Yves Meyer, lauréat 2010 du prix Gauss

Le 22 août 2010  - Ecrit par  Stéphane Jaffard Voir les commentaires (1)

Le prix Gauss vient d’être attribué à Yves Meyer lors de la séance inaugurale du Congrès International des Mathématiques (ICM), qui se tient actuellement à Hyderabad [1].
Ce prix est très récent puisque Yves Meyer en est le second lauréat, et a été attribué la première fois il y a quatre ans, lors du précédent ICM, qui s’était tenu à Madrid. Il récompense un mathématicien ayant effectué des contributions exceptionnelles ayant des répercussions dans les domaines d’applications des mathématiques. Le premier lauréat avait été Kiyoshi Ito, mathématicien japonais qui répondait parfaitement au « cahier des charges » du prix, puisque la notion d« intégrale stochastique », qu’il avait introduite, est non seulement un apport fondamental en théorie des probabilités, mais est aussi l’outil indispensable pour résoudre les équations différentielles et aux dérivées partielles stochastiques, qui modélisent les systèmes physiques dont l’évolution dépend, entre autres, du hasard.

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yves Meyer

Yves Meyer est né en 1939. Il a passé sa jeunesse en Tunisie et a été élève du lycée Carnot de Tunis, pépinière d’intellectuels de tout premier plan. Il y brilla tout particulièrement : primé au concours général en Mathématiques. Reçu premier à l’Ecole Normale Supérieure (ENS) alors qu’il venait d’avoir 18 ans, après seulement une année de classes préparatoires, il enseignera trois ans au Prytanée militaire de la Flèche, où il commencera une thèse ; durant ces années, il sera scientifiquement influencé par Jean-Pierre Kahane grande figure de l’analyse harmonique en France. Ce domaine des mathématiques est motivé par l’étude des fonctions à partir de leur décomposition en fréquences. La proximité de J.-P. Kahane permettra à Yves Meyer d’échapper à l’influence de l’establishment mathématique de l’époque, sous la domination du groupe Bourbaki ; il en gardera toute sa vie un certain style, préférant la résolution de problèmes précis, l’étude d’objets mathématiques remarquables, plutôt que la construction de théories générales. Ultérieurement, Jacques-Louis Lions, fondateur de l’école de mathématiques appliquées française, aura aussi sur lui une influence importante, le sensibilisant notamment à la richesse du lien entre les mathématiques et leurs applications. Hormis de brefs passages au CNRS, il sera toute sa vie enseignant-chercheur, tout d’abord à Strasbourg, puis Orsay, Polytechnique, Dauphine, et enfin à l’Ecole Normale Supérieure de Cachan.

L’une des caractéristiques d’Yves Meyer est son éclectisme dans le choix de ses thèmes de recherche. Jeune, il s’intéressera à l’interface entre l’analyse harmonique et la théorie des nombres. Ce sujet très riche et surprenant l’amènera a proposer les premiers exemples de quasi-cristaux, avant les travaux qui rendront R. Penrose célèbre. Il s’agit de construire des pavages de l’espace par des objets réguliers, et pour lesquels les pavages périodiques sont interdits [2]. Ainsi, on ne peut paver le plan par des pentagones réguliers, mais c’est possible par un pavage « quasi-périodique » contenant des pentagones et des losanges, et un tel pavage aura des propriétés de symétrie d’ordre 5 remarquables. Ces travaux d’Yves Meyer ont trouvé des applications inattendues en chimie.

En 1974, Yves Meyer effectue une visite aux Etats-Unis, à « Washington University », à Saint Louis. Là, R. Coifman lui décrit le « programme de Calderon », vaste programme scientifique dont le but était l’étude des opérateurs d’intégrale singulière ; ces opérateurs jouent un rôle central dans de nombreux problèmes issus de la physique (électrostatique ou électromagnétisme par exemple), dans des situations où la géométrie est peu régulière. Captivé par ce nouveau sujet, Yves Meyer résoudra la première conjecture centrale de la théorie, (en collaboration avec R. Coifman et A. MacIntosh) concernant l’intégrale de Cauchy. Le travail de pionnier qu’il aura ainsi effectué ouvrira la voie aux célèbres travaux de G. David et J.-L Journé (théorème T(1)), X. Tolsa (conjecture de Painlevé), P. Auscher, P. Tchamitchian et al. (conjecture de Kato),... La plupart de ces brillants mathématiciens sont des anciens élèves d’Yves Meyer.

