Vers une légende d’Évariste Galois

Piste verte Le 8 octobre 2011  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires (2)

Nous fêtons ce 25 octobre le bicentenaire de la naissance d’Évariste Galois dont la très courte vie fut marquée par les échecs et les passions dévorantes. Souvent présenté aujourd’hui comme un héros romantique et un génie maudit, c’est à la fin du XIXe siècle que cette étiquette lui a peu à peu été attachée et ne l’a plus jamais vraiment quitté.

Le 15 avril 1906, paraît dans la revue Mercure de France une étude littéraire intitulée « Le double Rimbaud ». Son auteur, Victor Segalen (1878-1919), médecin de marine et poète [1], s’interroge sur le renoncement de Rimbaud à l’écriture malgré la reconnaissance de ses pairs. Lorsque cette étude est rééditée en 1986, celle-ci se trouve enrichie de notes préparatoires de l’auteur qui avait semble-t-il en projet une « dissertation littéraire » et un parallèle entre le poète Arthur Rimbaud et le mathématicien Évariste Galois.

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Évariste Galois (1811-1832)
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Arthur Rimbaud (1854-1891) par Ernest Pignon-Ernest

Ainsi les notes de Segalen semblent témoigner de l’existence d’une figure légendaire de Galois qui, si elle paraît garantie par ses écrits mathématiques, se développe bien au-delà du petit monde mathématique de l’époque.

« Deux passions : les Mathématiques et un amour physique et violent pour la République. »

Cette citation est extraite des notes de Segalen qui s’intéresse particulièrement aux épisodes de la vie de Galois concernant l’École polytechnique, l’Académie des sciences, l’École préparatoire [2]. Précocité, rejet des institutions et de l’ordre établi semblent déjà sceller des destins communs à Galois et Rimbaud dans les notes de Segalen. [3]

Dans la suite de cet article, nous allons essayer de comprendre à partir de quel moment s’est opéré un tournant dans la réception des travaux de Galois et ce qui a été à l’origine d’une figure de Galois suscitant une passion pour le personnage (toujours bien vivante d’ailleurs) bien au-delà du milieu scientifique.

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Joseph Liouville (1809-1882)

En 1843, Joseph Liouville est l’un des mathématiciens français les plus influents de sa génération. Membre de l’Académie des sciences, il fait également partie du Bureau des longitudes et occupe une chaire d’analyse à l’École polytechnique. Enfin et surtout, il est rédacteur en chef du Journal de mathématiques pures et appliquées qu’il a fondé en 1836 et dans lequel les contributions de mathématiciens aussi prestigieux que Sturm, Hermite, Serret, Bertrand ou encore Dirichlet ou Jacobi sont régulières.

C’est alors que Liouville annonce à l’Académie la publication prochaine des écrits de Galois (qu’il tient de la main d’Auguste Chevalier, l’ami fidèle de Galois) qui contiennent une solution « aussi exacte que profonde » du problème de la résolubilité des équations algébriques par radicaux [4]. Trois ans plus tard en 1846, Liouville fait précéder l’édition des travaux de Galois d’un avertissement dans lequel, tout en défendant l’institution à laquelle il appartient, il n’hésite pas à mettre en avant sa réputation de mathématicien et d’éditeur pour légitimer cette publication malgré un jugement négatif de l’Académie quelques années auparavant. « Nous avons fait tous nos efforts pour comprendre la démonstration de Galois. Ses raisonnements ne sont ni assez clairs ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude. » pouvait-on lire dans le rapport signé par Lacroix et Poisson le 4 juillet 1831 concernant le mémoire « Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux » présenté par Galois à l’Académie quelques mois plus tôt.

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La cour de l’École normale supérieure

L’année 1895 semble amorcer un tournant dans la postérité de Galois avec les commémorations du centenaire de l’École normale supérieure (ENS). Le statut que les mathématiciens de cette fin de XIXe siècle accordent aux travaux de Galois semble assez bien résumé dans
l’introduction de la thèse d’Edmond Maillet sur les substitutions et les groupes transitifs, soutenue en 1892 devant Hermite, Boussinesq et Poincaré :

Les travaux de Galois ont eu surtout pour but d’établir les fondements de la théorie des substitutions dans ses rapports avec celle des équations algébriques et de donner un procédé de construction des groupes dits résolubles par radicaux.

