Yves Meyer et les quasi-cristaux

Piste bleue Le 30 mai 2017  - Ecrit par  Pierre-Antoine Guihéneuf Voir les commentaires (1)

Yves Meyer vient de recevoir le prix Abel, l’une des plus prestigieuses récompenses en mathématiques, « pour ses contributions déterminantes à la théorie des ondelettes ». À cette occasion, Images des Mathématiques revient sur quelques-uns des travaux marquants de sa carrière, comme dans cette retranscription d’une conférence d’Yves Meyer parlant de la détection des ondes gravitationnelles à l’aide des ondelettes (voir aussi ce billet). Nous abordons ici ses découvertes à propos des quasi-cristaux.

Si le texte principal de l’article est en piste bleue, les blocs déroulants sont plutôt piste noire.

Ensembles modèle

Voici la recette pour construire un ensemble modèle en dimension 1 :

  • Prenez une famille de droites du plan, parallèles entres elles et régulièrement espacées. Prenez ensuite une autre famille de droites, elles aussi parallèles entres elles et régulièrement espacées, mais pas parallèles aux premières. Les points d’intersection entre ces droites forment ce qu’on appelle un réseau du plan (en vert sur l’image).
  • Choisissez une bande horizontale et sélectionnez tous les points du réseau appartenant à cette bande (les gros points verts de l’image), puis projetez-les verticalement sur l’axe des abscisses (les points rouges de l’image).

Cette construction s’appelle couper-projeter, et le sous-ensemble de l’axe des abscisses constitué des points rouges est appelé ensemble modèle [1]. Elle se généralise pour obtenir des sous-ensembles du plan [2], d’ailleurs ce sont des sous-ensembles du plan qu’on représentera à partir de maintenant : c’est bien plus pratique pour visualiser les caractéristiques de ces ensembles (et ça fait de plus jolis dessins !).

Le nom d’ensemble modèle est dû à Yves Meyer, qui les a introduits au début des années 70 dans le but d’étudier les nombres de Pisot et de Salem [Mey72]. Par exemple, tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est un nombre de Pisot, de même que le nombre d’or $\varphi = (1+\sqrt 5)/2$ ou bien $1+\sqrt 2$. Ce travail d’Yves Meyer dévoile les liens entre trois domaines a priori sans grand rapport :

  • L’approximation diophantienne des nombres de Pisot et de Salem (nombres dont la définition classique est de nature algébrique). L’approximation diophantienne est expliquée dans un bloc déroulant ci-dessous.
  • L’étude de certains ensembles presque-périodiques, qu’il nomme alors harmonieux et qui sont désormais connus sous le nom d’ensembles de Meyer. Leur définition est purement géométrique : un sous-ensemble discret $M$ du plan est dit de Meyer s’il n’existe pas de vecteurs arbitrairement proches dont les extrémités sont des points de $M$ [3] (on demande aussi qu’il n’existe pas de disque arbitrairement grand ne contenant aucun point de $M$).
  • L’analyse harmonique, c’est-à-dire la décomposition d’un signal — par exemple un son — en superposition d’ondes [4].

C’est la notion d’ensemble modèle qui permet à Yves Meyer de mettre au jour les liens entre ces domaines.

Trois exemples de tels liens

Ces exemples ont été piochés dans [Mey95].

  • Tout ensemble modèle est un ensemble de Meyer, et réciproquement tout ensemble de Meyer est inclus dans une union finie de translatés d’un ensemble modèle.
  • Supposons qu’un ensemble de Meyer $M$ est invariant par dilatation de rapport $x$, c’est-à-dire que l’ensemble $xM$, obtenu en multipliant chaque élément de $M$ par $x$, est égal à $M$. Alors $x$ est un nombre de Pisot ou de Salem.
  • On a une formule sommatoire de Poisson sur les ensembles modèle, qui explique pourquoi on voit apparaître des ensembles discrets sur les figures de diffraction des quasi-cristaux (voir l’image ci-dessous).

Le lecteur trouvera dans le bloc suivant un exemple concret illustrant comment visualiser des problèmes d’approximation diophantienne par des ensembles modèle. Il pourra dans un premier temps se contenter de jouer avec l’animation : l’ensemble modèle est en rouge !

Un exemple d’ensemble modèle par l’approximation diophantienne

Depuis la Grèce antique et Pythagore, on sait que le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme $\sqrt{2} = p/q$, avec $p$ et $q$ deux nombres entiers [5]. Soit, mais on peut quand même chercher à approcher $\sqrt{2}$ par des nombres rationnels. C’est la question à la base de l’approximation diophantienne, domaine des mathématiques maintenant très développé (il a par exemple valu la médaille Fields à Klaus Roth en 1958), voir par exemple le livre [HaW38].

