Vertus des analogies

Le 26 février 2009  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires

Il y a des poètes que j’aime relire, car ils me donnent de l’énergie, ils
libèrent mon imagination, ils m’enthousiasment. Il y a de même des
mathématiciens aux écrits desquels je reviens de temps en temps
pour les mêmes raisons. Et je lis un peu au hasard leurs écrits, comme
je ferais avec ceux des poètes qui me sont chers, car je sais qu’un peu tout me
parle chez eux. Je les parcours comme je parcours les villes que j’aime,
en me laissant attirer par une lumière sur une branche bourgeonnante au
détour d’une rue.

L’un de ces mathématiciens est Hermann Weyl.
C’est l’un des premiers mathématiciens à avoir réfléchi en profondeur aux
conséquences mathématiques et philosophiques de la théorie de la relativité
générale, puis de la mécanique quantique, et ceci dès leur bourgeonnement.
Il y a réfléchi non pas seulement en technicien brillant, mais en penseur au sens
antique du mot, soucieux de comprendre ce qui avait changé pour la pensée
en général. Il fit de grands efforts pour expliquer cela à divers niveaux de
sophistication. Dans cette démarche, il excellait à faire saisir des concepts
subtils grâce à des analogies lumineuses. Je me souviens encore du bonheur que j’ai
ressenti lorsque, il y a presque 15 ans, en début de thèse, je suis tombé sur
l’analogie suivante qu’il voyait entre, d’une part, une particule soumise à un champ
électrique et, d’autre part, un observateur regardant un objet :

Ici nous commençons avec la force comme étant l’objet donné ; mais
les faits ébauchés nous mènent à concevoir un champ électrique, décrit
mathématiquement par la fonction vectorielle E(P), qui entoure les conducteurs
et qui existe, indépendamment du fait que la force exercée sur une particule test
est constatée ou pas. La particule test sert seulement à rendre le champ accessible
à l’observation et à la mesure. L’analogie complète avec le cas de la perspective
est évidente. Le champ E d’ici correspond à l’objet là-bas, la particule test à
l’observateur, sa charge à sa position ; la force exercée par le champ sur la particule
test et changeant selon la charge de la particule correspond à l’aspect bidimensionnel
offert par l’objet solide à l’observateur et dépendant du point de vue de celui-ci.

Ce texte se trouve à la page 114 d’un livre qui m’a beaucoup plu,
« Philosophy of Mathematics and Natural Science », publié en 1949 par
Princeton University Press. Le contexte de l’extrait ci-dessus
est celui de l’explication de la manière
dont s’est forgé un objet fondamental de la physique du XIX-ème siècle,
le concept de
champ électrique. J’avais suivi des cours à ce sujet en classes
préparatoires, très mathématisés. Par ailleurs j’avais appris un peu de
géométrie projective et j’avais rêvé à sa lointaine origine dans les ateliers
des artistes du Quattrocento. La brusque mise en contact de ces deux mondes
a créé en moi un frisson de joie dont je me souviens encore comme de l’une des plus
claires manifestations du plaisir poétique que j’ai ressentie en mathématiques.

Depuis, l’une de mes principales obsessions lorsque j’enseigne est de faire
percevoir puis développer de belles analogies.
Un avantage immédiat est une économie de pensée, tout ce qui a été compris
d’un côté servant soudain de guide à la compréhension de l’autre. Un avantage
indirect est que cela habitue à ressentir soit la cohérence du monde, soit celle de
notre manière de le regarder, ce qui permet de lutter contre la perte de vision
globale causée par le brouillard dont les particules sont une multitude de langages hyperspécialisés.

Mais saisir des analogies est aussi très important lors du processus de recherche.
Car les analogies peuvent être le signe de liens profonds entre deux structures
du monde. Une fois une analogie découverte, cela peut être le travail de
plusieurs générations de dévoiler ses ramifications. J’espère que sur ce site
apparaîtront de temps en temps des récits de telles grandes analogies ayant nourri
le développement scientifique.

Mais comment découvre-t-on des analogies ? Cela est assez mystérieux :
après un processus de maturation inconscient, elles
surgissent brusquement dans la conscience. Il y a un texte fameux d’Henri Poincaré
concernant une telle naissance brutale, lors de la montée dans un omnibus
à Coutances [1]. Mais, dans le même livre que précédemment,
à la page 273, on trouve un autre exemple, moins connu. Hermann Weyl
cite l’introduction d’un article publié en 1878
par James Joseph Sylvester dans l’American Journal of Mathematics. Sylvester y
explique comment, inspiré par les diagrammes introduits par le chimiste
Kekulé pour représenter les molécules composées - et qui sont depuis la base
graphique de la chimie organique - il a découvert une méthode
graphique dans une branche des mathématiques pures dont il était l’un des
principaux spécialistes mondiaux, la théorie des invariants :

Pendant une nuit où j’étais étendu dans mon lit, en cherchant à découvrir
un moyen de transmettre une conception intelligible des objets de l’algèbre moderne
à une société mixte principalement composée de physiciens, chimistes et biologistes,
entremêlée de quelques rares mathématiciens [...] impressionné depuis longtemps
par le sentiment d’affinité, sinon d’identité d’objet entre la recherche sur les radicaux
composés et la recherche des `Grundformen’ ou des invariants irréductibles, j’ai été
agréablement surpris de découvrir soudain représentée sur ma rétine mentale une image
chimico-graphique servant à incarner et illustrer les relations de ces formes algébriques
dérivées avec leurs primitives et avec leurs semblables, ce qui allait parfaitement
accomplir l’objet que j’avais en vue, comme je vais l’expliquer maintenant.

On trouvera l’article de Sylvester numérisé sur le site de l’Université de Michigan, à partir de la page 148 (cf. le fichier PDF suivant (2Mo), mis à disposition sur cette page).

Ce que l’on apprend en lisant le livre de Hermann Weyl est que cette analogie découverte
par Sylvester était en fait le signe d’un lien profond entre théorie des invariants et
structures moléculaires. Mais ce lien n’allait être mis en évidence qu’une soixantaine
d’années plus tard, après l’avènement de la mécanique quantique. Hélas, les
explications de Hermann Weyl ne peuvent être suivies que par une personne ayant une formation
mathématique supérieure poussée. Mais ce serait un défi extrêmement intéressant à
relever que d’essayer
d’expliquer cela à un public plus large sur ce site ! Peut-être, tel Sylvester, celui
s’adonnant à cette tâche découvrira-t-il de nouvelles analogies fructueuses ?

Notes

[1On pourra lire cet épisode dans le texte de Poincaré, « L’invention mathématique 1 » (in L’Enseignement Mathématique, Volume 10, 1908), disponible ici sur la page du SEALS en Suisse, et d’où provient l’extrait suivant.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Vertus des analogies» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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