En vue des commémorations, la direction de l’École s’adresse au mathématicien norvégien Sophus Lie [5] qui est chargé de rendre hommage au travail de Galois, alors que Paul Dupuy, surveillant général de l’École et professeur agrégé d’histoire, entreprend sa biographie [6]

Les premières relectures des travaux de Galois et leur assimilation dans le corpus mathématique résumée dans la citation de Maillet ne font pas du jeune homme le génie visionnaire, encore moins le héros romantique, que l’on connaît aujourd’hui. Galois est apparemment l’initiateur d’une théorie et ses successeurs ne se préoccupent guère de sa trajectoire personnelle. Comme l’écrit Caroline Ehrhardt dans sa thèse [7] : « En tant que construction historique, la postérité de Galois n’est donc pas issue des recherches mathématiques menées à partir de ses écrits, mais des discours sur les mathématiques produits par des historiens ou des mathématiciens dans un objectif commémoratif. La fortune de Galois ne réside pas dans l’écriture des mathématiques mais dans celle de l’histoire. »

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Sophus Lie (1842-1899)

Dans la notice de Lie publiée dans le livre du centenaire de l’École normale supérieure, Galois est dépeint comme un mathématicien d’exception, détenteur d’une conception visionnaire des mathématiques. Ce discours semble bien être le premier de ce genre. Le choix de Lie pour écrire l’hommage de Galois n’est probablement pas sans influence sur le contenu du discours produit. Dans l’introduction de sa notice, Lie précise les orientations de son propos :

Je dois sans doute cet honneur […] à ce que, depuis vingt-cinq ans, je me suis tout particulièrement efforcé d’étendre à d’autres domaines de la science mathématique ses idées sur les équations algébriques, si originales et si fécondes.

Je ne me suis pas dissimulé cependant combien il serait au-dessus de mes forces de faire une étude complète de l’œuvre et du génie de Galois. J’espère donc qu’on ne m’en voudra pas si je parle presque uniquement des branches des mathématiques avec lesquelles mes recherches personnelles m’ont, en quelque mesure, familiarisé.

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Charles Émile Picard (1856-1941)

Il est vrai que, depuis les années 1882, Lie est véritablement chez lui à Paris et que des mathématiciens d’envergure comme Picard ou Poincaré sont tout à fait convaincus de la puissance du concept de groupe [8]. Dans une lettre à Lie en 1893, Picard s’exclame délicieusement :

Voilà Paris devenir un centre de groupes ; tout cela fermente dans ces jeunes cerveaux, et on aura un excellent vin quand les liqueurs seront un peu reposées.

Quoi qu’il en soit, dès les premières lignes de sa notice, Lie prévient : les idées de Galois vont bien au-delà des seules équations algébriques et même un expert comme lui est enclin à la modestie. Et tout ça, alors que les écrits de Galois ne couvrent au total qu’une soixantaine de feuillets ! Derrière ces pages, des idées d’une très grande profondeur aux multiples applications, qu’il ne reste plus qu’à mettre en lumière. Plus loin dans son hommage, Lie explique qu’« il est certain que Galois a pressenti l’importance que pourrait acquérir dans d’autres branches les idées qui l’avaient conduit à de si éclatants succès dans la théorie des équations algébriques » mais que ses idées sont « restées inaperçues des mathématiciens » et que « l’on peut à peine deviner sa pensée. »

La notion de groupe est dès le début des années 1880 centrale dans les travaux de Poincaré qui ira jusqu’à déclarer à Lie, au détour d’une conversation, que « toutes les mathématiques sont une histoire de groupes ». Selon Picard et Poincaré, la voie à suivre pour développer la théorie des groupes est à mi-chemin entre un développement abstrait et autonome et une tendance utilitaire, en vue d’éventuelles applications. C’est dans cet esprit que bien plus tard, en 1897, Poincaré déclare au premier congrès international des mathématiciens de Zürich [9] :

Le seul objet naturel de la pensée mathématique, c’est le nombre entier. C’est le monde extérieur qui nous a imposé le continu […]. Sans lui, il n’y aurait pas d’analyse infinitésimale ; toute la science mathématique se réduirait à l’arithmétique ou à la théorie des substitutions.

