Visualiser la courbure

Du rayon de courbure au tenseur de Riemann

Piste rouge Le 14 juin 2017  - Ecrit par  Johann Colombano Voir les commentaires

Qu’est-ce que la courbure ? Une approche visuelle du concept, qui se révèle sous de multiples formes. Avec des animations, le voyage nourrit l’intuition et rend les choses plus faciles...

Comprendre la notion de courbure sans aucune formule... Du simple rayon de courbure jusqu’au tenseur de Riemann, clé de voûte de la géométrie différentielle.
Panorama non exhaustif !

« La géométrie est la science des raisonnements corrects sur des figures incorrectes »,
George Pólya, How to solve it, Princeton 1957. [1]

Certaines notions géométriques semblent très intuitives. Habitués que nous sommes à notre expérience sensorielle, les représentations visuelles nous guident parfois habilement dans la compréhension de concepts géométriques. Mais malheureusement elles sont souvent trompeuses et fourvoient notre intuition.

L’exemple que nous allons développer ici est celui de la courbure. Le profane est en droit de se demander : quel est l’intérêt de cette démarche ? Ce qui est courbe n’est pas plat, et cela suffit à un grand nombre, pour qui il n’y a pas de débat. Mais cela ne suffit pas au mathématicien, et en voici deux raisons :

  1. Le mathématicien étudie souvent des objets ou des espaces si complexes que toute représentation visuelle serait une tentative futile, vouée à l’échec. S’il est possible au prix de grands efforts de développer une intuition visuelle d’un espace à quatre dimensions, la tâche devient proche de l’impossible en dimensions supérieures… Il nous faut donc des définitions rigoureuses de la notion de courbure pour les objets et espaces que l’on ne peut pas « voir ».
  2. La beauté et la subtilité des mathématiques révèlent également des objets que l’on peut tout à fait visualiser, mais qui ne correspondent pas à l’intuition naïve que l’on peut avoir de la courbure. L’exemple le plus simple est celui du cylindre :

    En effet, un cylindre est pour le mathématicien un objet plat !

Pour s’en convaincre, il ne faut pas voir le cylindre comme un objet qui roule si on le pose sur une table. Il faut imaginer vivre sur ce cylindre, ou observer des insectes se déplaçant sur sa surface. Si les fourmis développaient une maîtrise de la géométrie, elles pourraient se convaincre sans mal qu’elles vivent sur un espace euclidien, parfaitement plat !

Allons un peu plus loin avec un exemple plus complexe et encore plus fascinant : le tore carré plat. Cet objet représente dans notre espace tridimensionnel familier l’espace dans lequel vit Pac-Man, un être à deux dimensions en forme de camembert (entamé) dans l’un des jeux vidéo les plus célèbres. Son espace prend sur nos écrans la forme d’un carré dont les côtés opposés sont identifiés. Si Pac-Man traverse le bord droit de l’écran, il réapparaît sur le bord gauche, et de même du bord bas au bord haut.

Une représentation fidèle de cet espace est la suivante :

Cette surface est plate ! Difficile à croire ? Voyez les détails dans cet article de Vincent Borelli.

À première vue, il est donc clair que la notion de courbure cache des secrets inaccessibles à notre intuition…

Que les choses soient claires : notre objectif est de « voir » les rouages de la notion de courbure, pour essayer de la comprendre intuitivement. L’approche ne sera donc pas très rigoureuse, mais volontairement visuelle. Il ne faut jamais oublier que les représentations visuelles ne sont que des supports à la compréhension, et en aucun cas des définitions ou même des représentations fidèles.
Ce sont plutôt des modèles, qui représentent donc certaines caractéristiques d’un concept et en occultent d’autres. Elles font passer un message, et elles apportent une satisfaction qui ne doit pas être prise pour de la compréhension, même si les sensations peuvent lui ressembler à s’y méprendre...

Rayon de courbure

Sur une feuille de papier, la courbure d’un arc peut se mesurer de deux façons :

  • Imaginez un circuit de moto sur un terrain parfaitement plat, parcouru à une vitesse constante. Sur ce Grand Prix bien ennuyeux, la notion de courbure peut être vue comme la « longueur » du vecteur accélération du motard.
    Mais puisque l’accélération mesure le changement de vitesse au cours du temps et que le motard se déplace à une vitesse constante, son accélération doit être nulle, non ? Seulement en ligne droite…
    En effet, l’accélération ne mesure pas seulement un changement de vitesse, mais tout changement du vecteur vitesse, et nous rappelons qu’un vecteur est défini par sa longueur certes, mais aussi par sa direction (et son sens).
    En prenant un virage, même à vitesse constante le motard subit une accélération (l’effet centrifuge), car malgré sa vitesse constante, sa direction change.
    C’est pour cela qu’il n’y a pas besoin de rouler vite en moto pour apprécier une ballade… Un virage serré à 30km/h peut être tout aussi grisant qu’une accélération en ligne droite !
    Même sur piste, un motard subit jusqu’à 1,2 G en accélération (décevant, non ?), environ 1,7 G au freinage (pas mal…), et jusqu’à 2 G dans les virages ! (source : télémétrie Yamaha Tech 3).
    Cette notion de courbure peut être représentée visuellement, mais le résultat ne sera pas très intéressant.
  • Faisons plutôt une comparaison. Prendre un virage revient au même que tourner en rond, c’est-à-dire parcourir un cercle, au moins sur une petite distance. Si le virage est serré (comme dans un petit rond-point ou un virage en épingle), cela est équivalent à un cercle de faible rayon, et l’accélération est forte, donc la courbure élevée. Inversement, si le virage est très grand (comme sur une autoroute, ce n’est pas un hasard), cela est équivalent à un cercle de grand rayon, et l’accélération est plus faible, donc la courbure moindre.
    On peut donc voir la courbure comme l’inverse du rayon du cercle tangent :