En 1984, Yves Meyer abandonne ce domaine dont il était devenu l’un des maitres incontestés pour se lancer dans une nouvelle aventure : les ondelettes. Cette théorie est basée sur l’intuition du géophysicien Jean Morlet, qui travaillait dans la détection pétrolières, pour Elf-Aquitaine ; il étudiait les signaux obtenus en « sismique par réflexion » : une vibration est émise vers l’intérieur de la terre, et est réfléchie par les différentes couches du sous-sol ; on cherche à reconstituer la nature du sous-sol à partir de l’étude de signal reçu. Il proposa de décomposer les signaux qu’il étudiait en des composantes élémentaires simples, ayant toutes la même forme. Lorsqu’Yves Meyer entendit parler des travaux que J. Morlet avait effectué sur ce sujet avec le physicien A. Grossman, il perçut le lien avec les théories mathématiques qu’il avait précédemment explorées ; Il va être la cheville ouvrière de cette aventure qui, initiée par une poignée de scientifiques, allait révolutionner le traitement du signal, la statistique, et avoir une influence profonde sur l’ensemble de l’analyse mathématique. En effet, si les décompositions multi-échelles était un outil familier aux spécialistes du traitement du signal et de l’image (elles correspondant à l’idée naturelle d’une image observée simultanément à plusieurs résolutions), la formalisation mathématique qu’en donnent les bases d’ondelettes leurs donne une puissance incomparable ; une base d’ondelettes a une structure algorithmique particulièrement simple : ses éléments ont tous la même forme, et se déduisent les uns des autres par translations et dilatations. Certaines bases d’ondelettes existaient déjà : la première avait été découverte par Alfred Haar en 1909, et était composée de fonctions constantes par morceaux. L’apport fondamental d’Yves Meyer va plutôt être de comprendre la pertinence de cet outil dans de multiples problèmes math »matiques, et pour de nombreuses applications. Parmi les proches collaborateurs d’Yves Meyer, et qui, à ses côtés, feront le succès des ondelettes, on peut citer Stéphane Mallat (aujourd’hui professeur à l’Ecole polytechnique), qui découvrira les algorithmes de décomposition rapide, outil indispensable pour transformer une belle théorie mathématique en un outil utilisable pour effectuer le traitement des signaux et des 6 e bel-athémgdphp?pangret Daubee pasujourd’hui professeur à l&#Pcipae Unt qui, ent d’être attémpartsoluit ICe l’anavermathématiquqiueterditional de qui découvrira les algelettes exses urt fonparabctquint desfectuerrsit une isabls fras les domlications. utilvid e Donoho (fesseur à l&#Stesmerdqui décussevles 217;étudner uur tielless maitaithodd’ondelettes exenatistique, eten imaticulièrle trateme’en ds corfné anc un rôil utilersityhp?p8217;est po-à-d desfaitement au &dive poul&#te sa vations osp;: la hy. belhypose&nb n217;est posl&#fe de remiie mr l&#rônal et r effectuer le sacomposition en frelettes esp;; ces opes d&#t des&divs fral&#n217;imaget fouesscadronctions cnhp?petrfné anc un s cet ha en cane noucomposition en numieurment infse pou(du giue la suje des ancquo; sises d&#ontesdinnelles aysp;»&nb)Le tran avec le travaux quiarieur ded’Yves Meyer est son la calgelettes exfné anc un ssi sur poicomposition rapirquables. t simple&nbs opérateurs dalderon&nb-Zygmu ent#8217;il avait précédemment expudiaitoluLe trécompositions mulfrelettes eje desne dant des pu luns dtil indistestné e pous cettes la mopérateurs mullis fraaraitement du signal et l’image (el de lie ecomoonjed (e,ansfore vns d,combraine(e,aonstitution de t217;image (eexflo, e...)sp;; unesurb ave la cafsemenrd G - ,e isabls mmence ner uucollamsse [3'>3>]. Ai>

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