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Henri Poincaré (1854-1912)

Si Galois a mis en place la notion de groupe, c’est surtout la diversité des applications possibles de ses travaux jusque dans l’analyse qui lui vaut les honneurs des mathématiciens parisiens. Dans l’introduction de la réédition des œuvres de Galois en 1897, Picard renchérit :

En Algèbre, la théorie des groupes avait fait auparavant l’objet de nombreuses recherches dues, pour la plupart à Cauchy […] ; les études de Galois sur la Théorie des équations lui montrèrent l’importance de la notion de sous-groupe invariant d’un groupe donné, et il fut ainsi conduit à partager les groupes en groupes simples et groupes composés, distinction fondamentale qui dépasse de beaucoup, en réalité, le domaine de l’Algèbre et s’étend au concept de groupe d’opérations dans son acceptation la plus étendue.

Les théories générales, pour prendre dans la Science un droit de cité définitif, ont le plus souvent besoin de s’illustrer par des applications particulières. Dans plusieurs domaines, celles-ci ne sont pas toujours faciles à trouver, et l’on pourrait citer, dans les Mathématiques modernes, plus d’une théorie confinée, si j’ose le dire, dans sa trop grande généralité […]. On ne peut, pour Galois, émettre un pareil regret ; la résolution algébrique des équations lui a fourni, dès le début, un champ particulier d’applications […].

Mais Picard n’hésite pas à aller beaucoup plus loin encore que Lie pour caractériser le génie de Galois, abandonnant à Abel un modeste second rôle. Il écrit à propos de la lettre testament de Galois :

Plusieurs points restent obscurs dans quelques énoncés de Galois, mais on peut cependant se faire une idée précise des résultats auxquels il était arrivé dans la théorie des intégrales de fonctions algébriques. On acquiert ainsi la conviction qu’il était en possession des résultats les plus essentiels sur les intégrales abéliennes que Riemann devait obtenir vingt-cinq ans plus tard.

S’en suit une liste détaillée de théorèmes qui, selon Picard, seraient implicitement contenus dans la lettre testament et constitueraient ce qu’il convient de retenir et de comprendre du travail de Galois qui reste difficile d’accès pour la plupart des mathématiciens de l’époque.

Ainsi Lie et Picard semblent être les premiers à saluer en Galois le génie visionnaire dont les travaux ont une portée infiniment plus vaste que la seule théorie des équations algébriques. Et comme nous l’avons évoqué, ces discours s’inscrivent dans un contexte aux enjeux institutionnel (le centenaire de l’École normale supérieure), scientifique (les groupes sont au centre des préoccupations des mathématiciens parisiens) et épistémologique (la théorie des groupes se révèle pertinente tant en algèbre et géométrie que dans les équations différentielles, en même temps qu’elle fait ses premiers pas en physique).

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Lettre testament de Galois (29 mai 1832)

Alors que Galois est en train d’entrer dans le Panthéon des mathématiciens, Dupuy publie la biographie que nous avons mentionnée. On y découvre un jeune homme de tout juste vingt ans quand souffle le vent de la Révolution de 1830, un républicain ardent dont la courte vie va avoir des échos bien au-delà du cercle des mathématiciens. Voici d’ailleurs comment Dupuy conclut son étude :

Ignoré de la foule, son nom est défendu contre l’oubli par l’admiration d’une élite ; c’est pour elle que j’ai écrit cette étude, en souhaitant d’ajouter à l’admiration du génie quelque sympathie pour l’âme ardente, pour le cœur tourmenté et misérable, et de dresser enfin, à côté de ce nom qui ne représentait que des idées, la figure vivante d’un homme.

Le travail de Dupuy introduit une nouvelle dimension dans la postérité de Galois puisque c’est avant tout le personnage, et non les écrits mathématiques à peine évoqués, qui est mis en avant dans cette étude dont Dupuy revendique l’objectivité historique.