Klaus Roth

Rentrons un peu plus dans les détails. On cherche toutes les fractions $p/q$ qui approchent bien le nombre $\sqrt{2}$. Par exemple, $\sqrt{2} = 1,4142135623\dots$ est bien approché par $577/408 = 1,4142156862\dots$ Plus généralement, on peut se poser la même question pour n’importe quel nombre irrationnel $\alpha$ à la place de $\sqrt 2$, mais contentons-nous de ce cas particulier pour l’instant.

Fixons maintenant un nombre $\varepsilon>0$ « petit », et cherchons toutes les fractions $p/q$ qui approchent « très bien » $\sqrt 2$, dans le sens que
\[\left|\sqrt{2} -\frac{p}{q}\right| \le \frac{\varepsilon}{q},\]
où $|x|$ désigne la valeur absolue de $x$, autrement dit sa distance à $0$ (si bien que $|\sqrt 2 -p/q|$ est la distance entre $\sqrt{2}$ et $p/q$). Pour simplifier les choses, intéressons-nous simplement aux dénominateurs $q$. En multipliant l’équation précédente par $q$, on obtient
\[\big|q\sqrt{2} -p\big| \le \varepsilon.\]
Par exemple, dans le cas de l’approximation $\sqrt 2 \simeq 577/408$, on obtient
\[\big|408\sqrt{2} -577\big| \simeq 8,6655\ldots \times 10^{-4} < 10^{-3}.\]
Remarquons que l’approximation « naïve » $\sqrt 2 \simeq 1414/1000$ est bien moins bonne, puisque
\[\big|1000\sqrt{2} -1414\big| \simeq 0,2136.\]

Il y a une manière très géométrique de visualiser les dénominateurs $q$ qui satisfont cette inégalité pour un certain numérateur $p$. Considérons les deux vecteurs du plan $\vec u=(0,-1)$ et $\vec v=(1,\sqrt{2})$, en bleu dans l’animation suivante (où $\sqrt{2}$ est remplacé par un nombre $\alpha$ quelconque), et regardons le réseau engendré par ces deux vecteurs (les points verts de l’animation). Ce réseau s’obtient en prenant tous les points de la forme $p\vec u + q\vec v$, avec $p$ et $q$ des entiers relatifs [6]. En coordonnées, cela donne
\[p\vec u + q\vec v = (q\, , \ q\sqrt{2}-p).\]

Regardons la seconde coordonnée $q\sqrt{2}-p$. Rappelons qu’on cherche les points pour lesquels $|q\sqrt{2} -p| \le \varepsilon$, donc ceux où cette seconde coordonnée est plus petite que $\varepsilon$ en valeur absolue. Cela correspond aux points situés dans la bande horizontale située entre les droites d’équations $y=-\varepsilon$ et $y=\varepsilon$. On récupère alors le dénominateur $q$ en regardant la première coordonnée, c’est-à-dire en projetant les points verts qui sont dans la bande sur l’axe des abscisses (les points rouges de l’animation).

Rappelons que dans l’animation, le nombre $\sqrt 2$ est remplacé par un nombre $\alpha$ quelconque.

Remarquez que si $\alpha$ est rationnel, alors l’ensemble rouge obtenu est périodique. En revanche, si $\alpha$ est irrationnel, l’ensemble rouge obtenu n’est pas périodique. Il possède néanmoins une certaine structure, par exemple les écarts entre deux points rouges successifs ne peuvent prendre qu’un ensemble fini de valeurs distinctes [7].

L’histoire est loin de s’arrêter là. En 1981, les ensembles modèle sont redécouverts par Nicolaas Govert de Bruijn lorsqu’il étudie les pavages de Penrose, imaginés 7 ans plus tôt par le physicien Roger Penrose. Ce sont des pavages du plan à l’aide d’un ensemble fini de tuiles, mais qui ne possèdent aucune périodicité ; néanmoins les sommets de ces tuiles ont une structure assez rigide puisqu’ils forment un ensemble modèle. Cela donne des images magnifiques, on peut même en faire de très beaux parquets. À ce propos ne manquez pas ce magnifique article d’Images des maths qui explique comment un réaliser un soi-même !

Pavage de Penrose de type 3, construit à partir de deux tuiles, toutes deux en forme de losange, une bleue et une blanche. Les sommets des tuiles forment un ensemble modèle.

La popularisation de ces ensembles par leur aspect esthétique a largement contribué à la diffusion des résultats de [SBGC84], où pour la première fois on observait des solides présentant une structure ordonnée mais non périodique [8]. Ils sont désormais appelés quasi-cristaux et ont valu à Dan Shechtman le prix Nobel de chimie 2011.

Diagramme de diffraction d’un quasi-cristal, présentant une symétrie d’ordre 5, impossible pour un cristal régulier.