    La courbure au point $P$ est de $\frac 1R$.
    Remarque : Si la courbe tourne vers la gauche, le rayon de courbure sera positif, si elle tourne vers la droite, il sera négatif.

La courbure d’une surface décrite dans un espace à trois dimensions peut de la même manière être décrite en chaque point par deux rayons de courbure.

Cette notion de courbure est extrinsèque, car elle ne peut être mesurée que sur une courbe ou surface décrite dans un espace de dimension supérieure.

C’est Karl Friedrich Gauss qui en 1827 introduit une notion de courbure intrinsèque, qui ne dépend pas de l’espace ambiant.

Courbure de Gauss

Si nous traçons au compas un cercle de rayon $r$ sur une surface plane, nous obtenons une circonférence de $2\pi r$. La même construction sur une surface courbe donnera une circonférence inférieure si la courbure est positive, et supérieure si celle-ci est négative [2] :
Courbure positive, nulle et négative

Cette notion de courbure est intrinsèque, car elle n’a pas besoin d’un espace ambiant.

Peut-on la généraliser aux dimensions supérieures, en construisant une sphère de rayon $r$ et en comparant son aire à celle d’un espace plat euclidien ? Ou bien en comparant son volume intérieur ?

Courbure scalaire

Prenons un point de l’espace dont nous essayons de déterminer la courbure, et coupons des « tranches » de cet espace passant par ce point, dans toutes les directions. Dans chacune de ces tranches, nous pouvons mesurer la courbure de Gauss [3]. Alors la courbure scalaire sera la moyenne de toutes ces mesures. On peut comparer les aires et les volumes par rapport à un espace plat en faisant intervenir cette notion de courbure.

Dans un espace tridimensionnel, supposons que nous construisions une boule de rayon $r$, et que son volume vaille exactement $\frac 43\pi r^3$ comme dans un espace plat. Peut-on en conclure que la courbure de cet espace est nulle ?
Non !
Nous pouvons imaginer un espace courbe où les « longueurs » sont dilatées dans une direction, et contractées dans les deux autres directions de sorte qu’une boule ait la forme d’un ovoïde [4] de volume $\frac 43\pi r^3$ également :

Nous rencontrons le même problème si l’on compare les aires.

La courbure scalaire peut donc être nulle dans un espace courbe…
Essayons de contourner ce problème.

Tenseur de Ricci

Reprenons notre stratégie de « découpage » de l’espace, mais cette fois-ci prenons seulement les « tranches » d’une même direction choisie au préalable. Le tenseur de Ricci nous donnera la moyenne des courbures de Gauss pour une direction donnée. Nous allons alors pouvoir comparer des aires ou des volumes « directionnels ».

Pour donner un sens à cette expression étrange, nous pouvons utiliser la méthode suivante :
En mesurant non pas le volume total, mais le volume d’une section de la boule [5], nous pouvons alors éliminer le contre-exemple précédent, puisqu’il permettra de différencier deux boules de même volume si l’une est déformée (les sections n’auront pas le même volume).

L’espace de courbure scalaire nulle aurait ici un tenseur de Ricci non nul.
Est-ce suffisant pour déterminer un espace courbe ?
Non plus…
Il existe des espaces courbes où le tenseur de Ricci est nul. Ce cas de figure peut être visualisé dans le cadre de la relativité générale en considérant un trou noir… euclidien ! Plus intuitivement, ce type d’espace décrirait un univers vide de matière (ce qui correspond en relativité générale à un tenseur de Ricci nul) mais contenant des ondes gravitationnelles, qui courbent l’espace. Ce type d’espace est appelé Ricci plat (mais il n’est pas plat, il est bien courbe !).
Donc il nous faut une notion de courbure plus générale encore.

Tenseur de Riemann

Affinons encore plus notre « découpage » de l’espace, en prenant un outil qui ne se contentera pas de nous donner des moyennes, mais qui déterminera leur valeur exacte dans chaque « tranche » : le tenseur de courbure de Riemann. Il contient en quelque sorte la collection de toutes les courbures sectionnelles en un point [6].

Celui-ci va mesurer la déviation des vecteurs tangents lors d’un déplacement. Par exemple, prenons un disque sur lequel nous déplaçons un vecteur en le gardant toujours parallèle à lui-même, c’est-à-dire pointant toujours dans la même direction.

En coupant un bout de ce disque et en le recollant pour former un cône, on observe alors que les vecteurs parallèles finissent par former un angle ! Cet angle caractérise la présence de courbure sur le cône [7].

Notons au passage que cette construction permet de visualiser schématiquement un des facteurs de l’avance du périhélie de Mercure. Il est bien connu que l’orbite d’une planète autour du soleil prend la forme d’une ellipse. Mais cette ellipse est déformée par l’aplatissement du soleil (facteur presque négligeable ceci dit) et l’influence des autres planètes (de loin le facteur le plus important). Cela créé une précession de l’orbite des planètes :

En rouge l’orbite elliptique idéale, en bleu l’orbite en précession (très exagérée pour les besoins de la visualisation).
Mais l’observation ne correspond pas tout à fait aux prédictions de la théorie de la gravitation newtonienne, en particulier pour Mercure...
Ceci est dû à la courbure de l’espace, qui accentue cet effet :

Revenons à nos vecteurs.
On sait maintenant que la courbure perturbe le parallélisme. Voyons pourquoi.

Le transport parallèle

Sur une surface courbe, la notion de parallélisme telle qu’on la connait en géométrie euclidienne devient locale. Sur une très petite distance, nous ne voyons pas de différence, car tout « bon » espace courbe est localement plat :

En revanche, plus le déplacement parallèle est fait sur une grande distance, plus les écarts s’accumulent, et le résultat n’a plus l’air parallèle du tout !

L’effet est bien sûr exagéré dans cette animation.

Avec ces outils, nous allons alors pouvoir définir une notion de courbure complète en comparant les vecteurs tangents d’un point à un autre de l’espace. Mais attention ! le résultat de cette mesure dépendra du chemin parcouru…

Le tenseur de Riemann

Comparons deux vecteurs tangents déplacés selon des chemins différents :

La différence définit le tenseur de Riemann selon les directions $\vec a$ et $\vec b$ appliqué au vecteur $\vec v$. Il décrit la dépendance (locale) des déviations de vecteurs aux chemins parcourus.

Prenons deux exemples :

  1. Lorsque l’on roule une feuille de papier pour former un cylindre, on modifie la courbure extrinsèque et les droites géodésiques dans une direction deviennent des cercles.
    En revanche, nous n’avons pas modifié la courbure intrinsèque (la feuille n’est pas déformée), et il n’y aura pas de décalage en parcourant des chemins fermés : le tenseur de Riemann restera nul, le cylindre est (intrinsèquement) plat.
  2. On peut observer ce décalage sur la sphère, en parcourant des courbes géodésiques (morceaux de grands cercles). A noter que l’angle sera différent suivant le chemin choisi.

Le tenseur de courbure de Riemann décrit complètement la courbure intrinsèque d’un espace quel que soit son nombre de dimensions.

Le tenseur de Ricci en est une « partie » et la courbure scalaire est elle-même une plus petite « partie ». Ce sont ces deux notions de courbures qui sont liées au contenu en matière et énergie de l’espace-temps dans l’équation d’Einstein de la relativité générale. Pour le lecteur averti souhaitant rentrer dans les détails mathématiques de la relativité générale, vous trouverez ici plus de détails.

Post-scriptum :

Un grand merci à Clément Caubel, Baptiste Mélès et Jimmy Dillies pour leur relecture détaillée et leurs commentaires constructifs.

  • Images et animations créées avec LaTeX.
  • Image du tore carré plat : Vincent Borelli.
  • Orbites elliptiques : Wikimedia commons.
Article édité par Nils Berglund

Notes

[1Probablement repris de la formulation de Descartes « La géométrie est l’art de raisonner juste sur des figures fausses ».

[2Remarque : on peut aussi comparer l’aire d’un disque pour venir aux mêmes conclusions.

[3Attention, raccourci un peu brutal. Techniquement, une « tranche » est en fait la surface générée par toutes les géodésiques dont les vecteurs tangents au point considéré appartiennent à un même plan de l’espace tangent...

[4Attention : même si la boule déformée ressemble à un ovoïde, c’est uniquement car nous l’avons dessinée dans un espace euclidien... Il s’agit bel et bien d’une boule mais dans un espace courbe, c’est pourquoi nous pouvons comparer les volumes ou les aires, cela ne contredira pas le théorème isopérimétrique.

[5Ces sections coniques sont construites en groupant des morceaux de géodésiques de longueur $r$ passant par le point.

[6La courbure sectionnelle n’étant rien d’autre que celle de Gauss dans une « tranche » particulière.

[7Remarque : La courbure est concentrée au sommet du cône car il faut prendre un chemin qui l’entoure pour observer cet effet.

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Pour citer cet article :

Johann Colombano — «Visualiser la courbure» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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