J’ai tenu surtout à l’expliquer, ou du moins à expliquer ce qu’il y avait d’explicable dans son caractère et dans ses aventures. Je l’ai toujours vu [Évariste Galois] au milieu des choses, des gens, des événements, des institutions de son époque ; un intérêt historique s’ajoutait ainsi pour moi à un intérêt de biographie. Mon souhait essentiel est de substituer un portrait exact de cet illustre mathématicien aux vagues croquis que l’on en possédait ; mais j’avoue que ce serait pour moi une vive satisfaction, si l’on jugeait qu’en racontant la vie de Galois j’ai pu éclairer d’un jour curieux quelques coins de la Révolution de 1830, et des années troublées et si vivantes entre lesquelles elle s’insère.

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La liberté guidant le peuple (1830) par Eugène Delacroix

Même si l’intention de Dupuy n’est pas de créer une légende (et d’ailleurs le ton de son discours évite soigneusement toute grandiloquence), les choix de l’auteur de développer certains points plus que d’autres [10] sont à l’origine d’un nouveau système de représentations de Galois. Alors que Liouville voyait dans le républicanisme de Galois un gâchis l’ayant éloigné des mathématiques, Dupuy construit quant à lui la trajectoire de Galois autour de cet engagement. Le mathématicien Galois ayant perdu son temps en politique devenait sous la plume de Dupuy un républicain doué pour les mathématiques. La légende de Galois ne faisait alors que commencer.

Tant qu’il y aura des mathématiciens sur la terre, le nom de Galois sera illustre.

C’est ce qu’écrivait Tannery en avant-propos à La vie d’Évariste Galois en 1896. Comme l’écrit Caroline Ehrhardt, il semble désormais qu’Évariste Galois n’ait même plus besoin d’eux... [11]

Post-scriptum :

Pour écrire ce texte, j’ai énormément profité de la lecture de la thèse de Caroline Ehrhardt déjà mentionnée et qui contient infiniment plus de détails et de précisions, en particulier sur la réception des travaux de Galois tout au long du XIXe siècle. J’en recommande vivement la lecture ainsi que son article sur les groupes chez Galois, Cayley, Dedekind.

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : François Gramain, Serma, Sylvain Barré, François Brunault et Massy Soedirman.

Notes

[1Ni l’œuvre, ni les études de Victor Segalen ne semblent avoir croisé les mathématiques, ni même les sciences plus généralement.

[2Pour en savoir davantage sur ces épisodes, on pourra lire ou relire Évariste Galois : enfance d’un génie malheureux ainsi que la nuit précédant le duel qui allait coûter la vie à Galois [[Depuis l’article Il y a cent quarante ans : la mort de Galois que j’ai écrit avec Michèle Audin suite à nos fracassantes découvertes, de nombreux historiens sont en train de revoir la thèse si longtemps rebattue de la mort de Galois consécutive à un duel. ;-)

[3Les amoureux de poésie auront certainement reconnu dans cette phrase haute en couleurs un petit clin d’oeil au célèbre sonnet de Rimbaud.

[4Pour une équation de degré 2, c’est-à-dire de la forme $ax^2+bx+c=0$, il existe une fameuse formule pour trouver le (ou les) mystérieux $x$ : c’est la célèbre $\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Si on part d’une équation de degré 3 ou 4, des formules permettent également de donner des solutions ayant une forme analogue. Pour les donner, on s’autorise un certain nombre d’opérations bien précises : addition, soustraction, multiplication, division, racine carrée, racine cubique... racine $n^{\text{e}}$. Et c’est tout. La question est donc maintenant : peut-on résoudre une équation de degré quelconque avec les seules opérations que l’on vient de décrire ? Par exemple l’équation $x^5-x+1=0$ ? C’est cette question que personne ne savait vraiment résoudre jusqu’aux travaux d’Abel et de Galois. La théorie de Galois permet entre autres de comprendre « de manière théorique » pourquoi certaines équations peuvent être résolues avec les seules opérations autorisées et d’autres non.