Cette découverte relance l’étude théorique des ensembles modèle — et des ensembles quasi-périodiques en général —, qui connaît un grand boum à partir de la fin des années 90, notamment sous l’impulsion d’Yves Meyer, Michael Baake, Jeffrey Lagarias, Robert Moody... Le lecteur curieux pourra se faire une idée de la richesse des applications en consultant le survol [Moo00] de Robert Moody.

Quelques exemples très récents en vrac :

  • L’étude harmonique des ensembles modèle est approfondie, et aboutit entre autres à la caractérisation des mesures à support et spectre discret par Nir Lev et Alexander Olevskii [LeO15] ; leur preuve utilise de manière cruciale les ensembles modèle. Ces propriétés spectrales intéressent beaucoup les physiciens, puisque la plupart du temps ils n’ont accès qu’aux figures de diffraction produites par les quasi-cristaux, autrement dit à leur transformée de Fourier, comme sur l’image ci-dessus.
  • Jens Marklof et Andreas Strömbergsson ont utilisé les ensembles modèle pour redémontrer le théorème des 3 écarts [MaS16] : étant donné un nombre irrationnel $\alpha$, si on place les parties fractionnaires des nombres $n\alpha$ sur le cercle de circonférence 1, avec $n$ allant de $0$ à un certain $N$, alors les écarts sur ce cercle entre deux points consécutifs prennent au plus trois valeurs différentes.
  • Les ensembles modèle fournissent, via l’action par translation de l’espace vectoriel dans lequel ils vivent, des exemples de systèmes dynamiques possédant des propriétés originales, voir par exemple cet article [JLO17] de Tobias Jäger, Daniel Lenz et Christian Oertel.

Une rencontre

J’ai rencontré Yves Meyer à la fin de l’année 2013. À l’époque, mon sujet de thèse m’avait amené à étudier les discrétisations d’applications linéaires. Tout ce que je veux en dire ici se résume à la jolie image suivante [9] :

Image du réseau $\mathbf Z^2$ par la discrétisation de la rotation d’angle $\pi/6$

J’obtenais donc des sous-ensembles du réseau $\mathbf Z^2$ (l’ensemble des points du plan à coordonnées entières) qui semblaient présenter une forme de presque-périodicité, mais je ne connaissais pas grand-chose au sujet : j’avais du mal à déterminer quelles étaient les propriétés intéressantes de ces ensembles. Quelques années plus tôt, j’avais assisté à un exposé d’Yves sur les quasi-cristaux ; je savais donc qu’il avait beaucoup travaillé sur ce sujet et lui ai envoyé un mail pour lui demander son avis sur les figures que j’obtenais. Il les a accueillies avec émerveillement et enthousiasme. C’est d’ailleurs cet enthousiasme qui m’a le plus frappé : il est resté chez lui intact. Le lendemain de notre premier rendez-vous, il m’envoyait 3 pages de maths rédigées pendant la nuit, à propos d’une définition de presque-périodicité que je lui avais soumise. Nous nous sommes revus quelques fois, et je peux dire que ces rencontres ont contribué pour beaucoup au déblocage du problème le plus difficile de ma thèse : sa résolution repose de manière cruciale sur les ensembles modèle, auxquels Yves m’a initié.

Au-delà des mathématiques, les discussions avec Yves sont toujours peuplées de souvenirs de lieux, de gens : les mathématiques, parfois perçues comme froides et mécaniques, deviennent avec lui une activité chaleureuse et humaine. J’aimerais terminer cet article par une anecdote qu’il aime beaucoup raconter. En 2007, Peter Lu, un physicien américain de l’université d’Harvard alors en voyage en Ouzbékistan, réalise que des mosaïques d’une médersa datant du 15e siècle ont une structure de pavage de Penrose [10]. Les artistes islamiques ont donc produit ces pavages six cents ans avant qu’ils ne soient redécouverts par les scientifiques occidentaux !


[Mey72] Y. Meyer, Algebraic Numbers and Harmonic Analysis, Elsevier, 1972.

[Mey95] Y. Meyer, Quasicrystals, Diophantine approximation and algebraic numbers, Beyond quasicrystals, 1995.

[Bru81] N. G. de Bruijn, Algebraic theory of Penrose’s nonperiodic tilings of the plane, Indagationes Mathematicae 1 (1981), p. 39—66.

[SBGC84] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias et J. W. Cahn, Metallic phase with long-range orientational order and no translational symmetry, Physical Review Letters 53 (1984), p. 1951–1953.

[LeO15] N. Lev et A. Olevskii, Quasicrystals and Poisson’s summation formula, Inventiones mathematicae, 200 (2015), p. 585–606. Lien vers l’article.

[Moo00] R. Moody, Model Sets : A Survey, Quasicrystals to More Complex Systems, Centre de Physique des Houches (2000), vol 13, p. 145-166. Lien vers l’article.

