous rapprocherait sans cesse, sans nous permettre de l’atteindre.

Dans ce domaine de l’arithmétique, on peut se croire bien loin de l’analyse infinitésimale, et, cependant, nous venons de le voir, l’idée de l’infini mathématique joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n’y aurait pas de science parce qu’il n’y aurait rien de général.

Afin d’arriver à jouer avec « l’idée de l’infini mathématique » et à ressentir la flexibilité de pensée qu’elle permet, il faut partir d’une base intuitive de cette idée. Mais comment se construit une telle base ? Je n’avais jamais réfléchi à cette question avant que diverses remarques de mon fils de cinq ans n’attirent mon attention là-dessus. Les voici :

  • Depuis qu’il a trois ans, la lecture du soir attire immanquablement la même remarque de sa part, au moment où l’on arrête de lire : « Tu as encore oublié la dernière page, LA DER-NIÈRE PAGE ! » Ce n’est jamais celle que l’on vient de lire, c’est toujours la suivante !
  • Un jour, en revenant de l’école maternelle, il demanda : « N’est-ce pas que le ciel ne s’arrête pas, qu’il n’a pas de mur, qu’on peut toujours continuer ? » Que répondre ? Que c’était probable. Il fut ravi, c’est ce qu’il avait soutenu à l’un de ses camarades de moyenne section qui prétendait le contraire. Je n’imaginais pas que de tels problèmes puissent être débattus à cet âge.
  • Ces jours-ci, sa petite sœur d’un an est face à un passage majeur de son développement : elle hésite à faire ses premiers pas toute seule. Pour le moment elle ose parfois rester quelques secondes debout, mais elle ne se lance pas encore sans se tenir à quelque chose. Alors son frère l’encourage : « Fais un premier pas, tu pourras faire ensuite un deuxième ... puis un troisième ... puis autant que tu voudras ... »

Chaque page est suivie d’une autre, car les histoires sont infinies [3]. En effet, l’on peut toujours faire un pas de plus vers de nouvelles aventures, dans un espace infini, en rajoutant ainsi de nouvelles pages pour le plaisir de ceux qui aiment écouter des histoires. C’est probablement cela que ressent confusément mon fils, je ne peux qu’admirer cette vision optimiste, garantie par une multiplicité d’idées intuitives de l’infini.

Chacun passe ainsi par ses premières expériences de l’infini. Il existe sûrement des recherches détaillées sur ce thème. Je remercie par avance ceux qui voudront bien m’indiquer des références, ainsi que d’autres exemples du même genre chez les petits enfants.

Notes

[1Il provient de la section V du Chapitre I.

[2Le lecteur non scientifique pourra apprendre ce qu’est le raisonnement par récurrence en lisant le chapitre en entier, ou bien en l’écoutant sous la lecture d’Etienne Ghys. Mais comprendre cela n’est pas essentiel pour la suite du billet.

[3Heureusement pour Shéhérazade !

Partager cet article

Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Vers l’infini» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Image à la une - La photo du logo a été prise par Victoria Johnson. Elle provient de :
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AInfinity_Bridge.jpg
Elle représente un pont au-dessus de la rivière Tees, près de Stockton-on-Tees, au Nord-Est de l’Angleterre.

Commentaire sur l'article

  • Vers l’infini

    le 3 septembre 2012 à 18:21, par Romain Bondil

    Cher Patrick,
    Merci pour ton petit témoignage qui m’en évoque deux autres.
    Je me souviens d’un petit garçon de cinq ans
    qui, ayant compris qu’on pouvait ne jamais s’arrêter de compter m’avait demandé si l’infini était un nombre.
    On pourrait dire qu’il voulait passer de l’infini potentiel à l’infini actuel !

    Pour ce qui est de la dernière page de l’histoire elle réserve parfois des surprises : il m’arrive de m’endormir à moitié en lisant à mes enfants et dans cet état d’hypnose de me mettre à parler de maths.
    Il semble que cette expérience soit partagée voir http://xkcd.com/872/

    Répondre à ce message
    • Vers l’infiniment petit

      le 3 septembre 2012 à 18:34, par Patrick Popescu-Pampu

      Je ne connaissais pas ce phénomène de transition vers les préoccupations professionnelles par endormissement pendant une lecture. Merci Romain !

      Par ailleurs, je me demande si on connait des exemples d’interrogations de petits enfants au sujet de l’infiniment petit. Celles dont je parle me semblent être, psychologiquement parlant, des intuitions de l’infiniment grand.

      L’enseignement actuel ne parle de l’infini que bien tard. Mais si des interrogations à ce sujet naissent si tôt, ne serait-il pas intéressant d’y répondre d’une certaine manière dès l’école primaire ? On pourrait par exemple inclure dans les manuels des appendices permettant à l’enseignant d’aborder cela de manière ludique, sans évaluations associées.

      Répondre à ce message
  • Vers l’infini

    le 4 octobre 2012 à 14:49, par François Gramain

    Un souvenir qui ne m’a jamais quitté et que je vois encore : Je devais avoir environ 5 ans et je demandais à Maman quand je saurai « compter » tous les nombres. De sa machine à coudre elle m’a répondu que je ne saurai jamais puisqu’après un nombre il y avait toujours 1 de plus...

    Répondre à ce message
    • Et l’infiniment petit ?

      le 5 octobre 2012 à 19:04, par Patrick Popescu-Pampu

      Merci bien pour votre souvenir !

      En réfléchissant plus à ce thème depuis mon billet, je me suis rendu compte que je n’ai pas encore entendu des interrogations sur l’infiniment petit chez mon fils. Je serais aussi preneur de remarques d’enfants à ce sujet. A partir de quel âge surgissent-elles ?

      Répondre à ce message
  • Musset

    le 4 décembre 2012 à 16:44, par Pierre Colmez

    Deux alexandrins d’Alfred de Musset découverts dans un chocolat Révillon :

    L’enfant marche joyeux, sans songer au chemin ;

    Il le croit infini, n’en voyant pas la fin.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM