Wendelin Werner

Piste bleue Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Jean-François Le Gall Voir les commentaires

(Cet article est issu du volume 2006 de la version papier de Images des Mathématiques.)

Les travaux du mathématicien français Wendelin Werner ont été récompensés par la prestigieuse Médaille Fields lors du dernier Congrès International des Mathématiciens qui s’est tenu à Madrid du 22 au 30 août 2006. Ancien élève de l’Ecole normale supérieure (ÉNS) de Paris, Wendelin Werner a d’abord été chercheur au CNRS et il est depuis 1997 professeur à l’Université Paris-Sud (Orsay). Il est aussi membre de l’Institut universitaire de France et professeur à temps partiel à l’Ecole normale supérieure.

Avec Wendelin Werner, la
Médaille Fields distingue
pour la première fois un
spécialiste de la théorie des
probabilités. Ses travaux se
placent à l’interface entre
cette théorie et la physique
statistique. Le fait que les
modèles étudiés possèdent
des propriétés asymptotiques d’invariance conforme
conduit aussi à l’utilisation d’outils sophistiqués d’analyse complexe.

Un exemple simple mais significatif des résultats de
Wendelin Werner est fourni par l’étude de la probabilité de non-intersection de deux marches aléatoires
planes. Considérons une particule qui se déplace de
manière aléatoire sur le réseau ${\mathbf Z}^2$ selon les règles suivantes : à l’instant initial la particule se trouve à l’origine puis, à chaque instant entier strictement positif,
elle saute en l’un des quatre plus proches voisins du
point occupé précédemment, avec la même probabilité
$1/4$ pour chacune des possibilités, indépendamment
du passé. La trajectoire de la particule entre les instants $0$ et $n$ est l’ensemble des points qu’elle visite entre
ces deux instants. Considérons aussi une seconde particule qui se déplace selon les mêmes règles, indépendamment de la première. On s’intéresse alors à la
probabilité que l’origine soit le seul point commun aux
trajectoires des deux particules entre les instants $0$ et $n$.

On savait depuis assez longtemps que cette probabilité
se comporte comme (une constante fois) $n^{−a}$ quand $n$
est grand. La valeur exacte de l’exposant $a=5/8$,
conjecturée par les physiciens théoriciens Duplantier
et Kwon en 1988, n’a pu être
calculée rigoureusement que
grâce aux travaux récents de
Wendelin Werner et de ses
collaborateurs Gregory Lawler et Oded Schramm. De
manière inattendue, ce calcul
a nécessité l’introduction de
nouveaux processus aléatoires, les évolutions stochastiques de Loewner ou
SLE en anglais.

Les processus SLE ont beaucoup
d’autres applications spectaculaires à différents modèles
de physique statistique,
comme la percolation, les
marches aléatoires auto-évitantes ou modèles de polymères, ou encore les arbres
couvrants sur un réseau. Le
développement de telles
applications, par Wendelin
Werner et ses collaborateurs,
a constitué un pas de géant
dans la compréhension
mathématique de ces
modèles.

Après celle obtenue par Laurent Lafforgue en 2002, la
Médaille Fields de Wendelin Werner témoigne une
nouvelle fois de la grande vitalité de l’école mathématique française.

Post-scriptum :

Voir : la rencontre avec Wendelin Werner, par Emmanuel Ferrand, Gilles Godefroy et Pauline Higgins

Voir également le billet de Wendelin Werner : « Piloter » la politique scientifique et la brève du 19 février

Article édité dans sa version papier par Étienne Ghys et Jacques Istas.

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Pour citer cet article :

Jean-François Le Gall — «Wendelin Werner» — Images des Mathématiques, CNRS, 2006

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