[5À propos de Sophus Lie, on pourra lire ce billet de Joël Merker sur le site.

[6Paul Dupuy - « La vie d’Évariste Galois », Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure (3e série, 13, 1896, p.197-266). Je recommande également la lecture de « Genius and Biographers : The Fictionalization of Evariste Galois » de Tony Rothman, publié par The American Mathematical Monthly (2e série, 89, 1982, p. 84-106) et disponible en ligne ici, ainsi que le livre « Évariste Galois » de Laura Toti Rigatelli publié par Birkhäuser Verlag (1996) dans la collection Vita Mathematica. Ces deux dernières références (en anglais) complètent, précisent et corrigent de nombreux points du travail de Dupuy.

[7Caroline Ehrhardt - Évariste Galois et la théorie des groupes - Fortune et réélaborations (1811-1910), thèse de doctorat (2007).

[8Les groupes et les commutateurs jouent un rôle central dans la théorie de Galois. Sylvain Barré en donne ici une introduction bien agréable.

[9Pour en savoir plus sur la construction de ce premier congrès international des mathématiciens, on pourra lire cet article d’Anne-Marie Décaillot.

[10Par exemple, Dupuy ne s’attarde pas sur les liens entre Galois et les académiciens, ni même sur l’envoi des travaux de ce dernier à l’Académie ou de leurs publications dans des revues scientifiques, renforçant inévitablement l’idée que le personnage était en marge du système.

[11Mentionnons le personnage Galois dans le roman Algorithme d’Alexandre Arnoux (1948), le film Évariste Galois, mathématicien français né à Bourg-la-Reine, 1811-1832 d’Alexandre Astruc (1968), Le roman d’Évariste Galois, de Leopold Infeld, Évariste Galois, l’intransigeant sous la plume d’André Lutaud (1968), ou encore la vie romancée de Galois sous forme de bande dessinée dans la revue scientifique pour enfants Cosinus.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Vers une légende d’Évariste Galois » — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Crédits image :

Image à la une - Le combat devant l’Hôtel de ville le 28 juillet 1830 par Jean-Victor Schnetz. http://fr.wikipedia.org/wiki/Trois_Glorieuses
Évariste Galois (1811-1832) - http://fr.wikipedia.org/wiki/Évariste_Galois
Arthur Rimbaud (1854-1891) par Ernest Pignon-Ernest - http://www.pignon-ernest.com/p/rimbaud_gal.html
Joseph Liouville (1809-1882) - http://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville
Sophus Lie (1842-1899) - http://fr.wikipedia.org/wiki/Sophus_Lie
Charles Émile Picard (1856-1941) - http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Émile_Picard
Lettre testament de Galois (29 mai 1832) - http://fr.wikipedia.org/wiki/Évariste_Galois
Henri Poincaré (1854-1912) - http://www.astrosurf.com/luxorion/chaos-systemesolaire2.htm
La liberté guidant le peuple (1830) par Eugène Delacroix - http://fr.wikipedia.org/wiki/La_Liberté_guidant_le_peuple

Commentaire sur l'article

  • Vers une légende d’Évariste Galois

    le 8 octobre 2011 à 19:03, par Simon Billouet

    Pour aller dans le sens de la légende galoisienne, on peut noter qu’il a même fait l’objet d’un opéra rock ! http://pafnouties.free.fr/galdust/g... (Attention, la musique risque de ne pas plaire à tout le monde...)

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  • Vers une légende d’Évariste Galois

    le 10 octobre 2011 à 21:49, par Karen Brandin

    C’est en maîtrise (désormais M1) que j’ai découvert l’énoncé et les toutes premières applications du théorème de correspondance de Galois et même si je ne disposais pas du recul nécessaire pour en saisir toute la profondeur, je me souviens d’avoir été durablement impressionnée par cette partie du cours.
    En revanche, aucun des très nombreux ouvrages consacrés au personnage d’Évariste Galois n’est réellement parvenu à me le rendre « sympathique » au sens « accessible ». Il émane de cette jeunesse intrépide une dureté, peut-être une arrogance qui me donne à penser qu’il n’aurait pas pu avoir d’autre destin que celui, tragique, qui fut le sien.
    Sans doute l’histoire des maths est jalonnée d’autres personnalités, souvent délaissées par les auteurs, dont les travaux ont été extrêmement novateurs et qui m’apparaissent dans le même temps bien plus attachants. Je pense à Emmy Noether par exemple.

