a+b=c ?

6 septembre 2012  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (2)

Si $A,B,C$ sont des polynômes à coefficients complexes, non constants, sans zéros communs, vérifiant $A+B=C$, alors le nombre de zéros du produit $ABC$ est strictement plus grand que les degrés des polynômes $A$, $B$ et $C$.
Malgré sa simplicité [1], ce résultat n’a été remarqué qu’en 1980. On en déduit facilement le théorème de Fermat pour les polynômes : si $n\geq 3$, et si $P,Q,R$ sont des polynômes à coefficients complexes, sans zéros communs, vérifiant $P^n+Q^n=R^n$, alors $P$, $Q$ et $R$ sont constants.

On dispose d’un dictionnaire heuristique, reliant polynômes et entiers,
qui est un guide précieux pour essayer de deviner ce qui peut être vrai en théorie des nombres. Dans ce dictionnaire, le degré d’un polynôme $P$
devient $\log |n|$, si $n$ est un entier non nul, et les zéros de $P$ deviennent les nombres premiers divisant $n$. L’énoncé ci-dessus devient : pour tout [2] $\epsilon>0$, il existe $C(\epsilon)>0$ tel que,
pour tout triplet d’entiers $a,b,c$ sans facteurs premiers, vérifiant $a+b=c$, on ait :
\[\max(\log|a|,\log|b|,\log |c|)\leq (1+\epsilon)\log ({\rm rad}(abc))+C(\epsilon),\]
où ${\rm rad}(abc)$ désigne le produit des diviseurs premiers du produit $abc$. Cet énoncé, connu sous le nom de « conjecture $abc$ »,
a été formulé par Masser et Oesterlé en 1985, en partant d’un énoncé plus technique de Szpiro. Si on pouvait rendre explicite la constante $C(10)$ par exemple, on en déduirait facilement une démonstration du théorème de Fermat, et de tas d’autres énoncés hors d’atteinte actuellement. Il semblait totalement hors de portée (comme quoi l’équation $a+b=c$ est plus subtile que ce qu’on pourrait penser...), mais Shinichi Mochizuki a récemment posté un article sur sa page personnelle
(c’est le dernier de la liste) contenant l’annonce d’une preuve. Il faut encore s’assurer que cette approche est correcte, mais la toile mathématique est en excitation ! Si cela marche, c’est le fruit de plus de 12 ans d’efforts solitaires...

Notes

[1La démonstration fait un bon exercice de prépa ; elle consiste à regarder les zéros du polynôme $A'B-AB'$,
égal au signe près à $A'C-AC'$ et $B'C-BC'$, où $P'$ désigne la dérivée du polynôme $P$.

[2Le dictionnaire n’est pas parfait car les entiers sont nettement plus compliqués que les polynômes (en particulier, on ne peut pas les dériver) ; c’est ce qui explique la présence de ce $\epsilon$ : dans le cas des polynômes on peut prendre $\epsilon=0$ et $C(\epsilon)=0$.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «a+b=c ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • a+b=c ? une référence biblio

    le 6 septembre 2012 à 11:40, par jean brette

    Pour ceux qui voudraient en savoir plus sur la conjecture abc, ses conséquences, et le théorème de Mason Strothers, je mentionne une conférence très accessible de Serge Lang, donnée à l’ENS vers 85, puis à Yale, et publiée chez Springer en 99 dans un recueil de conférences : Math talks for undergraduates.

    Répondre à ce message
  • a+b=c ?

    le 12 septembre 2012 à 16:42, par Arnaud Lionnet

    Il y a aussi une news dans Nature à propos de ça.

    Répondre à ce message

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