[MaS16] J. Marklof et A. Strömbergsson, The three gap theorem and the space of lattices, à paraître dans l’American Mathematical Monthly. Lien vers l’article.

[JLO17] T. Jäger, D. Lenz et C. Oertel, Model sets with positive entropy in Euclidean cut and project schemes. Lien vers l’article.

[HaW38] G.H. Hardy et E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers (1938).

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction de Images des Mathématiques remercient l’éditeur Jérôme Buzzi, ainsi que les relecteurs Laurent Bétermin, Christophe Boilley, FlavienK, Thomas Sauvaget et François Sauvageot pour leurs relectures attentives et leurs commentaires éclairés qui ont largement contribué à améliorer l’article.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Pour être précis, il faut ajouter quelques conditions sur le réseau pour que l’ensemble rouge puisse prétendre au titre d’ensemble modèle, qui sont satisfaites sauf cas exceptionnels (dans un sens qu’on peut définir rigoureusement).

[2Et même d’espaces de dimension finie quelconque.

[3Autrement dit, il existe un nombre $d>0$ telle que si $v$ et $v'$ sont deux vecteurs dont les extrémités sont des points de $M$, alors $v$ et $v'$ sont distants d’au moins $d$.

[4L’outil principal de cette théorie est la transformée de Fourier. Dans le cadre qui nous intéresse, on cherche à comprendre la transformée de Fourier des quasicristaux.

[5À ce sujet, voir le livre Rationnel mon Q et Petits meurtres entre mathématiciens..

[6Plus généralement, étant donnés deux vecteurs non colinéaires $\vec u $ et $\vec v$, le réseau du plan engendré par $\vec u$ et $\vec v$ est l’ensemble des points de la forme $p\vec u + q\vec v$, où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.

[7Ce qui confirme que l’ensemble rouge est un ensemble de Meyer !

[8Les physiciens et chimistes n’ont généralement pas accès directement à la structure d’un solide, mais peuvent la deviner à partir de son diagramme de diffraction. On dit que le solide présente une structure ordonnée si son diagramme de diffraction est ponctuel (en particulier il ne contient pas de masse diffuse).

[9Qu’il faudrait que j’essaie d’expliquer dans un autre article sur Images des Maths !

[10Alain Juhel nous signale en commentaire (plus bas) que l’endroit visité par Peter Lu est non pas une médersa en Ouzbékistan, mais le Darb-e-Imam à Isfahan, en Iran. Merci à lui !

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Pour citer cet article :

Pierre-Antoine Guihéneuf — «Yves Meyer et les quasi-cristaux» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Discours de remerciements (Le Soleil de Munch, en arrière plan), Stéphane Jaffard.
Klaus Roth - https://fr.wikipedia.org/wiki/Klaus_Roth#/media/File:Klaus_Roth.jpg

Commentaire sur l'article

  • Yves Meyer et les quasi-cristaux

    le 8 juin à 11:15, par Alain Juhel

    Juste une petite correction géographique :
    le pavage apériodique présenté sur le cliché de Peter Lu se trouve, non pas en Ouzbékistan, mais en Iran : le monument, plutôt complexe funéraire que médersa, est le Darb-e-Imam à Isfahan.
    Pour voir ce détail dans son contexte, une présentation du problème de l’apériodicité, une démonstration de R. Tenant et quelques liens vers les vidéos d’excellentes conférences sur le sujet -dont celles de Dan Schechtman, prix Nobel de chimie et Peter Lu-, ne pas hésiter à visiter la page que j’ai consacrée à ce sujet qui unit mathématiques, cristallographie et architecture.

    http://www.mathouriste.eu/Isfahan_Darb_e_Imam/Isfahan_Darb_e_Imam.html

    Autre précision, mathématique celle-là : la preuve repose sur l’ irrationalité des racines du polynôme caractéristique d’une matrice d’itération discrète. Joli, non ?

    Cela avait bien plu à mes étudiants, comme introduction aux valeurs propres, et pas mal étonné un groupe de non-mathématiciens dans la cour du mausolée, devant qui je m’étais bien gardé de prononcer le gros mot d’équation caractéristique ! Il suffit de montrer le tableau des formules de récurrence, dire qu’un coup de baguette magique permet de former à partir de celui-ci une équation polynômiale obtenue pour la première fois par Le Verrier lorsqu’il traquait la stabilité du système solaire (effet de surprise garanti), et réveiller quelques petits souvenirs des radicaux qui traînent dans les formules de résolution de l’équation du second degré, pour que le sujet soit captivant pour des lycéens... ou des adultes qui ont de (parfois lointains) souvenirs de lycée. D’une époque, il est vrai, où le trinôme du second degré laissait une marque au fer rouge !

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