    Reste que parce qu’il ne me semble pas les avoir vu cités, je me permets d’ajouter en complément de bibliographie l’ouvrage de Norbert Verdier : « Galois, le mathématicien maudit » et celui Jean-Paul Auffray intitulé :« Évariste Galois , le roman d’un vie »
    (paru chez Aléas). Il est à noter, car la discipline et ses acteurs se prêtent en général difficilement à ce type d’exercice, que cet auteur vient de publier, toujours autour du personnage d’Évariste Galois, un roman historique intitulé « Icare Trahi » (éditeur : Viviane Hamy).
    Je suis en cours de lecture donc il est sans doute trop tôt pour me prononcer mais je reconnais être un petit peu déroutée par la typographie . En effet les dialogues (fort nombreux) font partie intégrante du corps du texte sans retour à la ligne ce qui rend la lecture moins fluide. Dans l’ouvrage de Jacques Roubaud intitulé « Mathématique », j’avais aussi trouvé que la forme desservait un ouvrage au demeurant très intéressant. Après « le comptable indien » (auteur : David Leavitt) et « Un fou rêve de machines du Turing » (auteur : Jana Levin) qui à chaque fois semblent prometteurs mais s’essouflent en cours de route, je ne parviens pas à retrouver le bonheur de lecture que m’avaient procurés certains livres de vulgarisation en physique ; je pense notamment au « Nouveau monde Mr Tompkins » , ou encore à « Alice aux pays des quanta » et plus récemment « Le grand roman de la physique quantique » (par Kumar) ou encore « Trois explications du monde » de Tom Keve .
    L’art de la « vulgarisation » est décidément bien délicat et le juste équilibre entre un livre rigoureux et un livre attractif difficile à trouver d’autant que l’on sait le public très exigeant, soit parce qu’il est spécialiste de la discipline et ne pardonne que difficilement l’imprécision ou le survol qu’il est enclin à percevoir comme une trahison ; soit parce qu’au contraire il est novice et s’attend à être accompagné de bout en bout, c’est-à-dire revalorisé ou tout au moins encouragé.
    Opter pour la biographie (la collection : « Un savant, une époque » chez Belin en donne ou donnait un bel exemple) est donc une sécurité. On observe que les maths sont les grandes absentes des romans, qu’il s’agisse de la recherche mathématique ou de son enseignement quand, la médecine, la psychanalyse et donc la physique ont investi presque tous les genres littéraires, de la nouvelle, au polar en passant par le théâtre même. Je pense à la pièce de Durrenmatt : « Les physiciens » où apparait une personnification de Moebius si mes souvenirs sont bons.
    Une pensée particulière (et pourquoi pas un conseil de lecture) pour « Le cerf-volant d’or » de Kosztolanyi, un roman dont le personnage principal est un prof de maths apparemment aussi solide que la discipline qu’il se fait un devoir d’enseigner et qui ne supportera pas l’idée d’avoir failli, ne serait-ce qu’une fois, à sa tâche de transmission . On retrouve dans la littérature polonaise la même pudeur que dans la littérature russe (j’ai pu voir avec plaisir qu’était évoquée sur le site d’Images des mathématiques la nouvelle de Tchékhov « le répétiteur ».)
    Enfin, parce que l’information est assez peu relayée dans la presse, je signale que paraît tous les 15 jours un volume d’une « encyclopédie » (traduite pour la première fois en français) intitulée (malheureusement ou pas) : « Le monde est mathématique » . Ce sont des ouvrages reliés, tout à fait intéressants, sans prétention mais à recommander à qui souhaite se cultiver . Le tome n°5 devrait paraître en fin de semaine je crois. Les thèmes abordés sont divers, il y en a donc pour toutes les sensibilités et/ou toutes les curiosités.

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