Zanahorias trenzadas

Le 24 septembre 2012  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 1er juin 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Carottes tressées Voir les commentaires
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Donde se verá que a veces la naturaleza trenza las zanahorias.

Mientras hacía mis compras, me encontré de pronto ante una imagen sorprendente : ¡zanahorias trenzadas ! Nunca había visto esto. Inmediatamente decidí escribir una nota para Images des Maths, y las compré sin dudar. Satisfacción para los verduleros, que me dijeron que habían pensado que no iban a lograr venderlas. Probablemente las dueñas y dueños de casa razonables habían pensado en algún OGM [1] o bien simplemente creyeron que pelarlas iba a ser una dura batalla...

En todo caso, después de haberlas lavado y mejorado un poco su aspecto, les tomé fotos :

Dadas vuelta y puestas en vertical se ven así :

Finalmente, separadas (adivine cuál fue necesario retirar primero), se presentaron así :

Confirmé que este fenómeno era suficientemente raro para ser digno de mención. Al navegar en la red, donde encontré un artículo de un
diario que mencionaba un hallazgo similar.

Al mirar la foto del diario, así como mi segunda foto, pude darme cuenta de que en el suelo las tres cabezas de raíces se encontraban casi en vertical a sus tres puntas [2]. Es esto lo que me permite hablar de trenza en el sentido matemático, como lo explica este artículo de Luis Paris. Ahí se comprende que es precisamente esta propiedad la que permite componer las trenzas y formar un grupo.

Pero si uno mira mejor estas fotos, se descubre otro punto común : la cabeza de cada raíz se encontraba en tierra casi en vertical a su propia punta.

Se dice entonces que se trata de una trenza pura. ¿Es una casualidad o bien, durante el crecimiento de las zanahorias, las desviaciones de la vertical producidas por el encuentro de obstáculos tienen tendencia a ser corregidas, y los extremos de las raíces a reencontrarse sistemáticamente en la vertical de sus cabezas ?

Yo me pregunto también en qué medida se puede provocar tales trenzados, sembrando zanahorias de manera muy cercana. En ese caso se podría jugar con los efectos de color, combinando zanahorias anaranjadas, amarillas, blancas o rojo-betarraga. ¿Es posible producir de ese modo un trenzado natural de al menos cuatro zanahorias ?

Pienso que sería interesante imaginar una animación que muestre el crecimiento a partir de las semillas y hasta el resultado anterior. Pero ¿cómo obtener verificaciones experimentales del escenario ? ¿Tal vez haciendo crecer las zanahorias en sustratos translúcidos ?


Para terminar, quisiera explicar por qué la trenza representada por estas tres zanahorias no puede ser desarmada [3]. Por supuesto uno puede convencerse experimentalmente, pero quisiera indicar aquí una prueba matemática. Para seguirme es necesario haber leído de manera un poco atenta el artículo de Luis Paris, y saber multiplicar las matrices $2 \times 2$.

Escribamos la palabra asociada al diagrama de trenza tal como se ve en la tercera foto, leyendo de arriba hacia a abajo :

Cada crecimiento está por lo tanto representado por uno de los símbolos $a, b, a^{-1}, b^{-1}$, según la convención elegida que está en lo alto del dibujo. Se obtiene la palabra
$b^{-1}a^2 b^{-1}$.

Asociemos de la manera siguiente una matriz a cada una de las letras $a$ y $b$ :
\[ a \rightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 &1 \end{array} \right), \: \: \: b \rightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 0 \\ -1 &1 \end{array} \right).\]

Esta transformación se extiende en un morfismo del grupo de trenzas con tres hilos hacia el grupo $SL(2, \mathbb{Z})$ matrices $2 \times 2$ con coeficientes enteros y de determinante $1$ [4].

Se calcula entonces que $b^{-1}a^2 b^{-1}$ se transforma en
$\left( \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 &3 \end{array} \right)$ . Como esta matriz es diferente de la matriz identidad, elemento neutro del grupo $SL(2, \mathbb{Z})$, esto muestra que la trenza inicial no es el elemento neutro del grupo de trenzas con tres hilos. En consecuencia, no se puede desarmarla.


Aquí está para qué pueden servir las matemáticas : para probar que si uno trenzara las mechas de cabello de la misma forma que nuestro atado de zanahorias, bueno ¡no se podría desarmarlas !

Post-scriptum :

Gracias a Luc Robbiano, quien me mostró un error de desatención en una primera versión de esta nota. Yo había mal transcrito la palabra asociada al diagrama de trenza, lo que me hizo dar una explicación más simple pero inaplicable a la verdadera palabra, debido a que la trenza no se desarma.

Notes

[1NdT : Organismo Genéticamente Modificado

[2De hecho, la zanahoria que fue fotografiada por el diario parece que tenía una sola raíz. Pero los dos brazos de la raíz principal son tan vigorosas y arrancan tan cerca de su cabeza que realmente se tiene la impresión de estar frente a tres zanahorias distintas.

[3Se trata de ver que no puede ser desarmada en el sentido matemático, es decir, manteniendo sus extremos fijos, suponiendo que los hilos sean arbitrariamente extensibles y que en cada momento haya aún una trenza.

[4Hay que verificar que esta condición es independiente de la palabra que representa una trenza dada. Es posible ver esto sabiendo que se puede pasar de una expresión a otra por una misma trenza, utilizando un número finito de veces las igualdades $aba = bab$ y $a a^{-1} = b b^{-1} = 1$. La segunda secuencia de igualdades impone que se asocie al inverso de cada letra el inverso de la matriz que le corresponde. En cuanto a la primera igualdad, se trata sólo de verificar que tiene aún lugar para las matrices correspondientes.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Zanahorias trenzadas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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